误差分析及绪论习题-复习题

课本例外补充习题 (第一章)

1. 下列个数都是对真值进行四舍五入法后得到的近似值,试分别写出它们的绝对误差限,相对误差限和有效数字的位数?

2.为了使11 的近似值的相对误差%1.0≤ , 问至少应取几位有效数字?

3.如果利用四位函数表计算 2cos 1- 试用不同方法计算并比较结果的误差.

4.求方程01402=+-x x 的两个根 . 使他们至少具有四位有效数字.

( 已知 975.19399≈ )

5、设0>x , *

x 的相对误差为δ求 x ln 的误差。

6、下列个数都是经四舍五入法得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位。摄指出他们是几位有效数字。

解：(1) *1x =1.1021 是五位有效数字。 (2) *

2x =0.031 (2位)

(3) *

3x =385.6 (4位) (4) *4x =56.430 (5位)

(5) *5x =7*1.0 (2位) .

7、 求下 列各近似值得误差限 .

(.

1)*3

*2*1x x x ++ , (.1.

1)*3

*2*1x x x ， (.1.1.

1) *4*

2x x , 其中*

4

*3*2*1,,,x x x x 均为 第6题 所给的数 .

8、计算球体积要使相对误差限为 1% , 问度量半径R 是允许的相对误差限 是多少?、 9、设 2

2

1gt s =

假定g 是准确的 , 而对t 的测量有1.0±秒的误差 , 证明 当t 增加时s 的绝对误差增加 , 而相对误差却减少.

10、 )1ln()(2--=x x x f 求)30(f 的值 , 若开平方用六位函数表问求对数时

误差有多大?若改用另一个等价公式 )1ln()1ln(22-+-=--x x x x 计算 ,求对数时误差由多大?

课本例外补充习题 (第一章)答案

2. 下列个数都是对真值进行四舍五入法后得到的近似值,试分别写出它们的绝对误差限,相对误差限和有效数字的位数? 2.为了使11 的近似值的相对误差%1.0≤ , 问至少应取几位有效数字?

解: 3166.311≈ , 31=∴a , %1.010**21

|)(|11

*≤≤

∴+-n r a x ε ⇒ 1000

6

101≤

+-n ⇒ (-n+1)lg10≤lg6-lg1000= -n+1≤ 0.77815 –3 ⇒-n+1≤-2.2218 ⇒n ≥3.2218 .

∴ n=4 . 说明应取4位有效数时相对误差限≤0.1% .

3.如果利用四位函数表计算 2cos 1- 试用不同方法计算并比较结果的误差.

解: 用四位函数表值接计算0006.09994.012cos 1=-≈- , 只有1位有效数字.

4

2210*092.69994.1)03490.0(2

cos 12sin 2cos 1-≈≈+=-

只有4位有效数字. 4210*09.61sin 22cos 1-≈=- , 只有3位有效数字.准确值 410*0917.62cos 1-=- , 故以上

3种算法误差限分别为

44410*002.0,10*0003.0,10*1.0--- .

4.求方程01402=+-x x 的两个根 . 使他们至少具有四位有效数字.

( 已知 975.19399≈ )

解: 975.39399202

1

400240241600401=+=-+=-+=

x

975.1920*1+=x , 由伟大定理

21

1

x x = ,)1*(21=x x , 故0250151.0975

.391

2==

x ,

02500.0975.1920399202

1400240*

22=-=⇒-=--=

x x

00005.010*2

1

00001565.0|975.19974984.19||975.19399||||)(|4*

111=≤=-=-=-=-x x x ε 4*

22210*2

1

|975.19399||||)(|-≤

-=-=x x x ε 可见 21,x x 有四位有效数字.

5、设0>x , *x 的相对误差为δ求 x ln 的误差。

解：求x ln 的误差限就是求 x x f ln )(= 的误差限。由公式

)(|)(|)(***x x f x f δδ'≈ 有)(|)(|max |)()(|)(*)

(||****x x f x f x f x f x x x δδδ'≤-=≤-

已知 *x 的相对误差限δ 满足

|

*||

*|x x x -δ≤<1而 x x f ln )(= , x x f 1)(=' ,

||)(||*

*

*

x x x x δδ=≤- ,故 )

(|||||||1|max |ln ln |**

**

*)(|*|*

x x x x x x x x x x x x δδ--≤-≤-≤- 即 δ

δ

δδ-≤--=

111|*||*|)(ln *x x x x 。

6‘-为了减少运算次数，应将表达式.54324216171814131

1681

x x x x x x x x -+---++-

改写为； 答案：

()()()()()()()1

816011314181716-+++---+-x x x x x x x x x

6、下列个数都是经四舍五入法得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个