第七章压杆稳定解析
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
P -F1 Pcr 186.04kN
A
C 45°
F B
练习：支架如图所示, 求 其临界载荷力Fcr.
D
已知AC=CB=1m，材料 λp=100，E=200GPa，CD 杆截面直径d=40mm
y FAy A F Ax 45° F C
F B
x
解： CD为压杆，由 AB平衡求CD受力
C
M
A
F
z l
x
在正视图平面内：
Iz h 1 iz A 2 3
在俯视图平面内：
z
l
iz
132.8
0 .5 i y
Iy A
b 2 3
y
l
iy
99 .6
λz>λy 故压杆将在正视图平面内失稳，对于 Q235 钢 ，λz> λp=100 ，属于大柔度杆，可用欧拉公式计算其 临界：
2E 2 205109 40 60106 Fcr cr A 2 bh N 275kN 2 132.8
C FAy
A 1
已知材料λp=100， P B E=200GPa，杆截面直径 1m 1m d=40mm FAy F1 解：由整体平衡求约束反力 P A F2 FAy 0 FAy FB 2 F1 sin 30 FAy 0 由A点平衡求杆1、2受力，杆1受 F1 2 FAy P 压，计算其临界力： F cos 30 F 0
1 2
30 FAx2 D
3
4
FB
30 5
平面桁架如图所示, 求桁 架的临界载荷力Pcr.
2P F2 2 F1 / 3 3
1 (1 2 / 3) 4 1 115.47 i 0.040
l
λ1>100，属于大柔度杆，用欧拉公式：
2E 2 200 109 2 Fcr 2 A 0.04 N 186.04kN 2 (115.47) 4
将临界力Fcr除以压杆的横截面面积 A，可以得到压 杆的临界应力σcr，再利用惯性半径ρ与惯性矩I之间的 关系：
Fcr 2 EI cr A ( l ) 2 A
引入记号
I i A
2
2E cr l 2
( i )
(
l
i
) 则
E cr 2
2
式中λ称为压杆的长细比或柔度。 λ是一无量纲的量， 它综合反映了压杆支承条件、长度及截面形状和尺 寸的综合影响。
Fcr
F F F F
2 EI
(2l ) 2
铰支点处：
M 0, w 0
0.5l
l
0.7l
2l F
l 2 ( ) 2 2 EI Fcr (0.7l ) 2
Fcr
2 EI
即为挠曲线拐点
μl长的两端铰支压杆
达到临界状态临界力 为…… 此时压杆将要失稳
2 EI Fcr 2 ( l )
若 C1 0
则 y0
应 sin kl 0
kl n
n k l
可得
n EI F l2
2 2
n 0,1,2,
2 EI
l2
n 1 时
Fcr
这就是两端球铰支承的细长压杆的临界力计 算公式，也称欧拉公式 弯曲将发生在抗弯刚度最小的纵向平面内
二、其它支承情况下细长压杆的临界力 1.一端固定，一端自由 2.两端均为固定支座的压杆 3.一端固定，一端铰支
dx
xl时 y 0
求解该齐次线性方程组。因为A、B和Q/F不能同时等于零，即 要求上述齐次线性方程组必须有非零解，所以其系数行列式应 等于零： 解此方程求得最小解为 展开得： tan kl kl （不含零解） kl=4.49
FQ l 0 B F 得 FQ 0 Ak F A sin kl B cos kl 0
2
2 F d 得 y k 2 y k 2 Q (l x) dx 2 F
y
该微分方程的通解为：
y A sin kx B cos kx (l x) F FQ 转角方程为： dy Ak cos kx Bk sin kx dx F
FQ
代入边界条件 x 0 时 y 0, dy 0
验公式有直线公式和抛物线公式。
计算临界应力的直线公式为：
cr
a b
式中， a、b为与材料性质有关的常数，可查表得。
适用直线公式的压杆，λ有一个最低限，否则会出 现σcr>σs或σcr>σb的情况。 对于塑性材料制成的压杆，所对应的应力等于屈
服点，所以在经验公式中，令σcr=σs ，得
a s s b
材料服从虎克定律, 即σcr<σp时欧拉公式才适用
cr
2E 2 p
E p
2
E p p
2
λ p只与材料有关, Q235的E≈200 GPa,σp=196MPa. λ p ≈100 通常将λ >λp的杆称为大柔度杆 对于λ <λp的压杆，一般使用经验公式，常用的经
回代得: y cos kx (1 cos kx)
x l 时 y cos kl 0 kl
2
n (n 0,1,2, )
F 2 1 2 k ( ) 2 EI 2 l 2 EI F (2l ) 2
取最小值kl=π/2:
第三节 欧拉公式的适用范围及经验公式
例7-3 用Q235钢制成的矩形截面杆的受力及两端约束 如图所示，其中 (a) 为正视图， (b) 为俯视图。在 A 、 B 两处用螺栓夹紧。已知l=2.3m，b=40mm，h=60mm， 材料的弹性模量E=205GPa，求此杆的临界力。
解：压杆在A、B两处的 连接不同于球铰约束。 在正视图x～y平面内失 稳时，A、B两处可以自 由转动，相当于铰链约 束；在俯视图x～z平面 内失稳时，A、B两处不 能自由转动，可简化为 固定端约束。 F A h h F A b b y x B F B
2 EI 2 E 2 205109 2 Fcr A 0 . 16 N 2600kN 2 2 20 2 ( l ) 4 ( )
0.16
对于两端固支的压杆， λ<100，该杆属于中柔度 杆，应用直线经验公式计算其临界力：
Fcr (a b ) A 4140kN
当压杆的材料、尺寸和约束等情况确定时，临界力是一个确定 的值。可见解决压杆稳定的关键问题是确定压杆的临界力。 例:内燃机挺杆、活塞杆、连杆、桁架中的压杆、建筑物中的柱.
第二节 细长压杆的临界力
一、两端铰支细长压杆的临界力
M ( x) F w( x)
d w( x) M ( x) EI dx2
第七章
压杆稳定
第一节 压杆稳定的概念
现象:压杆保持直线平衡状态→直线平衡状态不稳定→ 压杆丧失直线形式平衡状态的现象称为丧失稳定，简 称失稳，也称屈曲。 从稳定平衡状态过渡到不稳定平衡状态的压力极限值， 称为临界载荷或临界力，用Fcr表示。 压杆失稳并非强度不足，而是区别于强度、刚度失效 的又一种失效形式。
20.16EI 2 EI Fcr 2 l (0.7l ) 2
0 1 l
k 0 1 0 sin kl cos kl 0
练习 由压杆挠曲线的近似微分方程，导出一端固定， 另一端自由的压杆的欧拉公式
x 解:根据挠曲线的近似微分方程可得：
d w M ( x) F ( w) 2 dx EI EI
FCD 2 2 F 124.03 Fcr = =43.85kN 2 2 2 2 FCD
练习：用Q235钢制成的工字形（I16.）截面杆l=1m， 一 端 固 定 一 端 自 由 ， 材 料 的 弹 性 模 量 E=200GPa ， λp=100，求此杆的临界力。
解 （1）计算柔度，判断柔度范围
2 2 9 2 2
27.54kN
第四节 其它形式构件的稳定问题
工程中还有很多其它构件也存在稳定问题。如受外压 作用的薄壁圆筒，有时管壁中的应力还远远没有达到 屈服点时，圆环形截面会变成椭圆形。与此类似，狭 长的矩形截面梁，在横向载荷作用下，会发生侧向弯 曲和绕轴线的扭转。这些都是稳定性问题。其临界载 荷都可以通过弹性力学方法推导求得.
这就是用直线公式的最小柔度。对于钢Q235的 a=304MPa, b=1.12MPa,σs=235MPa，代入上式得
304 235 s 61.6 1.12
工程中所用的抛物线经验公式，就是将临界应力 与柔度表示为下面的抛物线关系：
cr a1 b1
2
式中a1与b1也是与材料有关的常数。 工程实际中，柔度介于 λs 和 λp 之间的这一类压杆称 为中柔度压杆。而对于λ<λs的短压杆，称为小柔度杆 。这一类压杆将因压缩引起屈服或断裂破坏，属于 强度问题。 所以应该将屈服点（塑性材料）或抗压 强度极限（脆性材料）作为临界应力。
0
FC sin 45l / 2 Fl 0 FC 2 2 F
1 2 4 1 141.42 i 0.040
l
λ1>100，属于大柔度杆，用欧拉公式：
2E 2 200 109 2 Fcr 2 A 0.04 N 124.03kN 2 (141.42) 4
2 1100 1 105.82 p 100 i 1.89
λ1>100，属于大柔度杆，用欧拉公式：
l
2E 2 200 109 4 Fcr 2 A 26.110 N 460.08kN 2 (105.82)
练 习 ： 用 Q235 钢 制 成 的 空 心 圆 形 截 面 杆 l=1m ， D=20mm ， d=12mm ，一端固定一端铰支，材料的弹 性模量E=200GPa， λp=100，求此杆的临界力。
解 ：计算柔度，判断柔度范围
1
l
i
l
D d 4
2 2
0.7 11000 20 12 4
2 2
120.05 p 100
λ1>100，属于大柔度杆，用欧拉公式：
E 200 10 (20 12 ) 6 Fcr 2 A 10 N 2 (120.5) 4
临界应力总图
表示临界应力随压杆柔度变化的情况.
σcr σs σp
cr s
A B
cr a1 b1 cr a b
C
2
E cr 2
2
D λ
λs λp
例题 如图所示的压杆，其直径均为 d，材料都是Q235 钢，但两者的长度和约束都不相同。（1）分析哪一根 杆的临界力较大。（2）若d=160mm ，E=205GPa，计 算两杆的临界力。 4 d 解 （1）计算柔度 d 64 F F i 2 d 4 4
d 2 w( x) 2 k w( x) 0 2 dx F 2 其中 k EI
微分方程(c)的一般解为 y F
2
EI l x F M ( x) _ F x w=w(x)
F
y
F
x
w( x) C1 sin kx C2 coskx
边界条件
w(0) w(l ) 0
C1 sin kl 0 C2 0
1 4 5 125 i 0.16 l 0.5 4 7 2 87.5 i 0.165mBiblioteka 7m1 l
比较两者的柔度可知，两端固支 的压杆具有较高的临界压力。
(2)计算两杆的临界力。
对于两端铰支的压杆，因为λ>100，所以该杆属于大 柔度杆，可用欧拉公式计算临界力：
统一写成
式μl中称为相当长度， μ称为长度系数.
例7-1 由压杆挠曲线的近似微分方程，导出一端固定， 另一端铰支压杆的欧拉公式
解:根据挠曲线的近似微分方程可得： d 2 y M ( x) Fy FQ (l x) x 2 dx EI EI EI F FQ y x l
F 令k EI
2
δ
F
令
F k EI
2
2 2
w y x
得 w k w k 该微分方程的通解为：
w A sin kx B cos kx
转角方程为：
dw Ak cos kx Bk sin kx dx
l
代入边界条件
x 0 时 y 0 得 B dy x 0时 0 得 A0 dx
A
C 45°
F B
练习：支架如图所示, 求 其临界载荷力Fcr.
D
已知AC=CB=1m，材料 λp=100，E=200GPa，CD 杆截面直径d=40mm
y FAy A F Ax 45° F C
F B
x
解： CD为压杆，由 AB平衡求CD受力
C
M
A
F
z l
x
在正视图平面内：
Iz h 1 iz A 2 3
在俯视图平面内：
z
l
iz
132.8
0 .5 i y
Iy A
b 2 3
y
l
iy
99 .6
λz>λy 故压杆将在正视图平面内失稳，对于 Q235 钢 ，λz> λp=100 ，属于大柔度杆，可用欧拉公式计算其 临界：
2E 2 205109 40 60106 Fcr cr A 2 bh N 275kN 2 132.8
C FAy
A 1
已知材料λp=100， P B E=200GPa，杆截面直径 1m 1m d=40mm FAy F1 解：由整体平衡求约束反力 P A F2 FAy 0 FAy FB 2 F1 sin 30 FAy 0 由A点平衡求杆1、2受力，杆1受 F1 2 FAy P 压，计算其临界力： F cos 30 F 0
1 2
30 FAx2 D
3
4
FB
30 5
平面桁架如图所示, 求桁 架的临界载荷力Pcr.
2P F2 2 F1 / 3 3
1 (1 2 / 3) 4 1 115.47 i 0.040
l
λ1>100，属于大柔度杆，用欧拉公式：
2E 2 200 109 2 Fcr 2 A 0.04 N 186.04kN 2 (115.47) 4
将临界力Fcr除以压杆的横截面面积 A，可以得到压 杆的临界应力σcr，再利用惯性半径ρ与惯性矩I之间的 关系：
Fcr 2 EI cr A ( l ) 2 A
引入记号
I i A
2
2E cr l 2
( i )
(
l
i
) 则
E cr 2
2
式中λ称为压杆的长细比或柔度。 λ是一无量纲的量， 它综合反映了压杆支承条件、长度及截面形状和尺 寸的综合影响。
Fcr
F F F F
2 EI
(2l ) 2
铰支点处：
M 0, w 0
0.5l
l
0.7l
2l F
l 2 ( ) 2 2 EI Fcr (0.7l ) 2
Fcr
2 EI
即为挠曲线拐点
μl长的两端铰支压杆
达到临界状态临界力 为…… 此时压杆将要失稳
2 EI Fcr 2 ( l )
若 C1 0
则 y0
应 sin kl 0
kl n
n k l
可得
n EI F l2
2 2
n 0,1,2,
2 EI
l2
n 1 时
Fcr
这就是两端球铰支承的细长压杆的临界力计 算公式，也称欧拉公式 弯曲将发生在抗弯刚度最小的纵向平面内
二、其它支承情况下细长压杆的临界力 1.一端固定，一端自由 2.两端均为固定支座的压杆 3.一端固定，一端铰支
dx
xl时 y 0
求解该齐次线性方程组。因为A、B和Q/F不能同时等于零，即 要求上述齐次线性方程组必须有非零解，所以其系数行列式应 等于零： 解此方程求得最小解为 展开得： tan kl kl （不含零解） kl=4.49
FQ l 0 B F 得 FQ 0 Ak F A sin kl B cos kl 0
2
2 F d 得 y k 2 y k 2 Q (l x) dx 2 F
y
该微分方程的通解为：
y A sin kx B cos kx (l x) F FQ 转角方程为： dy Ak cos kx Bk sin kx dx F
FQ
代入边界条件 x 0 时 y 0, dy 0
验公式有直线公式和抛物线公式。
计算临界应力的直线公式为：
cr
a b
式中， a、b为与材料性质有关的常数，可查表得。
适用直线公式的压杆，λ有一个最低限，否则会出 现σcr>σs或σcr>σb的情况。 对于塑性材料制成的压杆，所对应的应力等于屈
服点，所以在经验公式中，令σcr=σs ，得
a s s b
材料服从虎克定律, 即σcr<σp时欧拉公式才适用
cr
2E 2 p
E p
2
E p p
2
λ p只与材料有关, Q235的E≈200 GPa,σp=196MPa. λ p ≈100 通常将λ >λp的杆称为大柔度杆 对于λ <λp的压杆，一般使用经验公式，常用的经
回代得: y cos kx (1 cos kx)
x l 时 y cos kl 0 kl
2
n (n 0,1,2, )
F 2 1 2 k ( ) 2 EI 2 l 2 EI F (2l ) 2
取最小值kl=π/2:
第三节 欧拉公式的适用范围及经验公式
例7-3 用Q235钢制成的矩形截面杆的受力及两端约束 如图所示，其中 (a) 为正视图， (b) 为俯视图。在 A 、 B 两处用螺栓夹紧。已知l=2.3m，b=40mm，h=60mm， 材料的弹性模量E=205GPa，求此杆的临界力。
解：压杆在A、B两处的 连接不同于球铰约束。 在正视图x～y平面内失 稳时，A、B两处可以自 由转动，相当于铰链约 束；在俯视图x～z平面 内失稳时，A、B两处不 能自由转动，可简化为 固定端约束。 F A h h F A b b y x B F B
2 EI 2 E 2 205109 2 Fcr A 0 . 16 N 2600kN 2 2 20 2 ( l ) 4 ( )
0.16
对于两端固支的压杆， λ<100，该杆属于中柔度 杆，应用直线经验公式计算其临界力：
Fcr (a b ) A 4140kN
当压杆的材料、尺寸和约束等情况确定时，临界力是一个确定 的值。可见解决压杆稳定的关键问题是确定压杆的临界力。 例:内燃机挺杆、活塞杆、连杆、桁架中的压杆、建筑物中的柱.
第二节 细长压杆的临界力
一、两端铰支细长压杆的临界力
M ( x) F w( x)
d w( x) M ( x) EI dx2
第七章
压杆稳定
第一节 压杆稳定的概念
现象:压杆保持直线平衡状态→直线平衡状态不稳定→ 压杆丧失直线形式平衡状态的现象称为丧失稳定，简 称失稳，也称屈曲。 从稳定平衡状态过渡到不稳定平衡状态的压力极限值， 称为临界载荷或临界力，用Fcr表示。 压杆失稳并非强度不足，而是区别于强度、刚度失效 的又一种失效形式。
20.16EI 2 EI Fcr 2 l (0.7l ) 2
0 1 l
k 0 1 0 sin kl cos kl 0
练习 由压杆挠曲线的近似微分方程，导出一端固定， 另一端自由的压杆的欧拉公式
x 解:根据挠曲线的近似微分方程可得：
d w M ( x) F ( w) 2 dx EI EI
FCD 2 2 F 124.03 Fcr = =43.85kN 2 2 2 2 FCD
练习：用Q235钢制成的工字形（I16.）截面杆l=1m， 一 端 固 定 一 端 自 由 ， 材 料 的 弹 性 模 量 E=200GPa ， λp=100，求此杆的临界力。
解 （1）计算柔度，判断柔度范围
2 2 9 2 2
27.54kN
第四节 其它形式构件的稳定问题
工程中还有很多其它构件也存在稳定问题。如受外压 作用的薄壁圆筒，有时管壁中的应力还远远没有达到 屈服点时，圆环形截面会变成椭圆形。与此类似，狭 长的矩形截面梁，在横向载荷作用下，会发生侧向弯 曲和绕轴线的扭转。这些都是稳定性问题。其临界载 荷都可以通过弹性力学方法推导求得.
这就是用直线公式的最小柔度。对于钢Q235的 a=304MPa, b=1.12MPa,σs=235MPa，代入上式得
304 235 s 61.6 1.12
工程中所用的抛物线经验公式，就是将临界应力 与柔度表示为下面的抛物线关系：
cr a1 b1
2
式中a1与b1也是与材料有关的常数。 工程实际中，柔度介于 λs 和 λp 之间的这一类压杆称 为中柔度压杆。而对于λ<λs的短压杆，称为小柔度杆 。这一类压杆将因压缩引起屈服或断裂破坏，属于 强度问题。 所以应该将屈服点（塑性材料）或抗压 强度极限（脆性材料）作为临界应力。
0
FC sin 45l / 2 Fl 0 FC 2 2 F
1 2 4 1 141.42 i 0.040
l
λ1>100，属于大柔度杆，用欧拉公式：
2E 2 200 109 2 Fcr 2 A 0.04 N 124.03kN 2 (141.42) 4
2 1100 1 105.82 p 100 i 1.89
λ1>100，属于大柔度杆，用欧拉公式：
l
2E 2 200 109 4 Fcr 2 A 26.110 N 460.08kN 2 (105.82)
练 习 ： 用 Q235 钢 制 成 的 空 心 圆 形 截 面 杆 l=1m ， D=20mm ， d=12mm ，一端固定一端铰支，材料的弹 性模量E=200GPa， λp=100，求此杆的临界力。
解 ：计算柔度，判断柔度范围
1
l
i
l
D d 4
2 2
0.7 11000 20 12 4
2 2
120.05 p 100
λ1>100，属于大柔度杆，用欧拉公式：
E 200 10 (20 12 ) 6 Fcr 2 A 10 N 2 (120.5) 4
临界应力总图
表示临界应力随压杆柔度变化的情况.
σcr σs σp
cr s
A B
cr a1 b1 cr a b
C
2
E cr 2
2
D λ
λs λp
例题 如图所示的压杆，其直径均为 d，材料都是Q235 钢，但两者的长度和约束都不相同。（1）分析哪一根 杆的临界力较大。（2）若d=160mm ，E=205GPa，计 算两杆的临界力。 4 d 解 （1）计算柔度 d 64 F F i 2 d 4 4
d 2 w( x) 2 k w( x) 0 2 dx F 2 其中 k EI
微分方程(c)的一般解为 y F
2
EI l x F M ( x) _ F x w=w(x)
F
y
F
x
w( x) C1 sin kx C2 coskx
边界条件
w(0) w(l ) 0
C1 sin kl 0 C2 0
1 4 5 125 i 0.16 l 0.5 4 7 2 87.5 i 0.165mBiblioteka 7m1 l
比较两者的柔度可知，两端固支 的压杆具有较高的临界压力。
(2)计算两杆的临界力。
对于两端铰支的压杆，因为λ>100，所以该杆属于大 柔度杆，可用欧拉公式计算临界力：
统一写成
式μl中称为相当长度， μ称为长度系数.
例7-1 由压杆挠曲线的近似微分方程，导出一端固定， 另一端铰支压杆的欧拉公式
解:根据挠曲线的近似微分方程可得： d 2 y M ( x) Fy FQ (l x) x 2 dx EI EI EI F FQ y x l
F 令k EI
2
δ
F
令
F k EI
2
2 2
w y x
得 w k w k 该微分方程的通解为：
w A sin kx B cos kx
转角方程为：
dw Ak cos kx Bk sin kx dx
l
代入边界条件
x 0 时 y 0 得 B dy x 0时 0 得 A0 dx