高等数学导数应用(三)曲率

证
设曲线 y f ( x) 在点 M ( x0 , y0 ) 处的
曲率半径为 R , 曲率中心为 D( , ) , 则
源自文库
曲线在点 M ( x0 , y0 ) 处的曲率圆方程为
(x ) ( y ) R
2 2
2
其中 , 点 ( x, y) 是曲率圆上的点 . 2 3 1 (1 y ) 2 由于 R 2 k y2
当
kmax kmin
3
2 , 2
时 , k 取最小值
a 2 b b 2 a
三、参数方程下曲率的计算公式
x x( ) 若 , x( ) , y ( ) 二阶可导 , 则 y y ( )
d y y( ) , d x x( )
d 2 y y( ) x( ) y( ) x( ) 2 ( )) 3 dx (x
dk 3ab(a 2 b 2 ) sin cos 令 2 2 3 0, 2 2 d (a sin b cos ) 2
得驻点
3 0, , , , 2 2

dk 的符号依次为 因为 a b , 故在各象限中 d
Ⅰ

Ⅱ +
Ⅲ

Ⅳ +
由此可得 :
当 0 , 时 , k 取最大值
2
在有些实际问题中 ,
若 | y | 1 , 则可取 k | y | .
现在问你一下 : (假设单位是统一的)
1 如果告诉你一条曲线在点 M 处的曲率为 , 5 你能想象出它的弯曲程度吗？
如果告诉你有一个半径为 5 的圆 , 你能想象 出该圆上任何一点处的弯曲程度吗？ 由此及前面讲的例题1 , 你有什么想法？
y x 0 y x 0
2
1 2 ( x ) 0, 4 x 0 1 1 ( x ) , 2 2 x 0
x y 在 点 (0, 0) 处的曲率为 4 y 1 k1 2 3 2 (1 y ) 2
1 故 y 4 x 在点 (0, 0) 处的曲率为 k . 2
第六章 导数的应用
第 五 节 平面曲线的曲率
一、曲率的概念
二、曲率的计算公式
三、参数方程下曲率的计算公式 四、曲率圆、曲率中心
我们已经讨论过曲线的凹凸性 , 知道如 何判断曲线的弯曲方向 , 但是还不能描述和 判定曲线的弯曲程度 . 而在许多实际问题中 都必须考虑曲线的弯曲程度 , 例如 , 道路的 弯道设计 , 梁的弯曲程度 , 曲线形的切削工 具的设计等等 . 你认为应该如何描述 曲线的弯曲程度 ?
M ( x, y )
以 Q 为中心 , R 为半径所作的圆称为曲线在点 M 处的曲率圆 , 圆心 Q 称为曲率中心 , R 称为 曲率半径 . ( k 为曲线在点 M 处的曲率 )
曲率圆的性质 曲率圆与曲线在点 M 处相切 , 且在点 M 处
两者曲率相同 . 曲率圆与曲线在点 M 处具有相同的一、二 阶导数 . 当讨论曲线在点 M 处与一、二阶 导数有关的局部性质时, 可以通过讨论其相 应的曲率圆的局部性质来实现 .
2 2
解
d2 y b sin , 2 d
d y b cos b cot d x a sin a
b ( cot ) b 1 2 d y a 2 3 2 (a cos ) dx a sin
故
ab y k 2 2 3 2 2 2 3 (a sin b cos ) 2 (1 y ) 2
将它们代入曲率计算公式中即可得：
| y( ) x( ) y( ) x( ) | k 2 2 3 [( x( )) ( y( ) )]2
例4
求抛物线 y 2 4 x 在点 (0, 0) 处的曲率 .
解
如果用 y 2 x , 会出现导数的分母 2 y 2 的图形 为零的情形 , 但 y 4 x 与 x 4 2 2 y x 与 y 的图形关于 y x 相同 , 而 x 4 4 2 x 对称 , 故原问题可以转为求曲线 y 在 4 点 (0, 0) 处的曲率 .
又点 M ( x0 , y0 ) 在曲率圆上 , 故有
(1 y 2 ) 3 2 2 ( x0 ) ( y0 ) 2 y
(1)
又 DM 位于曲线在点 M 处的法线上 , 其斜率为
y0 k法 x0 曲线在点 M 处切线的斜率为 y , 从而 , 有 x0 y y0
第六章 一元微积分的应用
本章学习要求：


熟练掌握求函数的极值、最大最小值、判断函数的单调性、 判断函数的凸凹性以及求函数拐点的方法。 能运用函数的单调性、凸凹性证明不等式。 掌握建立与导数和微分有关的数学模型的方法。能熟练求解 相关变化率和最大、最小值的应用问题。 知道平面曲线的弧微分、曲率和曲率半径的概念，并能计算 平面曲线的弧微分、曲率、曲率半径和曲率中心。
(1 y2 ) y x0 y
求抛物线 y x 在点 (1, 1) 处的
2
例5
曲率半径、曲率中心和曲率圆方程 .
解
x0 1 ,
y0 1 ,
y x 1 2 ,
y x 1 2 x x 1 2 ,
在点 (1, 1) 处的曲率半径为
(1 y ) R y
(2)
由 (1) , (2) 两式消去 x0 , 得
画画图 更清楚
(1 y2 ) 2 ( y0 ) 2 2 y
由于曲率圆总是位于曲线凹向的一侧 , 所以
y 与 y 是反号的 , 故对上式两边开方得
2 1 y y0 y
由 (2) 式 , 得
7 2 125 ( x 4) ( y ) 2 4
2
谢谢观看
( x R ) .
解
y k 0 3 (1 y2 ) 2
直线上任意一点处的曲率均为零 .
俗话说 , 直线不弯曲 .
椭圆 x a cos , y b sin (a b 0) 上 ,
例3
哪一点曲率最大 , 哪一点曲率最小 .
dy d y 和 : 利用参数方程求导法求出 2 dx dx dy dx b cos , a sin , d d d x a cos , 2 d
解
M



二、曲率的计算公式
设曲线方程为 y f (x) , f ( x) 二阶可导 ,
则在曲线上点 M ( x, y ) 处的曲率为
y k 2 3 (1 y ) 2
证
y
y f (x)
如图所示 , 曲线在
点 M 处切线的斜率为
M

M

y tan
故
arctan y

O
y d dx 2 1 y
y d 1 d y 2 d x 1 y d x 1 y2
x
又
ds
2 d x 1 y
d y 从而 k 2 3 ds (1 y ) 2
例2
求直线 y a x b 上任意一点处的曲率 . y a , y 0 ,
1 k , R 5. 5
O

M
O

M
曲率圆 曲率半径 曲率中心 1 曲率半径 曲率
在点 M 处可用一个相应的圆来描述曲线的弯曲程度
三、曲率圆、曲率中心
过光滑曲线 y f ( x) 上一点 M ( x, y) 作其
法线, 在法线指向曲线凹向的一侧上取一点 Q , 使 2 3 1 (1 y ) 2 | MQ | R k y
一、曲率的概念
y
y f (x)
M
设 y f ( x) C 1.
点M 沿曲线运动到点
M 时 , 相应地切线转
过角度 (称为转角),
M




O
弧的改变量为s . 称
k s
x
单位弧长上的转角
为 MM 的平均曲率. 其中, 与 s 具有方向性 .
︵
d k lim k lim s 0 s 0 s ds
2
3 2
(1 2 ) 125 2 2
2
3 2
曲率中心为
2 (1 y2 ) 2(1 2 ) y 1 4 x0 2 y
1 y2 1 22 7 y0 1 y 2 2 7 曲率中心： D(4 , ) . 2 曲率圆的方程为
称为曲线 y f ( x) 在点 M 处的曲率 .
又是平均值 极限的方法 .
例1
求半径为 R 的圆上任意一点处的曲率 .
如图所示 , 在圆上任取一点 M , 则 ︵ s || MM || R 1 O 故 lim lim s 0 R s 0 s R R 即圆上点的曲率处处相同： M 1 k R 半径越小的圆 , 弯曲得越厉害 .
曲率中心的坐标
设曲线方程为 y f ( x) , f ( x) 存在且
f ( x0 ) 0 , 则曲线在点 M ( x0 , y0 ) 处的曲率
中心 D( , ) 的坐标为 y(1 y2 ) x0 , y
2 1 y y0 , y
式中 y 与 y 是 y f ( x) 在点 M 处的导数 .