曾谨言量子力学

设厄米算符A在任意态ψ下的平均值为零，则A为零算符，
即
Aˆ 0 (任意)
证明： A ，Aˆ ( Aˆ , ) 0
在态 Aˆ 下的平均值也为零 ，即
Aˆ , Aˆ( A ) ( Aˆ , Aˆ Aˆ 2 )
( , Aˆ ) (Aˆ , Aˆ ) ( , Aˆ 2 ) (Aˆ , Aˆ(Aˆ )) 2(Aˆ , Aˆ ) 0
z r cosθ
φ arctan(y / x)
lˆx
isinφ
θ
cotθ
cosφ
φ
lˆy
i cosφ
θ
cotθ
s in φ
φ
lˆz
i
φ
lˆ 2
2
1
sinθ
θ
sinθ
θ
1
sin2 θ
2
φ 2
角动量的对易关系
Levi-Civita 符号
[lˆα , xβ ] εαβγixγ [lˆα , pˆ β ] εαβγipˆγ
即
Aˆ Biblioteka Baidu
2
d
0
所以 Aˆ 0
§3.2 厄米算符的本征值与本征函数
涨落：力学量的测量值围绕其平均值的上下波动。
A2 ( Aˆ A)2 ( Aˆ A)2d (1)
利用算符的厄米性可得
A2
( Aˆ
A )
2
d
0
( 2)
本征态：若体系处于一特殊态，测量力学量A所得结果是唯一确定
的，即涨落为零，则称这种状态是力学量A的本征态。
[ Aˆ, Bˆ ] Aˆ Bˆ BˆAˆ
(6)
若[A,B]=0,则称算符A,B是对易的； 若[A,B]≠0, 则称算符A, B不对易。
对 [ Aˆ, Bˆ ] [Bˆ, Aˆ] 易 [ Aˆ, Bˆ Cˆ ] [ Aˆ, Bˆ ] [Aˆ,Cˆ ] 子 [ Aˆ, BˆCˆ ] Bˆ[ Aˆ,Cˆ ] [ Aˆ, Bˆ ]Cˆ 的 性 [ Aˆ Bˆ,Cˆ ] Aˆ[Bˆ,Cˆ ] [ Aˆ,Cˆ ]Bˆ 质 [ Aˆ,[Bˆ,Cˆ ]] [Bˆ,[Cˆ, Aˆ]] [Cˆ,[Aˆ, Bˆ ]] 0(Jacobi)恒等式
(f) 算符的函数 若函数F(x)的各阶导数存在，幂级数展开收敛
F(x) F (n)(0) xn n0 n!
则可定义算符A的函数F(A)为 F(Aˆ) F (n)(0) Aˆ n n0 n!
如
F d
dx
ad
e dx
n0
an n!
dn dx n
则
a
e
d
dxψ
(
x)
ψ
(
x
a)
平移算符
质 (c1ψ1 c2ψ2 ,φ ) c1(ψ1,φ ) c2(ψ2 ,φ )
(f) 转置算符： 算符A的转置定义为 dτψ A~ˆ φ dτφAˆ ψ
或
(ψ , A~ˆ φ ) (φ , Aˆ ψ )
例如： ~
x x
证明：
dxφ
ψ φψ
dxψ
φ
dxψ
φ
练习：令 lˆ lˆx ilˆy （升、降算符）
证明 [lˆz ,lˆ ] lˆ [lˆ ,lˆ ] 2lˆz lˆlˆ lˆ2 lˆz2 lˆz
(d)逆算符：设 Aˆψ φ
能唯一地解出Ψ，则可定义算符A的逆算符A-1为
Aˆ 1φ ψ
说明： (1) 并非所有算符都有逆算符，如投影算符 (2) 若算符A有逆，则有 Aˆ Aˆ 1 Aˆ 1Aˆ I , [ Aˆ, Aˆ 1] 0 (3) 若算符A,B的逆均存在，则有 ( Aˆ Bˆ )1 Bˆ 1Aˆ 1
两式分别相加、减得
(ψ1, Aˆψ2 ) (Aˆψ1,ψ2 ), (ψ2, Aˆψ1) (Aˆψ2,ψ1)
-------END 注：实验上的可观测量在任何状态下的平均值都是实数，相应
的算符必定是厄米算符
推论：设A 是厄米算符，则在任意态下有
Aˆ 2 ( , Aˆ 2 ) ( Aˆ , Aˆ ) Aˆ 2 d 0
i
φ
ψ
l zψ
lnψ φ
ilz
/
ψ (φ ) C exp[ ilzφ / ]
周期性边界条件 ψ (φ 2π ) ψ (φ )
所以
lz m, m 0,1,2,
相应的本征函数为 ψm (φ ) Ceimφ
归一化 即
2π 0
ψm (φ )
2 dφ
2π
C
2
1
ψm (φ )
1 eimφ , m 0,1,2,
定理1 厄米算符的本征值必为实数
A (ψn, Aˆψn ) An(ψn,ψn ) An
定理 2 厄米算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交
证明： 设 Aˆψn Anψn, Aˆψm Amψm
取上式的复共轭得 Aˆψm Amψm 上式右乘Ψn，并积分得 (Aˆψm,ψn ) Am(ψm,ψn )
( 4)
交换律: Aˆ Bˆ Bˆ Aˆ;
结合律: Aˆ (Bˆ Cˆ ) ( Aˆ Bˆ) Cˆ
( c ) 算符之积： 两个算符A和B的积记为AB。定义如下：对任何 波函数有
(AˆBˆ)ψ Aˆ(Bˆψ )
( 5)
Note: 一般来说，算符之积不满足交换律
1. 对易子(commutator)
x
x
x
按转置算符的定义，上式的左边有
dxφ
ψ
dxψ
~
φ
x
x
则
dxψ
~ x
x
φ
0
由于函数Ψ，φ是任意的，则有
即
~
x x
~ 0 x x
练习 证明： (1) pˆx pˆx , (2) (Aˆ Bˆ)T BˆAˆ
(g)复共轭算符和厄米共轭算符 算符A 的复共轭算符A*定义为
εαβγ ε βαγ εαγβ ε123 1
[lˆα ,lˆβ ] εαβγ ilˆγ 或
lˆ lˆ ilˆ （ 与两注个意矢算量符叉的积叉的积
定义角动量平方算符
lˆ 2 lˆx2 lˆy2 lˆz2
对易关系
[lˆ 2 ,lˆα ] 0,(α x, y, z)
区别）
板书证明部分角动量对易关系
2.量子力学的基本対易关系
[xˆ , pˆ ] i ( , x, y, z)
证明：
对任意波函数Ψ有
xˆpˆ x
i
x
x
pˆ x xˆ i
(x ) i i x
x
x
则 (xˆpˆ x pˆ x xˆ) i
即
[xˆ, pˆ x ] i
3. 角动量算符 lˆ rˆ pˆ
分 量
[ Aˆ m , Aˆ n ] 0
两个任意量子态的标积： (ψ,φ ) dτψφ
对一维粒子
dτ
dx
对三维粒子 dτ dxdydz r2 sinθdrdθdφ
(ψ,φ ) dτψφ
标 (ψ ,ψ ) 0
积 的 性
(ψ ,φ ) (φ ,ψ ) (ψ , c1φ1 c2φ2 ) c1(ψ ,φ1) c2 (ψ ,φ2 )
2π
例题2 平面转子的能量本征值与本征态
解： 平面转子的哈密顿为
Hˆ
lˆz2 2I
2
2I
2
φ 2
能量本征方程
2 2I
2
φ 2
ψ
Eψ
解为
ψm (φ )
1 eimφ , m 0,1,2,
2π
能量本征值为
Em
m22 2I
显然，除了m = 0外，对应一个本征值Em，有两个本征态， 能级二重简并。
思考题：平面转子的能量本征态可否取为实函数sinmφ,cosmφ? 此时它们是否仍为lz的本征态？
Aˆψ (Aˆψ ) (40)
通常算符A的复共轭算符A* 按如下方法求解： 把算符A中的 所有量都换成其复共轭。 如 pˆ (i) i pˆ
算符A 的厄米共轭算符A+定义为 (ψ, Aˆ φ) (Aˆψ,φ) (41) 则 (ψ , Aˆ φ ) (Aˆψ ,φ ) (φ, Aˆ ψ ) (φ , Aˆψ ) (ψ , A~ˆ φ )
对厄米算符A,有
(Aˆψm,ψn ) (ψm, Aˆψn ) An(ψm,ψn ) Am(ψm,ψn )
所以 ( Am An )(ψm ,ψn ) 0 若 An Am ，则必有 (ψm ,ψn ) 0
--------证毕
例题1 求角动量的z分量的本征值与本征函数
解：本征方程 整理得 其解为
即 (Aˆ A)ψ 0
或写成 Aˆ n An n
( 3)
An称为算符A的本征值，ψn为相应的本征态， 方程(3)称为算符A的本征方程。
量子力学的测量公设：在任意态下测量力学量A时所有可能出现 的值，都相应于线性厄米算符A的本征值；当体系处于算符A的 本征态时，则每次测量所得的结果都是完全确定的，即An
Note: 刻画可观测量的算符都是线性算符 单位算符I：保持波函数不变的算符
Iψ ψ
( 2)
算符相等：若两个算符对体系的任何波函数的运算所得结果
都相同，则称这两个算符相等。
Aˆψ Bˆψ
( 3)
Aˆ Bˆ
(b) 算符之和: 算符A,B之和，记为A+B。定义如下：对任何波函 数有
(Aˆ Bˆ)ψ Aˆψ Bˆψ
例题3 求动量x分量的本征态
解：动量x分量的算符
pˆ x
i
x
本征方程为
i
ψ
x
pxψ
其解为
ψ px (x) Ceipxx /
连续谱本征函数不能归一化，习惯上取 ψ px (x)
1 eipx x /
2π
波函数满足
ψ px
(x)ψ px (x)dx
δ ( px
px)
例题4 一维自由粒子的能量本征态
取Ψ=Ψ1+cΨ2, Ψ1,Ψ2也是任意的，c是任意常数，代入上式
(ψ1, Aˆ ψ1) c(ψ2 , Aˆ ψ1) c(ψ1, Aˆ ψ2 ) c 2 (ψ2 , Aˆ ψ2 ) (Aˆ ψ1,ψ1) c(Aˆ ψ2 ,ψ1) c( Aˆ ψ1,ψ2 ) c 2 (Aˆ ψ2 ,ψ2 )
两个算符的函数
F (n,m)(x, y)
n x n
m y m
F(x, y)
F( Aˆ, Bˆ ) F (n,m) (0,0)Aˆ nBˆ m n,m0 n!m!
算符的乘幂：定义算符A的n次幂为 Aˆ n Aˆ AˆAˆ
n
例，若 Aˆ d dx
则
Aˆ n
dn dx n
显然算符的乘幂满足： Aˆ mn Aˆ m Aˆ n
第 3 章 力学量用算符表达
§3.1 算符的运算规则 §3.2 算符的本征函数与本征值 §3.3 共同本征函数 §3.4 连续谱本征函数的归一化
§3.1 算符的运算规则
算符：量子力学中的算符就是对波函数（量子态）的一种运算
(a) 线性算符：凡满足下列规则的算符A，称为线性算符。
Aˆ(c11 c22) c1 Aˆ1 c2 Aˆ2 (1)
~ 所以 Aˆ Aˆ
如 pˆ ~pˆ ~pˆ pˆ 性质 ( Aˆ BˆCˆ ) Cˆ Bˆ Aˆ
(h) 厄米算符
满足下列关系的算符称为厄米算符（自共轭算符），或说是厄米的
(ψ, Aˆφ) (Aˆψ,φ) 或 Aˆ Aˆ (41)
Note: 所有力学量的算符均是厄米算符
lˆx yˆpˆ z zˆpˆ y i
y
z
z
y
表 述
lˆy zˆpˆ x xˆpˆ z i
z
x
x
z
lˆz xpˆ y ypˆ x i
x
y
y
x
球坐标系下的角动量算符
x r sinθ cosφ
y
r
sin
θ
sin
φ
,
r x2 y2 z2
θ arctan( x2 y2 / z)
在任意态下算符A的平均值都是实数，即
(1, Aˆ 1) ( Aˆ 1,1), ( 2 , Aˆ 2 ) ( Aˆ 2 , 2 )
所以 c(ψ2, Aˆψ1) c(ψ1, Aˆψ2 ) c(Aˆψ2,ψ1) c(Aˆψ1,ψ2 )
分别令c=1和c=i得到
(ψ1, Aˆψ2 ) (Aˆψ1,ψ2 ) (Aˆψ2,ψ1) (ψ2, Aˆψ1) (ψ1, Aˆψ2 ) (Aˆψ1,ψ2 ) (Aˆψ2,ψ1) (ψ2, Aˆψ1)
性质： (1) 两个厄米算符之和仍是厄米算符 (2)两个厄米算符之积不一定是厄米算符
(3)无论厄米算符A,B是否对易，算符
1 (Aˆ Bˆ BˆAˆ), 1 (Aˆ Bˆ BˆAˆ) 均是厄米算符
2
2i
（4）任何算符总可分解为两个厄米算符的线性组合
即 Oˆ Oˆ iOˆ
令
Oˆ
1 2
(Oˆ
Oˆ ),
Oˆ
1 2i
(Oˆ
Oˆ )
则O+和O-均是厄米算符。
定理： 在体系的任何状态下，厄米算符的平均值必为实数。
证明： Aˆ ( , Aˆ ) (Aˆ , ) ( , Aˆ ) Aˆ
逆定理：在任何状态下平均值为实数的算符必为厄米算符 证明： 按照假定 Aˆ Aˆ
即 (ψ, Aˆψ) (ψ, Aˆψ) (Aˆψ,ψ)