带形状调整参数的一阶三角B样条曲线
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成 一 阶三 角 Ｂ样 条 曲线 ．
１ 一 阶 三角 Ｂ样 条 基 函数 的构 造及 其 性 质
将 ［ ｏ ， 号 ］ 上 的 三 个 函 数 １ （ １ － ｃ ｏ ｓ ｔ ） ， 丢 （ ｓ ｉ ｎ ｔ ＋ ｃ 。 ｓ ￡ ） 以 及 １ （ １ － Ｓ ｉ ｎ ｔ ） Ｉ Ｉ Ｉ ￣ Ｉ Ｉ ！ Ｉ ［ ｏ ， 号 ］ ，
第３ ６卷
将Ｔ ｏ ＇ １ （ ￡ ） 向 右 平 移 号 ， 得 到 Ｔ ｉ （ ￡ ） 一 Ｔ （ ￡ 一 号 ） ， ￡ ∈ （ 一 。 。 ， ＋ 。 。 ） ． 将 （ ￡ ） 向 左 平 移 号 ， 得 到 Ｔ ｉ （ ） 一 （ ￡ 十 号 ） ， ￡ ｆ ｉ （ 一 。 。 ， ＋ 。 。 ） ．
条 函数 以及 三角 Ｂ样 条 曲线 的方法 ．
三 角样 条 数 是 １ ９ ６ ４年 由数 学 家 Ｉ ．Ｊ ．Ｓ ｃ ｈ ｏ ｅ ｎ ｂ ｅ ｒ ｇ在 文 ［ ２ ］ 中提 出 的． １ ９ ７ ９年 ， Ｌ ｙ ｃ ｈ ｅ和 Ｗｉ ｎ — ｔ ｅ ｒ ［ 。 建 立 了任意 阶三 角 Ｂ样条 基 的关 系． 之后 ， 文［ ５ — ６ ］ 也 对 三 角 样 条 进 行 了研 究． 但 上 述研 究 都 不
Ｖｏ １ ． ３ ６ Ｎｏ ． ３
Ｓｅ ｐ ． ２ ０１ ３
文章 编 号 ： ｉ ０ ０ ０ — １ ７ ３ ５ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ３ — ０ ３ ０ ９ — ０ ５
ｄ ｏ ｉ ： １ ０ ． １ １ ６ ７ ９ ／ １ ｓ ｘｂ ｌ ｋ ２ Ｏ １ ３ Ｏ ３ Ｏ ３ Ｏ ９
是单 纯 地使 用三 角 函数 ， 而 是搭 配使 用 了幂 函数． 韩旭 里 教 授Ⅲ 给 出了 用带 形 状 调节 参数 的基 函数 构 造 二 阶三角 多项 式 曲线 的方 法 ， 其 中没 有使 用 幂 函 数． 笔 者 用 三 角 函数 构造 一 阶三 角 Ｂ样 条基 函数 ， 讨 论其 性质 以及 用这 组基 函数 构造 三角 Ｂ样 条 曲线 以及 讨 论 如何 用 带形 状 调节 参 数 的控制 点 方法 生
ｌ 詈 ， ｌ ， Ｉ 兀 ， ｌ 上 ， 并 记
￣ （ １ － ｃ ｏ ｓ ｔ ） ， ｅ ［ ｏ ， １ ） ，
ｌ
ｚ
（ ｓ ｉ ｎ ｔ － ｃ ｏ ｓ ｔ ） ∈ ， 兀 ） ，
（ １ ）
１（ １ ＋Ｓ ｉ
ｎ
∈ ［ ， 号 兀 ） ，
其他
０ ，
一
般地 ， 定义
Ｔ （ ￡ ） 一 丁 ５ ¨ （ ￡ 一 号 丌 ） ， ￡ ∈ （ 一 ｃ ｘ 。 ， ＋ 。 。 ） ， — ｏ ， ± １ ， ± ２ ， … ，
它们 构成 （ 一ｏ ｏ ， ＋Ｃ ｘ ３ ） 上 的具有 均匀点 节 的一 阶三角样 条基 函数 ， 其 图像 如 图 １ ．
带形状调整参数的一阶三角Ｂ 样条曲 线
王 晶昕， 张嘉洋 ， 郭 丽 霞
（ 辽 宁师范大学 数学学院 ， 辽宁 大连 １ １ ６ ０ ２ ９ ）
摘 要 ： 给 出 了一 阶三角 Ｂ样 条基 函数 的构造 ， 讨 论 这 种 基 函数 的性 质 以及在 具 有 重 节
点 情形 时的 变化 ， 并利 用 这 类 三角 Ｂ样条 基 构造 了相 应 的 三角 Ｂ样 条 函数及 三 角 Ｂ样
第 ３ ６卷 第 ３期
２ Ｏ １ ３年 ９ 月
辽 宁 师 范 大 学 学报 （ 自然科 学版 ）
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｌ ｉ ａ ｏ ｎ ｉ ｎ ｇ Ｎｏ ｒ ｍａ ｌ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ（ Ｎａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｅｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ）
二 阶多项式 Ｂ样 条基 函数 ． 容 易证 明下 面 的定 理 ：
定理 １ 一阶三 角 Ｂ样条 基 函数具 有如下 性质 ： （ １ ） 局部 支 集性 ： 每个一 阶三 角 Ｂ样 条基 函数 只在 一个有 限 闭 区间上不 为零． （ ２ ） 非 负性 ： 对任意 实数 ｔ ， Ｔ ¨（ ｚ ） ≥Ｏ ．
收稿 日期 ： ２ ０ １ ３ — ０ ４ — １ ０
基金项 目： 国家 自然 科 学 基 金 项 目（ １ １ ２ ２ ６ ３ ２ ６ ） 作者简介 ： 王 晶昕（ １ ９ ５ ８ 一） ， 男， 内蒙 古赤 峰 人 ， 辽 宁师 范大 学 教 授 ， 博 士．
３ １ ０
辽 宁 师 范 大 学 学报 （ 自然科 学 版 ）
图１ 一 阶 三 角 Ｂ样 条 基 函数
Ｆ ｉ ｇ ． １ １ ｏ ｒ ｄ ｅ ｒ ｔ ｒ ｉ ｇ ｏ ｎ ｏ ｍｅ ｔ ｒ ｉ ｃ Ｂ－ ｓ ｐ ｌ ｉ ｎ ｅ ｂ ａ ｓ ｉ ｓ ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ
需 要指 出的是 ， 由于 这个 基 函数是 由三角 函数 构 造 的 ， 所 以， 即使 是 一 阶 的情 形 ， 看 上去 也 相 当于
中 图分类 号 ： Ｏ２ ４ １ ． ５ 文献标 志 码 ： Ａ
文［ １ ］ 给 出了一 、 二 阶三 角 Ｂ ６ ｚ ｉ ｅ ｒ 多 项式 的构 造 ， 并 将 其 用 于 生 成 相应 的 三角 Ｂ ６ ｚ ｉ ｅ ｒ曲线 以及 带
形状 调节 参 数 的三 角 Ｂ ￣ ｚ ｉ ｅ ｒ曲线 的 问题． 笔 者进 一 步讨 论 三 角 Ｂ样 条 基 函数 以及 由此生 成三 角 Ｂ样
条 曲线． 还 给 出了用 带调 节参 数 的控 制 点方 法 生成 一 阶三 角 Ｂ样 条 曲线 以便 对 曲线形
状 进 行调整 的方法． 讨论 了如何 利 用 这 类 Ｂ样 条 基 以及 带参 数 的控 制 点 方 法 生成 可调
形状 的 三角样条 曲线 的 问题．
关键词： 一 阶三 角 Ｂ样 条基 ； 带参 数的控 制 点 ； 三 角 Ｂ样 条 曲线
１ 一 阶 三角 Ｂ样 条 基 函数 的构 造及 其 性 质
将 ［ ｏ ， 号 ］ 上 的 三 个 函 数 １ （ １ － ｃ ｏ ｓ ｔ ） ， 丢 （ ｓ ｉ ｎ ｔ ＋ ｃ 。 ｓ ￡ ） 以 及 １ （ １ － Ｓ ｉ ｎ ｔ ） Ｉ Ｉ Ｉ ￣ Ｉ Ｉ ！ Ｉ ［ ｏ ， 号 ］ ，
第３ ６卷
将Ｔ ｏ ＇ １ （ ￡ ） 向 右 平 移 号 ， 得 到 Ｔ ｉ （ ￡ ） 一 Ｔ （ ￡ 一 号 ） ， ￡ ∈ （ 一 。 。 ， ＋ 。 。 ） ． 将 （ ￡ ） 向 左 平 移 号 ， 得 到 Ｔ ｉ （ ） 一 （ ￡ 十 号 ） ， ￡ ｆ ｉ （ 一 。 。 ， ＋ 。 。 ） ．
条 函数 以及 三角 Ｂ样 条 曲线 的方法 ．
三 角样 条 数 是 １ ９ ６ ４年 由数 学 家 Ｉ ．Ｊ ．Ｓ ｃ ｈ ｏ ｅ ｎ ｂ ｅ ｒ ｇ在 文 ［ ２ ］ 中提 出 的． １ ９ ７ ９年 ， Ｌ ｙ ｃ ｈ ｅ和 Ｗｉ ｎ — ｔ ｅ ｒ ［ 。 建 立 了任意 阶三 角 Ｂ样条 基 的关 系． 之后 ， 文［ ５ — ６ ］ 也 对 三 角 样 条 进 行 了研 究． 但 上 述研 究 都 不
Ｖｏ １ ． ３ ６ Ｎｏ ． ３
Ｓｅ ｐ ． ２ ０１ ３
文章 编 号 ： ｉ ０ ０ ０ — １ ７ ３ ５ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ３ — ０ ３ ０ ９ — ０ ５
ｄ ｏ ｉ ： １ ０ ． １ １ ６ ７ ９ ／ １ ｓ ｘｂ ｌ ｋ ２ Ｏ １ ３ Ｏ ３ Ｏ ３ Ｏ ９
是单 纯 地使 用三 角 函数 ， 而 是搭 配使 用 了幂 函数． 韩旭 里 教 授Ⅲ 给 出了 用带 形 状 调节 参数 的基 函数 构 造 二 阶三角 多项 式 曲线 的方 法 ， 其 中没 有使 用 幂 函 数． 笔 者 用 三 角 函数 构造 一 阶三 角 Ｂ样 条基 函数 ， 讨 论其 性质 以及 用这 组基 函数 构造 三角 Ｂ样 条 曲线 以及 讨 论 如何 用 带形 状 调节 参 数 的控制 点 方法 生
ｌ 詈 ， ｌ ， Ｉ 兀 ， ｌ 上 ， 并 记
￣ （ １ － ｃ ｏ ｓ ｔ ） ， ｅ ［ ｏ ， １ ） ，
ｌ
ｚ
（ ｓ ｉ ｎ ｔ － ｃ ｏ ｓ ｔ ） ∈ ， 兀 ） ，
（ １ ）
１（ １ ＋Ｓ ｉ
ｎ
∈ ［ ， 号 兀 ） ，
其他
０ ，
一
般地 ， 定义
Ｔ （ ￡ ） 一 丁 ５ ¨ （ ￡ 一 号 丌 ） ， ￡ ∈ （ 一 ｃ ｘ 。 ， ＋ 。 。 ） ， — ｏ ， ± １ ， ± ２ ， … ，
它们 构成 （ 一ｏ ｏ ， ＋Ｃ ｘ ３ ） 上 的具有 均匀点 节 的一 阶三角样 条基 函数 ， 其 图像 如 图 １ ．
带形状调整参数的一阶三角Ｂ 样条曲 线
王 晶昕， 张嘉洋 ， 郭 丽 霞
（ 辽 宁师范大学 数学学院 ， 辽宁 大连 １ １ ６ ０ ２ ９ ）
摘 要 ： 给 出 了一 阶三角 Ｂ样 条基 函数 的构造 ， 讨 论 这 种 基 函数 的性 质 以及在 具 有 重 节
点 情形 时的 变化 ， 并利 用 这 类 三角 Ｂ样条 基 构造 了相 应 的 三角 Ｂ样 条 函数及 三 角 Ｂ样
第 ３ ６卷 第 ３期
２ Ｏ １ ３年 ９ 月
辽 宁 师 范 大 学 学报 （ 自然科 学版 ）
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｌ ｉ ａ ｏ ｎ ｉ ｎ ｇ Ｎｏ ｒ ｍａ ｌ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ（ Ｎａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｅｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ）
二 阶多项式 Ｂ样 条基 函数 ． 容 易证 明下 面 的定 理 ：
定理 １ 一阶三 角 Ｂ样条 基 函数具 有如下 性质 ： （ １ ） 局部 支 集性 ： 每个一 阶三 角 Ｂ样 条基 函数 只在 一个有 限 闭 区间上不 为零． （ ２ ） 非 负性 ： 对任意 实数 ｔ ， Ｔ ¨（ ｚ ） ≥Ｏ ．
收稿 日期 ： ２ ０ １ ３ — ０ ４ — １ ０
基金项 目： 国家 自然 科 学 基 金 项 目（ １ １ ２ ２ ６ ３ ２ ６ ） 作者简介 ： 王 晶昕（ １ ９ ５ ８ 一） ， 男， 内蒙 古赤 峰 人 ， 辽 宁师 范大 学 教 授 ， 博 士．
３ １ ０
辽 宁 师 范 大 学 学报 （ 自然科 学 版 ）
图１ 一 阶 三 角 Ｂ样 条 基 函数
Ｆ ｉ ｇ ． １ １ ｏ ｒ ｄ ｅ ｒ ｔ ｒ ｉ ｇ ｏ ｎ ｏ ｍｅ ｔ ｒ ｉ ｃ Ｂ－ ｓ ｐ ｌ ｉ ｎ ｅ ｂ ａ ｓ ｉ ｓ ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ
需 要指 出的是 ， 由于 这个 基 函数是 由三角 函数 构 造 的 ， 所 以， 即使 是 一 阶 的情 形 ， 看 上去 也 相 当于
中 图分类 号 ： Ｏ２ ４ １ ． ５ 文献标 志 码 ： Ａ
文［ １ ］ 给 出了一 、 二 阶三 角 Ｂ ６ ｚ ｉ ｅ ｒ 多 项式 的构 造 ， 并 将 其 用 于 生 成 相应 的 三角 Ｂ ６ ｚ ｉ ｅ ｒ曲线 以及 带
形状 调节 参 数 的三 角 Ｂ ￣ ｚ ｉ ｅ ｒ曲线 的 问题． 笔 者进 一 步讨 论 三 角 Ｂ样 条 基 函数 以及 由此生 成三 角 Ｂ样
条 曲线． 还 给 出了用 带调 节参 数 的控 制 点方 法 生成 一 阶三 角 Ｂ样 条 曲线 以便 对 曲线形
状 进 行调整 的方法． 讨论 了如何 利 用 这 类 Ｂ样 条 基 以及 带参 数 的控 制 点 方 法 生成 可调
形状 的 三角样条 曲线 的 问题．
关键词： 一 阶三 角 Ｂ样 条基 ； 带参 数的控 制 点 ； 三 角 Ｂ样 条 曲线