次作业答案word版

华东理工大学

复变函数与积分变换作业本（第4册）

班级____________学号_____________姓名_____________任课教师_____________

第七次作业

教学内容：4.1复数项级数4.2幂级数

1. 判别下列复数列的收敛性，若收敛，求其极限，其中n →∞.

(1)n ni

z n

++=

11;

解：i n n

n z n +++=111

011lim =+∞→n n ，11lim =+∞→n

n

n 故n z 收敛于i

(2)1

)1(++-=n i z n

n ;

解：由于n z 的实部(1)n

-发散，故n z 发散

(3)n n

i z -+=)2

1(.

解：,0)5

2(lim ),52()21(==+=-∞→--n

i n i n n

e e i z θθ故收敛，0lim =∞→n n z

2.判别下列级数的收敛情况:

(1)∑

∞

=1n n

n

i ;

解： 由∑∑∞

=∞

=+=1

1

2sin ,2cos

,2sin 2cos n n n

n n n n n i n i π

πππ为收敛的交错项实级数，所以

∑∞

=1n n n i 收敛，但n

n i n 1=，故∑∞

=1n n

n i 发散，原级数条件收敛。 (2) ∑∞

=+18)56(n n

n

i ;

解：因

n

n

n i )

861(8)56(=+，而

n n )8

61(1

∑

∞

=收敛，故

∑∞

=+18)56(n n n

i 绝对收敛。

（3）∑∞

=12cos n n

in 。

解：∑∑∑∑∞=+-∞=+∞=+-∞

=+=+=111111

12

222cos n n n

n n n n n n n n n e e e e in ， 因级数∑∞

=+112n n n e 发散，故∑∞

=12cos n n

in 发散。

3. 求下列幂级数的收敛半径：

(1)

∑∞

=1

!n n

n z n n ； 解： e n n n n R n n n =++⨯

=+∞→)!

1()1(!lim 1

(2)

∑∞

=1

)(ln 1

n n n z in ; 解：∞===

∞

→∞

→in a R

n n n n ln lim lim

1

(3)

∑∞

=+1

)

1(n n

n

z i ;

解： 2

1

11lim

lim 1=+==

∞→∞

→i a R n n n

n

（4）023

n

n n

n z i ∞

=+∑；;

解：11123lim lim 323n n n n n n n n n

a i a i +++→∞→∞+===+，收敛半径为1

3； （5）

()12

n n

n n z i ∞

=-∑. 解：11121

lim

lim 22n n n n n n

a n a n ++→∞→∞+=⋅=，收敛半径为2； 4. 把下列函数展开成z 的幂级数，并指出它的收敛半径:

(1)

22

1(1)z +；

解：

()

()22

2201

11111221n n n z z z z z ∞=''⎡⎤⎛

⎫=-⋅=--⋅ ⎪

⎢⎥+⎝⎭⎣⎦+∑ ()12111122n n n n z z ∞+-==⋅-⋅∑ ()

1

2211n n n nz ∞

+-==-∑

21z <，即收敛半径为1；

(2) sinh z

解：()()1

000

1111sinh 122!!2!n z z n n

n n n n n e e z z z z n n n +-∞∞∞===+-⎡⎤

-=

=--=⎢⎥⎣⎦∑∑∑

z <+∞；

(3) ()2

sin 1z +；

解：()2

2

2sin

1sin1cos cos1sin z z

z +=⋅+⋅

()()()

()44200

sin11cos112!21!n n n

n

n n z z n n +∞

∞

===⋅-+⋅-+∑∑ z <+∞；

第八次作业

教学内容：4.3解析函数的泰勒展开 4.4洛朗级数

1．求下列各函数在指定点处的Taylor 展开式，并指出它们的收敛半径：

(1)

1,11

0=+-z z z ； 解：()1221111111211+2

z z z z z -=-=-=-

-+++- ()0

1112n

n

n z ∞

=-⎛⎫

=-- ⎪⎝⎭∑

()

1

1

112n

n n z ∞

-=-⎛⎫=- ⎪⎝⎭

∑