次作业答案word版

华东理工大学复变函数与积分变换作业本（第4册）班级____________学号_____________姓名_____________任课教师_____________第七次作业教学内容：4.1复数项级数4.2幂级数1. 判别下列复数列的收敛性，若收敛，求其极限，其中n →∞.(1)n niz n++=11;解：i n nn z n +++=111011lim =+∞→n n ，11lim =+∞→nnn 故n z 收敛于i(2)1)1(++-=n i z nn ;解：由于n z 的实部(1)n-发散，故n z 发散(3)n ni z -+=)21(.解：,0)52(lim ),52()21(==+=-∞→--ni n i n ne e i z θθ故收敛，0lim =∞→n n z2.判别下列级数的收敛情况:(1)∑∞=1n nni ;解： 由∑∑∞=∞=+=112sin ,2cos,2sin 2cos n n nn n n n n i n i ππππ为收敛的交错项实级数，所以∑∞=1n n n i 收敛，但nn i n 1=，故∑∞=1n nn i 发散，原级数条件收敛。

(2) ∑∞=+18)56(n nni ;解：因nnn i )861(8)56(=+，而n n )861(1∑∞=收敛，故∑∞=+18)56(n n ni 绝对收敛。

（3）∑∞=12cos n nin 。

解：∑∑∑∑∞=+-∞=+∞=+-∞=+=+=11111112222cos n n nn n n n n n n n n e e e e in ， 因级数∑∞=+112n n n e 发散，故∑∞=12cos n nin 发散。

3. 求下列幂级数的收敛半径：(1)∑∞=1!n nn z n n ； 解： e n n n n R n n n =++⨯=+∞→)!1()1(!lim 1(2)∑∞=1)(ln 1n n n z in ; 解：∞===∞→∞→in a Rn n n n ln lim lim1(3)∑∞=+1)1(n nnz i ;解： 2111limlim 1=+==∞→∞→i a R n n nn（4）023nn nn z i ∞=+∑；;解：11123lim lim 323n n n n n n n n na i a i +++→∞→∞+===+，收敛半径为13； （5）()12n nn n z i ∞=-∑. 解：11121limlim 22n n n n n na n a n ++→∞→∞+=⋅=，收敛半径为2； 4. 把下列函数展开成z 的幂级数，并指出它的收敛半径:(1)221(1)z +；解：()()22220111111221n n n z z z z z ∞=''⎡⎤⎛⎫=-⋅=--⋅ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦+∑ ()12111122n n n n z z ∞+-==⋅-⋅∑ ()12211n n n nz ∞+-==-∑21z <，即收敛半径为1；(2) sinh z解：()()10001111sinh 122!!2!n z z n nn n n n n e e z z z z n n n +-∞∞∞===+-⎡⎤-==--=⎢⎥⎣⎦∑∑∑z <+∞；(3) ()2sin 1z +；解：()222sin1sin1cos cos1sin z zz +=⋅+⋅()()()()44200sin11cos112!21!n n nnn n z z n n +∞∞===⋅-+⋅-+∑∑ z <+∞；第八次作业教学内容：4.3解析函数的泰勒展开 4.4洛朗级数1．求下列各函数在指定点处的Taylor 展开式，并指出它们的收敛半径：(1)1,110=+-z z z ； 解：()1221111111211+2z z z z z -=-=-=--+++- ()01112nnn z ∞=-⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∑()11112nn n z ∞-=-⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑其中112z -<，即12z -< (2)2,)2)(1(0=++z z z z；解：()()211221zz z z z =-++++ 111122231143z z =⋅-⋅--++ ()()()()00221122111,1243343n nn n n nn n z z z z ∞∞==--⎛--⎫=---<< ⎪⎝⎭∑∑()()()211011122323n n n n n z z ∞++=⎛⎫=----< ⎪⎝⎭∑(3)1,102-=z z ； 解： ()211111111z z z z '''⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-=⎢⎥ ⎪ ⎪+--+⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()10111n n n n z n z ∞∞-=='⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦∑∑ 其中11z +<(4)i z z+=-1,341;解：()()11113143311313113z i z z i i ii==⋅------+----()03111313nn z i i i ∞=--⎡⎤=⋅⎢⎥--⎣⎦∑ ()()13113nn n n z i i ∞+=--=-∑其中()31113z i i--<-，即()1z i -+< (5) 2sinz ，00z =；解：()()()()2202111sin 1cos 212222!nn n z z z n ∞==-=--∑()()()2121122!nn n z n ∞==-∑其中z <+∞(6)0,arctan0=z z .解：因，1,111,11)(arctan 422 z z z zz z -+-=++='故∑⎰∑⎰∞+∞<+-=-=+=012002021,12)1()1(z 11arctan z n z dz z dz z n n z n n z，且收敛半径1=R 2．把下列各函数在指定的圆环域内展开成Laurent 级数. （1）110,10,)1(12<-<<<-z z z z解：在01z <<内，()22011111=11n n n n z nz z z z z z ∞∞-==''⎛⎫⎛⎫⋅=⋅= ⎪ ⎪-⎝⎭-⎝⎭∑∑； 在011z <-<内，()()()()()()()2222001111=111111111n n n n n n z z z z z z z ∞∞-==⋅=--=---+---∑∑ （2）21,)2)(1(12<<-+z z z ；解：()()222121155511212z z z z z z --=++++-+-2222111211111155101112z z z z z z =---++- ()()22200011121111155102nn nn n n n n n z z z z z ∞∞∞====-----∑∑∑ ()()212220001121111155102nnnn n n n n n z z z z ∞∞∞++====-----∑∑∑（3）,)(12i z z -以 i 为心的单位圆； 解：()21z z i -有两个奇点，10z =，2z i =，所以以z i =为中心的圆环域有： 01z i <-<和1z i <-<+∞，在01z i <-<内，因1,)1()1(11112<-=+∑∞=--z nz z n n n ， 故()21z z i -=∑∞=+----=-+-112122)()1()1)((1n n n n ii z n ii z i z i 在1z i <-<+∞内展开，得：()()()()()32+320111111n n n n n iz z i z i z i i z i ∞=+=⋅=----⎛⎫+ ⎪-⎝⎭∑ （4）+∞<<-z ez1,11.解：在1z <<+∞内，10011111111n n n n z z z z z z ∞∞+===-=-=--⎛⎫- ⎪⎝⎭∑∑， 所以111101234111111!2!3!4!n n nn z n zn z een z z z z ∞+=∞+∞-=-=⎛⎫- ⎪∑⎝⎭===---++∑∑3. 把下列各函数在指定圆环域内展成Laurent 级数,且计算其沿正向圆周6z =的积分值：(1) 1sin,11z z=-的去心邻域； 解：由于 ++-+++-=+)!12()1(!5!3sin 1253n z z z z z n n（)||+∞<z 所以=-z 11sin1210)1()!12()1(--++∞=-+-∑n n n z n于是i dz z dz zz z π21111sin66-=--=-⎰⎰==;(2)61,11(1)z z z <+<∞+；解：1111)1(11)1(1)1(1)1(1666+-+=-++=+z z z z z z ∑+∞=--+=7)1(n n z0)1(1)1(167066=+=+⎰∑⎰=++∞==z n n z z z d z z(3)ln(),2z iz i z i-<+<∞+. 解：+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=+-=+-nn i z i n i z i i z i i z i i z i i z i z 21)1(2312212)21ln()ln(32π42)ln(6=+-=+-⎰⎰==dz iz idz i z i z z z（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。

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