极限的运算法则及计算方法

第二节 极限的运算法则
一．极限的四则运算法则 定理 设 lim f ( x) A, lim g( x) B, 则 (1) lim[ f ( x) g( x)] A B; (2) lim[ f ( x) g( x)] A B; (3) lim f ( x) A , 其中B 0. g( x) B 推论1 如果 lim f ( x)存在,而c为常数,则 lim[cf ( x)] c lim f ( x). 常数因子可以提到极限记号外面.
x2 x 3
x2 x 2
x2 x 2
解: (1) lim(2x2 x 1) 11 lim( x 3) 1 0
x2
x2
lim 2x2 x 1 11 11
x2 x 3
1
(2) lim x2 x 2 x2 x 2
因为分母的极限为0，而分子极限为8
(3) lim x2 x 2 x2 x 2
当Q(
x0
)
0时， lim x x0
P( Q(
x) x)
=
P( Q(
x0 x0
) )
Байду номын сангаас
（代入即可）
当
P( x0 ) 0,Q( x0 ) 0
时，lim P( x) =
xx0 Q( x)
当
P( x0 ) 0,Q( x0 ) 0
时，lim x x0
P( Q(
x x
) )
=
约去零因子
(
x
x0
)
后的有理分式的极限（分子分母都要分解因式）
lim
x
x2 5x 4
;
(2)
lim
x
(1
3
x
)3
(1
2
x
)6
(3) lim 2x 3 x x2 3x 2
解: (1)
lim
x
2x4 x2
2x3 1 5x 4
(2)
lim ( x 1)4 (1 2x)5 x (1 3 x)3 (1 2 x)6
lim
x
(2)5 x9 (3)3 (2)6 x9
1 (2)5 (3)3 (2)6
1
1
(3)3 (2) 54
(3)
lim
x
2x 3
x2 3x 2
lim x
(2x 3)2 x2 3x 2
(2x 3)2
lim
x
x2
3x
2
22 2
1
三、无穷小量的运算法则 (1)非零无穷小量的倒数是无穷大量，反之亦然。
3 5
（2）计算有理分式在 x 极限的运算
例4：求下列极限
2x2 2x 1
x2 4
x2
(1) lim
; (2) lim
; (3) lim
x x2 5x 4
x x 2
x x2 4
解: 由于当 x 时，分子分母均趋于无穷大，极限不存在
所以极限的四则运算法则不能用
在分子分母中同时除以 x 的最高次幂，可化为极限存在的情况
lim(1 x
)2 10
x
110
1
二、计算有理分式极限的运算法则
设P( x)、Q( x)都是多项式,则称 P( x) 为有理分式 Q( x)
（1）计算有理分式在 x x0 极限的运算
例2：求下列极限
2x2 x 1
x2 x 2
x2 x 2
(1) lim
; (2) lim
; (3) lim
（4）lim(1 x3
x 3
)3；
(5) lim(1 x
)2 10
x
解: lim( x2 2x 3) lim x2 lim 2x lim 3
x3
x3
x3
x3
(lim x)2 2lim x lim 3 32 2 3 3 18
x3
x3
x3
（2）lim(7sin x 4cos x) 7limsin x 4limcos x 70 41 4
x0
x0
x0
（3） lim ex 1 x0
limln( x 10) ln10 0
x0
lim e x 1 x0 ln( x 10) ln10
（4）
lim(1
x3
x 3
)
1
1
2
lim(1 x3
x 3
)3
23
8
(5)
lim(1
x
2 x
)
1
(
lim 2 0 ) x x
定理：初等函数在其 定义区间内任一点的 极限值等于函数值。
分子分母分解因式
2x2 5x 2 (2x 1)( x 2) , 3x2 7 x 2 (3x 1)( x 2)
2x2 5x 2 lim x2 3x2 7x 2
(2x 1)( x 2) lim
x2 (3 x 1)( x 2)
(2x 1) lim
x2 (3 x 1)
(1)
lim
2x2
2x
1
lim
2
2 x
1 x2
200 2
(2)
x
lim
x
x2 5x 4 x2 4 lim x 2 x
x 1 5
1
4 x2
x
1 x
2 x2
4 x2
100
x2
(3)
lim
x
x2
4
lim x
1 x
2 x2
1
4 x2
0
从而可以总结出下列规律：
设P( x)、Q( x)分别是n次和m次多项式，则
例3：利用上面的规律求下列极限
x2 3x 2
(1)
lim
x 1
x2
5x
4
;
2x2 5x 2
(2)
lim
x2
3
x2
7
x
2
解: (1) P(1) 12 31 2 6 , Q(1) 12 51 4 0
x2 3x 2
lim
x 1
x2
5x
4
(2) P(2) 2 22 5 2 2 0 , Q(2) 3 22 7 2 2 0
当an 0, bm 0, m和n为非负整数时有
lim
x
an xn bm x m
an1 x n1 bm1 x m1
a0 b0
an , bm 0,
例 5： 利用以上规律求下列极限 ,
当n m, 当n m, 当n m,
2x4 2x3 1
( x 1)4 (1 2 x)5
(1)
lim( x2 x 2) 0 , lim( x 2) 0
x2
x2
所以极限的四则运算法则不能用
但是 x2 x 2 ( x 2)( x 1)
x2 x 2
( x 2)( x 1)
lim
lim
lim( x 1) 3
x2 x 2
x2
x2
x2
从而可以总结出下列规律：
设P( x)、Q( x)都是多项式, x0为有限数，则
推论2 如果 lim f ( x)存在,而n是正整数,则 lim[ f ( x)]n [lim f ( x)]n .
该法则成立的前提是：lim f ( x),lim g( x) 都存在
例1:求下列极限
（1）lim( x2 2x 3)； x3
（3）lim ex ； x0 ln( x 10)
（2）lim(7sin x 4cos x)； x0