电磁场与电磁波第七章习题及参考答案
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解：
这里用两种解法。
(1)采用如图所示的方法，先用特性阻抗为 长为 的传输线，
将负载的复阻抗转换为电阻R ,然后用长度为 特性阻抗为Z的传输线，使其输入阻抗等于 ，即实现传输线匹配。
终端反射系数为
传输线 输入端的反射系数为
为使传输线 输入端的输入阻抗为电阻，传输线 输入端的反射系数应为实数，由上式得
解：
图7.2-2
(7.2-５)
(7.2-６)
串联支路上的电压为
（1）
并联支路上的电流为
(2)
由（1）和（2）式得
（3）
（4）
两边同除 得
（5）
（6）
（5）、（6）式就是(7.2-５)和(7.2-6)式对应的传输线方程的时域形式。
7-3、由(7.2-１０)、(7.2-3)、(7.2-4)和(7.2-９)式推导(7.2-１１)和 (7.2-１2)式。
对于 波， ， 可以表示为
（1）
式中 满足方程
（2）
解方程得
(3)
的通解为
(4)
下面由理想导电壁的边界条件 ，确定上式中的几个常数。在2个理想导电壁上， 是切向分量，因此有
（2）在 的理想导电壁上，由 ，得
（2）在 的理想导电壁上，由 ，得 ，
即 ，
由此，得
（5）
（6）
（7）
将（5）式代入(7.1-１０)式，就得到波导中 波的其他场分量
解 ，
、 、 、 、 、 、 、
7-22、矩形波导尺寸为 ，中间为空气，求单模传输的频率范围。
解：波长与尺寸的关系为
所以, ， ,
故范围为10～20GHz。
7-23、空气填充的矩形波导尺寸为 ，单模传输，当终端短路时，波导中形成驻波，相邻波节点距离为 ，求电磁波频率。
解：已知 ；
所以，
7-24、正方形波导填充 的非磁性理想介质，频率为 的波工作于主模，群速为 。计算波导截面尺寸。
（2）在 的理想导电壁上，由 ，得 ，
即 ，
由此，得
（5）
（6）
（7）
将（5）式代入(7.1-１０)式，就得到波导中 波的其他场分量
7-19、电磁波在分别位于 处的无限大理想导体平板之间的空气中沿 方向传输。求 波的各电磁场分量以及 模式的截止波长、相速、波导波长和波阻抗。
解：无限大理想导体平板之间波沿 方向传输，那么场与 无关
解：设立方体谐振腔尺寸为 ，则 模的谐振频率
7-36、内导体外径为 ，外导体内径为 ，中空的同轴线长为 ，两端短路，求谐振频率。
解：
解：原来波导中主模传输的频率范围为7~13GHz
7-33、矩形谐振腔尺寸为 ，中间为空气，试求发生谐振的4个最低模式及其谐振频率。
解：
：
：
：
：
7-34、用尺寸为 的矩形波导制作一个谐振腔，使其谐振于 ，谐振频率为 ，求谐振腔的长度。
解：
可得 。
7-35、立方体谐振腔， 模Байду номын сангаас谐振频率为 。求谐振腔尺寸。
解：无限大理想导体平板之间波沿 方向传输，那么场与 无关
对于 波， ， 可以表示为
（1）
式中 满足方程
（2）
解方程得
(3)
的通解为
(4)
上式代入(7.1-１０b)式
考虑到 ，得
下面由理想导电壁的边界条件 ，确定上式中的几个常数。在2个理想导电壁上， 是切向分量，因此有
（1）在 的理想导电壁上，由 ，得
解： 将
代入 并等式两边平方得
令等式两边实部和虚部分别相等，得
解以上两方程，得
(7.2-１１)
(7.2-１２)
7-4、证明（7.2-13）式为(7.2-7)式的解。
解
即
7-5、同轴线内导体外径为 ,外导体内径为 ,内外导体之间为 的非磁性介质，求特性阻抗。
解：特性阻抗 。
7-6、型号为SYV－5－2－2的同轴电缆内导体外径为 ,外导体内径为 ,内外导体之间为 的非磁性介质，求特性阻抗。
解： ，
，
7-25、频率分别为 与 电磁波在空气填充的矩形波导 中，单模传输，传播了1000米，求两不同频率的时延差是多少。
解 ，
，
两不同频率的时延差是
7-26、工作波长为 的电磁波在尺寸为 的空气填充的矩形波导中多模传输，传播了1000米，求 和 两模式的时延差是多少。
解 ， ，
7-27、设计矩形波导尺寸使 的电磁波单模传播。
解：特性阻抗
7-7、特性阻抗为75Ω的传输线，终端负载为 。求：（1）终端的反射系数；（2）传输线上的电压驻波比；（3）距终端 处的输入阻抗。
解：（1）终端的反射系数 ；
（2）电压驻波比 ；
（3）距终端 输入阻抗
其中
所以，
7-8、特性阻抗为 的传输线,终端接负载 ，波长为 。求终端反射系数、驻波比、电压波节点及波腹点的位置。
模式的截止波长、相速、波导波长和波阻抗
7-20、矩形波导尺寸为 ，中间为空气，当 的电磁波在其中传输时，求有那些传导模式，并求这些模式的 ， ， 。如果波导中填满 ， 的介质，又有哪些传导模式？
解： ；
可见，仅可传 模式。
如果波导中填满 ， 的介质，则
可传 ， ， ， ， , ， , 模式。
7-21、截面积为 的空气填充方波导，对于 的波，有那些传导模式？
解得 （9）
（10）
将（9）、（10）代入（5）、（6）式得
7-13、用一段特性阻抗为 ， ，终端短路的传输线，在 的频率上形成（1） 的电容；
（2） 的电感。求短路传输线的长度。
解： ， ，
（1） ，可得：
电容
（2） ，可得：
电感
7-14、如果以上电感、电容用开路传输线实现，传输线应多长？
解：
（1） ，可得：
解设一段长为 、特性阻抗为 的无损耗传输线，左端接信号源，右端接负载 ，如图所示。信号源产生沿 方向传输的电压波和电流波为
(1)
(2)
图无损耗传输线
入射电压电流波传输到负载后，一部分被负载吸收，一部分被反射。反射电压电流波可写为
(３)
(４)
传输线上的总电压电流波可写为
(5)
(6)
在终端 ，
（7）
（8）
(a)当 时， ，
传输线 输入端的输入阻抗为
(b)当 时， ，
传输线 输入端的输入阻抗为
(2)先用特性阻抗为 长为 的短路传输线并联在负载两端，以抵消负载导纳的虚部，然后用长度为 特性阻抗为Z的传输线接在负载与传输线之间，使其输入阻抗等于 ，即实现传输线匹配。
负载导纳为
为抵消负载导纳的虚部，短路传输线的输入导纳应为
解：
应满足 ，所以
， ，
可取 。
7-28、设计矩形波导，使频率在 之间的电磁波能单模传播，并至少在两边留有 ℅的保护带。
解： ；
设TE10波截止频率为 ，TE20波截止频率为 ，则
可得：
故选择 ，可满足要求。
7-29、无限长矩形波导 中 为空气， 段为 的理想介质，频率为 的电磁波沿z方向单模传播，仅考虑主模时，求 区域的驻波比。
解：
段波阻抗
段波阻抗
反射系数
驻波比 ；
7-30、矩形波导尺寸为 ，工作频率为 ，空气的击穿场强为 ，求该波导能传输的最大功率。
解：
7-31、铜制作的矩形波导尺寸为 ，中间为空气，工作频率为 ，求该波导每公里衰减值(以dB表示)。
解：
所以，
故每千米的功率衰减值为
7-32、一段尺寸为 的空气填充矩形波导，长为 ，两端用理想导电板短路形成谐振腔，求原来波导中主模传输的电磁波在谐振腔中的振荡频率。
电容
（2） ，可得：
电感
7-15、某仪器的信号输入端为同轴接口，输入阻抗为75Ω，如果要使特性阻抗为 的同轴电缆接上后对波长为 的波无反射，应如何进行阻抗匹配变换？
解：采用级连匹配法。
当 时，
,
可得 为所求。
7-16、某天线的输入阻抗为 ，天线作为负载与特性阻抗为 的传输线相连。要使传输线上无反射，应如何进行阻抗匹配变换？
习题
7-1、如果 已知,由无源区的麦克斯韦方程,求圆柱坐标系中 与 的关系。
解：设 ；
则 ；
在圆柱坐标系中展开无源区的麦克斯韦方程
；
得
由以上几式得
式中
7-2证明（7.2-6）式为(7.2-4)式的解。
证明：
由（7.2-6）式
可得：
因此 即(7.2-4)式
7-2、从图7.2-2的等效电路，求(7.2-５)和(7.2-6)式对应的传输线方程的时域形式。
，由于终端就是电压波节点，因此
，
7-11、特性阻抗为75Ω的传输线，终端负载为 ，测得距终端负载10 处是电压波腹点，30 处是相邻的电压波节点，电压驻波比为2，求终端负载。
解
，
电压波腹点到终端的距离 为
取 ，则
终端反射系数为
由 得
7-12、特性阻抗为 的传输线，终端接一负载，设终端负载处电压和电流分别为 和 ，证明传输线上任一位置的电压 和电流 和 和 的关系可写为
由此得
计算得
并联短路传输线后，负载阻抗变为
用长度为 特性阻抗为Z的传输线进行阻抗变换
7-17、推导矩形波导中TE波场分量(7.4－16)式。
解： ；
；
用分离变量法：
令
代入第三式可得：
；
令 ， ；其中 ；
所以
由边界条件，
边界，
边界,
边界,
边界,
于是，可得 ， ， ；
最终得到
7-18、电磁波在分别位于 处的无限大理想导体平板之间的空气中沿 方向传输。求 波的各电磁场分量以及各模式的截止波长、相速、波导波长和波阻抗。
，由于终端就是电压波节点，因此
，
传输线上的总电压电流波可写为
7-10、特性阻抗为75Ω的传输线，终端负载为 ，测得距终端负载20 处是电压波腹点，30 处是相邻的电压波节点，电压驻波比为2，求终端负载。
解距终端负载20 处是电压波腹点，30 处是相邻的电压波节点，相邻的电压波腹点和波节点距离为 ，
那么终端就是电压波腹点。
解：终端反射系数 ；
驻波比 ；
电压波腹点位置
电压波节点的位置
7-9、特性阻抗为75Ω的传输线，终端负载为 ，测得距终端负载20 处是电压波节点，30 处是相邻的电压波腹点，电压驻波比为2，求终端负载。设入射电压波为 ，负载处 ，写出总电压、电流波。
解：距终端负载20 处是电压波节点，30 处是相邻的电压波腹点，相邻的电压波腹点和波节点距离为 ，那么终端就是电压波节点。
这里用两种解法。
(1)采用如图所示的方法，先用特性阻抗为 长为 的传输线，
将负载的复阻抗转换为电阻R ,然后用长度为 特性阻抗为Z的传输线，使其输入阻抗等于 ，即实现传输线匹配。
终端反射系数为
传输线 输入端的反射系数为
为使传输线 输入端的输入阻抗为电阻，传输线 输入端的反射系数应为实数，由上式得
解：
图7.2-2
(7.2-５)
(7.2-６)
串联支路上的电压为
（1）
并联支路上的电流为
(2)
由（1）和（2）式得
（3）
（4）
两边同除 得
（5）
（6）
（5）、（6）式就是(7.2-５)和(7.2-6)式对应的传输线方程的时域形式。
7-3、由(7.2-１０)、(7.2-3)、(7.2-4)和(7.2-９)式推导(7.2-１１)和 (7.2-１2)式。
对于 波， ， 可以表示为
（1）
式中 满足方程
（2）
解方程得
(3)
的通解为
(4)
下面由理想导电壁的边界条件 ，确定上式中的几个常数。在2个理想导电壁上， 是切向分量，因此有
（2）在 的理想导电壁上，由 ，得
（2）在 的理想导电壁上，由 ，得 ，
即 ，
由此，得
（5）
（6）
（7）
将（5）式代入(7.1-１０)式，就得到波导中 波的其他场分量
解 ，
、 、 、 、 、 、 、
7-22、矩形波导尺寸为 ，中间为空气，求单模传输的频率范围。
解：波长与尺寸的关系为
所以, ， ,
故范围为10～20GHz。
7-23、空气填充的矩形波导尺寸为 ，单模传输，当终端短路时，波导中形成驻波，相邻波节点距离为 ，求电磁波频率。
解：已知 ；
所以，
7-24、正方形波导填充 的非磁性理想介质，频率为 的波工作于主模，群速为 。计算波导截面尺寸。
（2）在 的理想导电壁上，由 ，得 ，
即 ，
由此，得
（5）
（6）
（7）
将（5）式代入(7.1-１０)式，就得到波导中 波的其他场分量
7-19、电磁波在分别位于 处的无限大理想导体平板之间的空气中沿 方向传输。求 波的各电磁场分量以及 模式的截止波长、相速、波导波长和波阻抗。
解：无限大理想导体平板之间波沿 方向传输，那么场与 无关
解：设立方体谐振腔尺寸为 ，则 模的谐振频率
7-36、内导体外径为 ，外导体内径为 ，中空的同轴线长为 ，两端短路，求谐振频率。
解：
解：原来波导中主模传输的频率范围为7~13GHz
7-33、矩形谐振腔尺寸为 ，中间为空气，试求发生谐振的4个最低模式及其谐振频率。
解：
：
：
：
：
7-34、用尺寸为 的矩形波导制作一个谐振腔，使其谐振于 ，谐振频率为 ，求谐振腔的长度。
解：
可得 。
7-35、立方体谐振腔， 模Байду номын сангаас谐振频率为 。求谐振腔尺寸。
解：无限大理想导体平板之间波沿 方向传输，那么场与 无关
对于 波， ， 可以表示为
（1）
式中 满足方程
（2）
解方程得
(3)
的通解为
(4)
上式代入(7.1-１０b)式
考虑到 ，得
下面由理想导电壁的边界条件 ，确定上式中的几个常数。在2个理想导电壁上， 是切向分量，因此有
（1）在 的理想导电壁上，由 ，得
解： 将
代入 并等式两边平方得
令等式两边实部和虚部分别相等，得
解以上两方程，得
(7.2-１１)
(7.2-１２)
7-4、证明（7.2-13）式为(7.2-7)式的解。
解
即
7-5、同轴线内导体外径为 ,外导体内径为 ,内外导体之间为 的非磁性介质，求特性阻抗。
解：特性阻抗 。
7-6、型号为SYV－5－2－2的同轴电缆内导体外径为 ,外导体内径为 ,内外导体之间为 的非磁性介质，求特性阻抗。
解： ，
，
7-25、频率分别为 与 电磁波在空气填充的矩形波导 中，单模传输，传播了1000米，求两不同频率的时延差是多少。
解 ，
，
两不同频率的时延差是
7-26、工作波长为 的电磁波在尺寸为 的空气填充的矩形波导中多模传输，传播了1000米，求 和 两模式的时延差是多少。
解 ， ，
7-27、设计矩形波导尺寸使 的电磁波单模传播。
解：特性阻抗
7-7、特性阻抗为75Ω的传输线，终端负载为 。求：（1）终端的反射系数；（2）传输线上的电压驻波比；（3）距终端 处的输入阻抗。
解：（1）终端的反射系数 ；
（2）电压驻波比 ；
（3）距终端 输入阻抗
其中
所以，
7-8、特性阻抗为 的传输线,终端接负载 ，波长为 。求终端反射系数、驻波比、电压波节点及波腹点的位置。
模式的截止波长、相速、波导波长和波阻抗
7-20、矩形波导尺寸为 ，中间为空气，当 的电磁波在其中传输时，求有那些传导模式，并求这些模式的 ， ， 。如果波导中填满 ， 的介质，又有哪些传导模式？
解： ；
可见，仅可传 模式。
如果波导中填满 ， 的介质，则
可传 ， ， ， ， , ， , 模式。
7-21、截面积为 的空气填充方波导，对于 的波，有那些传导模式？
解得 （9）
（10）
将（9）、（10）代入（5）、（6）式得
7-13、用一段特性阻抗为 ， ，终端短路的传输线，在 的频率上形成（1） 的电容；
（2） 的电感。求短路传输线的长度。
解： ， ，
（1） ，可得：
电容
（2） ，可得：
电感
7-14、如果以上电感、电容用开路传输线实现，传输线应多长？
解：
（1） ，可得：
解设一段长为 、特性阻抗为 的无损耗传输线，左端接信号源，右端接负载 ，如图所示。信号源产生沿 方向传输的电压波和电流波为
(1)
(2)
图无损耗传输线
入射电压电流波传输到负载后，一部分被负载吸收，一部分被反射。反射电压电流波可写为
(３)
(４)
传输线上的总电压电流波可写为
(5)
(6)
在终端 ，
（7）
（8）
(a)当 时， ，
传输线 输入端的输入阻抗为
(b)当 时， ，
传输线 输入端的输入阻抗为
(2)先用特性阻抗为 长为 的短路传输线并联在负载两端，以抵消负载导纳的虚部，然后用长度为 特性阻抗为Z的传输线接在负载与传输线之间，使其输入阻抗等于 ，即实现传输线匹配。
负载导纳为
为抵消负载导纳的虚部，短路传输线的输入导纳应为
解：
应满足 ，所以
， ，
可取 。
7-28、设计矩形波导，使频率在 之间的电磁波能单模传播，并至少在两边留有 ℅的保护带。
解： ；
设TE10波截止频率为 ，TE20波截止频率为 ，则
可得：
故选择 ，可满足要求。
7-29、无限长矩形波导 中 为空气， 段为 的理想介质，频率为 的电磁波沿z方向单模传播，仅考虑主模时，求 区域的驻波比。
解：
段波阻抗
段波阻抗
反射系数
驻波比 ；
7-30、矩形波导尺寸为 ，工作频率为 ，空气的击穿场强为 ，求该波导能传输的最大功率。
解：
7-31、铜制作的矩形波导尺寸为 ，中间为空气，工作频率为 ，求该波导每公里衰减值(以dB表示)。
解：
所以，
故每千米的功率衰减值为
7-32、一段尺寸为 的空气填充矩形波导，长为 ，两端用理想导电板短路形成谐振腔，求原来波导中主模传输的电磁波在谐振腔中的振荡频率。
电容
（2） ，可得：
电感
7-15、某仪器的信号输入端为同轴接口，输入阻抗为75Ω，如果要使特性阻抗为 的同轴电缆接上后对波长为 的波无反射，应如何进行阻抗匹配变换？
解：采用级连匹配法。
当 时，
,
可得 为所求。
7-16、某天线的输入阻抗为 ，天线作为负载与特性阻抗为 的传输线相连。要使传输线上无反射，应如何进行阻抗匹配变换？
习题
7-1、如果 已知,由无源区的麦克斯韦方程,求圆柱坐标系中 与 的关系。
解：设 ；
则 ；
在圆柱坐标系中展开无源区的麦克斯韦方程
；
得
由以上几式得
式中
7-2证明（7.2-6）式为(7.2-4)式的解。
证明：
由（7.2-6）式
可得：
因此 即(7.2-4)式
7-2、从图7.2-2的等效电路，求(7.2-５)和(7.2-6)式对应的传输线方程的时域形式。
，由于终端就是电压波节点，因此
，
7-11、特性阻抗为75Ω的传输线，终端负载为 ，测得距终端负载10 处是电压波腹点，30 处是相邻的电压波节点，电压驻波比为2，求终端负载。
解
，
电压波腹点到终端的距离 为
取 ，则
终端反射系数为
由 得
7-12、特性阻抗为 的传输线，终端接一负载，设终端负载处电压和电流分别为 和 ，证明传输线上任一位置的电压 和电流 和 和 的关系可写为
由此得
计算得
并联短路传输线后，负载阻抗变为
用长度为 特性阻抗为Z的传输线进行阻抗变换
7-17、推导矩形波导中TE波场分量(7.4－16)式。
解： ；
；
用分离变量法：
令
代入第三式可得：
；
令 ， ；其中 ；
所以
由边界条件，
边界，
边界,
边界,
边界,
于是，可得 ， ， ；
最终得到
7-18、电磁波在分别位于 处的无限大理想导体平板之间的空气中沿 方向传输。求 波的各电磁场分量以及各模式的截止波长、相速、波导波长和波阻抗。
，由于终端就是电压波节点，因此
，
传输线上的总电压电流波可写为
7-10、特性阻抗为75Ω的传输线，终端负载为 ，测得距终端负载20 处是电压波腹点，30 处是相邻的电压波节点，电压驻波比为2，求终端负载。
解距终端负载20 处是电压波腹点，30 处是相邻的电压波节点，相邻的电压波腹点和波节点距离为 ，
那么终端就是电压波腹点。
解：终端反射系数 ；
驻波比 ；
电压波腹点位置
电压波节点的位置
7-9、特性阻抗为75Ω的传输线，终端负载为 ，测得距终端负载20 处是电压波节点，30 处是相邻的电压波腹点，电压驻波比为2，求终端负载。设入射电压波为 ，负载处 ，写出总电压、电流波。
解：距终端负载20 处是电压波节点，30 处是相邻的电压波腹点，相邻的电压波腹点和波节点距离为 ，那么终端就是电压波节点。