随机环境中分枝过程灭绝概率的性质
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本文 第 ２节讨 论 了在 随机 环 境情 形 下第 ｎ代单 个 粒 子产 生 的后 代数 对应 的条件 概 率 母 函数 的性质 ． 第 ３节讨 论 了在 随机 环境 情形 下第 ｎ代粒 子 总数 ｚ 对 应 的条件 概 率母 函数 的
性 质．
收稿 日期 ： ２ ０ １ ３年 １月 １ ５日
量序列．｛ Ｐ （ ） ： ∈ ｝ 是关于 ｉ Ｅ Ｅ的概率分布列． 记Ｐ （ ‘Ｉ ）＝Ｐ ｆ （ ・ ） ， 对应地 ， 有记号
（ ‘ ） ．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
设 ＝｛ ， 凡∈Ｔ ｝ 是概率空间 （ ， ， ， Ｐ ） 上 的环境 ， ｛ Ｚ ， ｌ ｔ ＇ ∈Ｔ ｝ 和｛ Ｘ ， ｌ ＇ ｔ Ｅ ， ｉ ∈Ｎ｝ 均
是 （ ， ， ， Ｐ）上 的 值 随机 变 量序列 ， 且满 足
Ｚ“
ｉ ） Ｐ （ ｚ ０ ＞ ０ ）＝ １ ， Ｚ ＝∑Ｘ ，
‘ ｌ
ｉ ｉ ） （
＝＿ 『 ）＝ （ ）， ａ ． ｓ ． ， 其中． 『∈Ｅ ， 例外 集 与 几 ， ｉ ， ｊ 无关．
型 的灭绝 概率 问题 ， 并且 建 立 了一些 与经 典分 枝 过 程 的 极 限定 理 平 行 的相 应 定 理 ． 近 几年 来 ， 随机 环境 中分 枝模 型 引起 了越来 越 多 的数 学 及相 关 学 科 工 作 者 的浓 厚 兴趣 ， 得 到 了一 系 列 重
要的研究成果 ， 详见文献［ ４ — ８ ］ 及其后 的参考文献．
１ 引 言
作为经典分枝过程的推广 ， Ｗｉ ｌ ｋ ｉ ｎ ｓ ｏ ｎ 和Ｓ ｍ ｉ ｔ ｈ ［ １ ０ ］ 在１ ９ ６ ９ 年最早提 出了后代分布随环境 变化的随机环境中分枝过程这一模 型， 此时的环境 序列为独立 同分布环境． Ａ ｔ ｈ ｒ ｅ ｙ ａ和 Ｋ ａ ｒ ｌ ｉ ｎ
［ １— ２ ］ 将上 述模 型 推广 到 了平稳 遍 历 的随 机环 境 中 ， 接 连 发 表 了两 篇 文 章 ， 讨 论 了这 种新 模
李应求 王 月娇 尹 悦
（ 长 沙理 工 大学数 学与计 算科 学 学院 ， 长沙， ４ １ ０ １ １ ４ ）
摘 要 本 文 给 出 了随 机 环 境 中分枝 过 程 概 率 母 函数 以及 灭 绝 概 率 的 性 质
概 率 母 函数 灭 绝概 率
关 键 词 随 机 环 境
Ｐｒ ｏ ｐ ｅ ｒ ｔ ｉ ｅ ｓ ｏ ｆ Ｅｘ ｔ ｉ ｎｃ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｐｒ ｏ ｂ ａ ｂ ｉ ｌ ｉ ｔ ｙ ｆ ｏ ｒ ａ Ｂｒ ａ ｎ ｃ ｈｉ ｎ ｇ
Ｃ ｈ ａ ｎ ｇ ｓ ｈ ａ ４ １ ０ １ １ ４ ，Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ
Ｉ ｎ ｔ ｈ ｉ ｓ ｐ ａ ｐ ｅ ｒ ，ｗ ｅ ｉ ｎ ｖ ｅ ｓ ｔ ｉ ｇ ａ ｔ ｅ ｔ ｈ ｅ ｐ ｒ ｏ ｐ ｅ ｒ ｔ ｉ ｅ ｓ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｐ ｏｂ ｒ ａ ｂ ｉ ｌ ｉ ｔ ｙ ｇ ｅ ｎ ｅ ｒ ａ ｔ ｉ ｎ ｇ ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｎｄ ａ ｔ ｈ ｅ ｅ ｘ ｔ ｉ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｐ ｒ ｏ ｂ ａ －
ｉ ｉ ｉ ）Ｖｍ Ｅ Ｎ， ｋ Ｅ Ｔ ， Ｊ 。 ｏ １ ， …， Ｊ ｏ ｎ ｉ ， …， ． 『 …√ Ｅ Ｅ，
ｋ ｍ
Ｐ （
＝ ， １≤ ｉ ≤ ｍ， ０≤ ， 善 ≤ ）＝ ｎ ｎ尸 ｆ （
ｎ ＝０ ｉ＝１
Ｐｒ ｏ ｃ ｅ ｓ ｓ ｉ ｎ Ｒａ ｎ ｄ ｏ ｍ Ｅｎ ｖ ｉ ｒ ｏ ｎ ｍｅ ｎ ｔ ｓ
Ｌ ｉ Ｙ ｉ ｎ ｇ ｑ ｉ ｕ Ｗａ ｎ ｇ Ｙ ｕ ｅ ｊ ｉ ａ ｏ Ｙ ｉ ｎ Ｙ ｕ ｅ
（ Ｓ ｃ ｈ ｏ ｏ ｌ ｏ ｆ Ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｓ ａ ｎ ｄ Ｃ ｏ ｍｐ ｕ ｔ ｉ ｎ ｇ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ，Ｃ ｈ ａ ｎ ｇ ｓ ｈ ａ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ａ ｎ ｄ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ ，
第３ ３卷 第 １ 期 ２ ０ １ ３年 ３月
数 学 理论 与 应 用
ＭＡＴＨＥＭＡＴ １ ＣＡＬ ＴＨＥ０ＲＹ ＡＮＤ ＡＰ Ｐ ＬＩ ＣＡＴ Ｉ ＯＮＳ
Ｖ０ １ ． ３ ３ Ｎｏ ． １
Ｍａ ｒ ．２ ０ １ ３
随 机 环 境 中分 枝 过 程 灭 绝 概 率 的 性 质
２
数学理论 与应 用
在研究 概率母 函数 的性 质 之前 ， 我们首 先给 出一些 基本 的记 号和 基本 知识 ． 设 Ｔ＝ ｛ ０ ， １ ， ２ ， …｝ 为时 间集 ， Ｎ＝｛ １ ， ２ ， …｝ 为正 整数 集 ， Ｅ ＝｛ ０ ， １ ， ２ ， …｝ 为状 态． 设 （ ， ， ， Ｐ）为概率 空 间 ，（ ， ）是一 个可 测空 间 ， ＝｛ ； ｎ≥ ０ ｝为定义 在 （ ， ， ， Ｐ）上取值 于 （ ， ）的随机 变
ｂ ｉ ｌ ｉ ｔ ｙ ｆ ｏ ｒ ａ ｂ ｒ ａ ｎ ｃ ｈ ｉ ｎ ｇ ｐ ｒ ｏ ｃ ｅ ｓ ｓ ｉ ｎ ｒ ａ ｎ ｄ ｏ ｍ ｅ ｎ ｖ ｉ ｒ ｏ ｎ ｍｅ ｎ ｔ ｓ ．
Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄ ｓ Ｒａ ｎ ｄ ｏ ｍ Ｅ ｎ ｖ ｉ ｏｎ ｒ ｍｅ ｎ ｔ Ｐ ｏｂ ｒ ａ ｂ ｉ ｌ ｉ ｔ ｙ Ｇ ｅ ｎ ｅ ｒ ａ ｔ ｉ ｎ ｇ Ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｅｘ ｔ ｉ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｐ ｒ ｏ ｂ ａ ｂ ｉ ｌ ｉ ｔ ｙ
性 质．
收稿 日期 ： ２ ０ １ ３年 １月 １ ５日
量序列．｛ Ｐ （ ） ： ∈ ｝ 是关于 ｉ Ｅ Ｅ的概率分布列． 记Ｐ （ ‘Ｉ ）＝Ｐ ｆ （ ・ ） ， 对应地 ， 有记号
（ ‘ ） ．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
设 ＝｛ ， 凡∈Ｔ ｝ 是概率空间 （ ， ， ， Ｐ ） 上 的环境 ， ｛ Ｚ ， ｌ ｔ ＇ ∈Ｔ ｝ 和｛ Ｘ ， ｌ ＇ ｔ Ｅ ， ｉ ∈Ｎ｝ 均
是 （ ， ， ， Ｐ）上 的 值 随机 变 量序列 ， 且满 足
Ｚ“
ｉ ） Ｐ （ ｚ ０ ＞ ０ ）＝ １ ， Ｚ ＝∑Ｘ ，
‘ ｌ
ｉ ｉ ） （
＝＿ 『 ）＝ （ ）， ａ ． ｓ ． ， 其中． 『∈Ｅ ， 例外 集 与 几 ， ｉ ， ｊ 无关．
型 的灭绝 概率 问题 ， 并且 建 立 了一些 与经 典分 枝 过 程 的 极 限定 理 平 行 的相 应 定 理 ． 近 几年 来 ， 随机 环境 中分 枝模 型 引起 了越来 越 多 的数 学 及相 关 学 科 工 作 者 的浓 厚 兴趣 ， 得 到 了一 系 列 重
要的研究成果 ， 详见文献［ ４ — ８ ］ 及其后 的参考文献．
１ 引 言
作为经典分枝过程的推广 ， Ｗｉ ｌ ｋ ｉ ｎ ｓ ｏ ｎ 和Ｓ ｍ ｉ ｔ ｈ ［ １ ０ ］ 在１ ９ ６ ９ 年最早提 出了后代分布随环境 变化的随机环境中分枝过程这一模 型， 此时的环境 序列为独立 同分布环境． Ａ ｔ ｈ ｒ ｅ ｙ ａ和 Ｋ ａ ｒ ｌ ｉ ｎ
［ １— ２ ］ 将上 述模 型 推广 到 了平稳 遍 历 的随 机环 境 中 ， 接 连 发 表 了两 篇 文 章 ， 讨 论 了这 种新 模
李应求 王 月娇 尹 悦
（ 长 沙理 工 大学数 学与计 算科 学 学院 ， 长沙， ４ １ ０ １ １ ４ ）
摘 要 本 文 给 出 了随 机 环 境 中分枝 过 程 概 率 母 函数 以及 灭 绝 概 率 的 性 质
概 率 母 函数 灭 绝概 率
关 键 词 随 机 环 境
Ｐｒ ｏ ｐ ｅ ｒ ｔ ｉ ｅ ｓ ｏ ｆ Ｅｘ ｔ ｉ ｎｃ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｐｒ ｏ ｂ ａ ｂ ｉ ｌ ｉ ｔ ｙ ｆ ｏ ｒ ａ Ｂｒ ａ ｎ ｃ ｈｉ ｎ ｇ
Ｃ ｈ ａ ｎ ｇ ｓ ｈ ａ ４ １ ０ １ １ ４ ，Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ
Ｉ ｎ ｔ ｈ ｉ ｓ ｐ ａ ｐ ｅ ｒ ，ｗ ｅ ｉ ｎ ｖ ｅ ｓ ｔ ｉ ｇ ａ ｔ ｅ ｔ ｈ ｅ ｐ ｒ ｏ ｐ ｅ ｒ ｔ ｉ ｅ ｓ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｐ ｏｂ ｒ ａ ｂ ｉ ｌ ｉ ｔ ｙ ｇ ｅ ｎ ｅ ｒ ａ ｔ ｉ ｎ ｇ ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｎｄ ａ ｔ ｈ ｅ ｅ ｘ ｔ ｉ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｐ ｒ ｏ ｂ ａ －
ｉ ｉ ｉ ）Ｖｍ Ｅ Ｎ， ｋ Ｅ Ｔ ， Ｊ 。 ｏ １ ， …， Ｊ ｏ ｎ ｉ ， …， ． 『 …√ Ｅ Ｅ，
ｋ ｍ
Ｐ （
＝ ， １≤ ｉ ≤ ｍ， ０≤ ， 善 ≤ ）＝ ｎ ｎ尸 ｆ （
ｎ ＝０ ｉ＝１
Ｐｒ ｏ ｃ ｅ ｓ ｓ ｉ ｎ Ｒａ ｎ ｄ ｏ ｍ Ｅｎ ｖ ｉ ｒ ｏ ｎ ｍｅ ｎ ｔ ｓ
Ｌ ｉ Ｙ ｉ ｎ ｇ ｑ ｉ ｕ Ｗａ ｎ ｇ Ｙ ｕ ｅ ｊ ｉ ａ ｏ Ｙ ｉ ｎ Ｙ ｕ ｅ
（ Ｓ ｃ ｈ ｏ ｏ ｌ ｏ ｆ Ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｓ ａ ｎ ｄ Ｃ ｏ ｍｐ ｕ ｔ ｉ ｎ ｇ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ，Ｃ ｈ ａ ｎ ｇ ｓ ｈ ａ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ａ ｎ ｄ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ ，
第３ ３卷 第 １ 期 ２ ０ １ ３年 ３月
数 学 理论 与 应 用
ＭＡＴＨＥＭＡＴ １ ＣＡＬ ＴＨＥ０ＲＹ ＡＮＤ ＡＰ Ｐ ＬＩ ＣＡＴ Ｉ ＯＮＳ
Ｖ０ １ ． ３ ３ Ｎｏ ． １
Ｍａ ｒ ．２ ０ １ ３
随 机 环 境 中分 枝 过 程 灭 绝 概 率 的 性 质
２
数学理论 与应 用
在研究 概率母 函数 的性 质 之前 ， 我们首 先给 出一些 基本 的记 号和 基本 知识 ． 设 Ｔ＝ ｛ ０ ， １ ， ２ ， …｝ 为时 间集 ， Ｎ＝｛ １ ， ２ ， …｝ 为正 整数 集 ， Ｅ ＝｛ ０ ， １ ， ２ ， …｝ 为状 态． 设 （ ， ， ， Ｐ）为概率 空 间 ，（ ， ）是一 个可 测空 间 ， ＝｛ ； ｎ≥ ０ ｝为定义 在 （ ， ， ， Ｐ）上取值 于 （ ， ）的随机 变
ｂ ｉ ｌ ｉ ｔ ｙ ｆ ｏ ｒ ａ ｂ ｒ ａ ｎ ｃ ｈ ｉ ｎ ｇ ｐ ｒ ｏ ｃ ｅ ｓ ｓ ｉ ｎ ｒ ａ ｎ ｄ ｏ ｍ ｅ ｎ ｖ ｉ ｒ ｏ ｎ ｍｅ ｎ ｔ ｓ ．
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