质点系及质点系的运动定律.

·i
Pi · ··

Fi
dri
N
fij
j 1(i j )
dri

d(1 2
Fi
mivi2 )
fi j
·
· · ·fj i j
对所有
粒子求和
N i 1
Fi

dri

N i 1
N
fij

dri

j 1(i j )
N i 1
d
(
1 2
mi
vi2
质点系及质点系的运动定律
质点系(系统)—作为研究对象的质点的集合。 内力—系统内各质点间的相互作用力。 外力—系统以外的物体对系统内质点的作用力。 处理质点系问题的思路是： 把质点力学定理应用于质点系中的每一个质点,
然后将这些方程相加，
F1
Fi
就得到用于整个系统的力学定理。
m1
f1i fi1
f1n
mi
设p1、S1、v1和p2、S2、v2分别是
a1b1与a2b2处流体的压强、截面积和流速，
则后面流体的作用力是p1S1，位移是v1 t，
所作的正功是p1S1v1 t ，
而前面流体作用力作的负功
是-p2S2v2 t ，
a1 b1
p1 S1
v1
h1
a2 b2
h2
v2 p2 S2
系统的功能原理
外力的总功是 A P1S1v1 P2 S2v2 t
2

gh2
这就是伯努利方程，它表明在同一管道中任何一点处，
流体每单位体积的动能和势能以及该处压强之和是个
常量。在工程上，上式常写成
a1 b1
p
g

v2 2g

h

常量
p1 S1
v1
h1
a2 b2
h2
v2 p2 S2
系统的功能原理
p
g
、v 2
2
g
、h
三项都相当于长度，分别叫做压力头、速度头、水头。
质点系的动能定律 A外 A内 Ekb Eka
内力作功分为两部分：保守内力的功和非保守内力的功。
A外 A内非 A内保 Ekb Eka A内保ab EP ( a ) EP ( b )
A外 A内非 Ekb Eka E pb E pa ( Ekb E pb ) ( Eka E pa )
s
in
)

(
1 2
mv
2 0
0)
即
Gs

1 2
mv
2 0

Gs sin
（4）
系统的功能原理
例题3-3 在图中，一个质量m=2kg的物体从静止开始，
沿四分之一的圆周从A滑到B，已知圆的半径R=4m，
设物体在B处的速度v=6m/s，求在下滑过程中，摩擦
力所作的功。
解 重力 G ，摩擦力F和正压力 N ，F 与 N 是变力,
因为流体被认为不可压缩。所以a1b1和a2b2两小段流
体的体积S1v1t和S2v2t必然相等，用V表示，则上
式
A P1 P2 V
计算这段流体在流动中能量的变化对于稳定流动来说，
在b1a2间的流体的动能和势能是不改变的。
就能量的变化来说，可以看成是原先在a1b1处的流体， 在时间t内移到了a2b2处，由此而引起的能量增量是
机械能 E Ek E p
A外 A内非 E
系统的功能原理： 当系统从状态a变化到状态b时，它的机械能的增量
等于外力的功与非保守内力的功的总和。
试用系统的功能原理解释： 荡秋千时，当秋千落下来时，人要蹲下来； 当秋千往上时，人要站起来；如此这般，秋千会越荡越高。
系统的功能原理
注意：
(1)当我们取单个物体作为研究对象时，使用的是 单个物体的动能定理，其中外力所作的功指的是作 用在物体上的所有外力所作的总功，所以必须计算 包括重力、弹性力的一切外力所作的功。
fn1 mn
fni fin
Fn
§3-2 功能原理
1. 质点系统动能定理
设系统由N个质点组成，
外力用 F ， 内力（即粒子之间的相互作用）用f。
Pi · ·i · ·
Fi
fi j
·
· · ·fj i j
共有N个粒子，外力用 F ，内力 对质点系
（即粒子之间的相互作用）用f ， 则第 i 粒子的动能定理
E2

E1

(
1 2
mv
2
2

mgh2
)
(
1 2
mv
2
1

mgh1
)

V
[(
1 2
v
2
2

gh2
)
(
1 2
v12

gh1
)]
系统的功能原理
从功能原理得
(
p1

p2
)V

V [(
1 2
v
2
2

gh2
)(
1 2
v12

gh1
)]
整理后得
p1

1 2
v12

gh1

p2

1 2
v
2
(2)当我们取系统作为研究对象时，由于应用了系 统这个概念，关于保守内力所作的功，已为系统势 能的变化所代替，因此在演算问题时，如果计算了 保守内力所作的功，就不必再去考虑势能的变化； 反之，考虑了势能的变化，就不必再计算保守内力 的功。
系统的功能原理
例题3-2 一汽车的速度v0=36km/h,驶至一斜率为 0.010的斜坡时，关闭油门。设车与路面间的摩擦 阻力为车重G的0.05倍，问汽车能冲上斜坡多远？
管壁对这段流体的作用力垂直于它的流动方向,不作功。 流动过程中,除重力外,只有在它前后的流体对它作功。 在它后面的流体推它前进， 这个作用力作正功；
在它前面的流体阻碍它前进， 这个作用力作负功。 a1 b1
p1 S1
v1
h1
a2 b2
h2
v2 p2 S2
系统的功能原理
时间t极短,a1b1和a2b2是两段极短的位移， 各自的压强p、截面积S和流速v都可看作不变。
解 解法一：取汽车为研究对
象。汽车上坡时，受到三个
力的作用:一是沿斜坡方向向
下的摩擦力 ,二是f 重r 力 ,
方向竖G直向下，三是斜坡对
s
物体的支持力 ,如图所示。
设汽N车能冲上斜坡的距离为

s，此时汽车的末速度为0。
根据动能定理
N G2 fr
G G1
系统的功能原理

fr
s Gssin

42.4J
2
负号表示摩擦力对物体作负功，即物体反抗摩擦 力作功42.4J
系统的功能原理
例题3-4 伯努利方程是流体动力学的基本定律，它 说明了理想流体在管道中作稳定流动时，流体中某 点的压强p、流速v和高度h三个量之间的关系为
p v2 h 常量
g 2g
式中是流体的密度，g是重力加速度。试用功能原
N 处处Байду номын сангаас物体运动方向相垂直，不作功。
摩擦力的功，因变力，而使计算复杂起来。
采用功能原理进行计算， 把物体和地球作为系统，
AR
O
则物体在A点与在B点时 系统的能量的差值 就是摩擦力所作的功。
fr N
G
v
B
系统的功能原理
A

EB EA 1 2 62 J
1 mv 2 mgR 2 2 9.8 4J
理导出伯努利方程。
p1 S1 a1 b1
解 如图所示，我们研究管道中
v1
一段流体的运动。 设在某一时刻，这段流体在
a1a2位置，经过极短时间t后， h1 这段流体达到b1b2位置
a2 b2
h2 v2 p2 S2
系统的功能原理
现在计算在流动过程中，外力对这段流体所作的功。 假设流体没有粘性，管壁对它没有摩擦力，
gs

gstg

1 2
v02
（3）
系统的功能原理
或
s
v02
2g( tg )
代入已知数字得
102
s
m 85 m
2 9.8(0.05 0.010)
解法二：取汽车和地球这一系统为研究对象，则系
统内只有汽车受到 功能原理，有
f和r
两N个力的作用，运用系统的

fr

s＝
（0

Gs
)
dA外 dA内 dEk
A外 A内 Ekb Eka Ek

d(
N i1
1 2
mi
v
2 i
)
例：炸弹爆炸，过程内力和为零，但内力所做的功转化为 弹片的动能。
质点系统动能定理
Ae Ai Ek
质点系统的动能定理：系统的外力和内力作功 的总和等于系统动能的增量。
2. 系统的功能原理
0
1 2
mv
2 0
（1）
上式说明，汽车上坡时，动能一部分消耗于反抗 摩擦力作功，一部分消耗于反抗重力作功。因 fr=N= G1,所以
G1s
Gssin

1 2
mv
2 0
（2）
按题意，tg=0.010，表示斜坡与水平面的夹角 很小，所以sin ≈ tg，G1 ≈ G,并因G=mg,上 式可化成
所以伯努利方程表明在同一管道的任一处，压力头、 速度头、水头之和是一常量，对作稳定流动的理想 流体，用这个方程对确定流体内部压力和流速有很 大的实际意义，在水利、造船、航空等工程部门有 广泛的应用。
p1

1 2
v12

gh1

p2

1 2
v
2
2

gh2