2013年上海市春季高考数学试卷答案与解析

2013年上海市春季高考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得0分．
1．（3分）（2013•上海）函数y=log2（x+2）的定义域是（﹣2，+∞）．
2．（3分）（2013•上海）方程2x=8的解是3．
3．（3分）（2013•上海）抛物线y2=8x的准线方程是x=﹣2．
=2，可得=2
4．（3分）（2013•上海）函数y=2sinx的最小正周期是2π．
=
5．（3分）（2013•上海）已知向量，．若，则实数k=
．
，得﹣
故答案为：
，则6．（3分）（2013•上海）函数y=4sinx+3cosx的最大值是5．
（sinx+cosx==
7．（3分）（2013•上海）复数2+3i（i是虚数单位）的模是．
，代入计算即可得出复数
=
故答案为：
8．（3分）（2013•上海）在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a=5，c=8，B=60°，则b=7．
9．（3分）（2013•上海）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与B1C所成角的大小为60°．
10．（3分）（2013•上海）从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动，选
出的3人中男女同学都有的概率为（结果用数值表示）．
人中只有男同学或只有女同学的概率为：，
﹣．
故答案为：．
11．（3分）（2013•上海）若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前n项和
S n=．
，
，
12．（3分）（2013•上海）36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36=22×32，所以36的所有正约数之和为（1+3+32）+（2+2×3+2×32）+（22+22×3+22×32）=（1+2+22）（1+3+32）=91，参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为4836．
二．选择题（本大题满分36分）本大题共有12题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．考生必须把真确结论的代码写在题后的括号内，选对得3分，否则一律得0分．
B
解：根据
由题意得，
﹣1
的反函数，
的反函数，
15．（3分）（2013•上海）直线2x﹣3y+1=0的一个方向向量是（）
，即可得到它的一个方向向量（
k=，
=）
16．（3分）（2013•上海）函数f（x）=的大致图象是（）．．．D．
解：因为﹣＜
B
=，∴
18．（3分）（2013•上海）若复数z 1，z2满足z1=，则z1，z2在复数平面上对应的点Z1，
，则
10
•
•
）上是减函数，在（
根据球的表面积公式算出它们的表面积之比为= =，由此结合球的体积公式即可算出这两个球的体积之比．
==，解之得（舍负）
因此，这两个球的体积之比为=）
23．（3分）（2013•上海）已知a，b，c∈R，“b2﹣4ac＜0”是“函数f（x）=ax2+bx+c的图象恒
24．（3分）（2013•上海）已知A，B为平面内两定点，过该平面内动点M作直线AB的垂线，垂足为N．若，其中λ为常数，则动点M的轨迹不可能是（）
，
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有7题，解答下列各题必须写出必要的步骤．25．（7分）（2013•上海）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=6，异面直线BC1与AA1所成角的大小为，求该三棱柱的体积．
C=
C=．
×=2，
=3，
×6=18
26．（7分）（2013•上海）如图，某校有一块形如直角三角形ABC的空地，其中∠B为直角，AB长40米，BC长50米，现欲在此空地上建造一间健身房，其占地形状为矩形，且B为矩形的一个顶点，求该健身房的最大占地面积．
，求得﹣
﹣
27．（8分）（2013•上海）已知数列{a n}的前n项和为S，数列{b n}满足b，求．
时，
=公比为
=．
28．（13分）（2013•上海）已知椭圆C的两个焦点分别为F1（﹣1，0）、F2（1，0），短轴的两个端点分别为B1，B2
（1）若△F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且，求直线l的方程．
系写出两个交点的横坐标的和，把
的方程为．
根据题意知，解得
的方程为
的方程为
由
因为，所以，即
=
=
=，解得
的方程为
29．（12分）（2013•上海）已知抛物线C：y2=4x 的焦点为F．
（1）点A，P满足．当点A在抛物线C上运动时，求动点P的轨迹方程；
（2）在x轴上是否存在点Q，使得点Q关于直线y=2x的对称点在抛物线C上？如果存在，求所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
的坐标，由
，所以，
，解得
，解得
或
）和（
30．（13分）（2013•上海）在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴正半轴上，点P n在x轴上，其横坐标为x n，且{x n} 是首项为1、公比为2的等比数列，记∠P n AP n+1=θn，n∈N*．
（1）若，求点A的坐标；
（2）若点A的坐标为（0，8），求θn的最大值及相应n的值．
，知
==
，解得
=
≥，
当且仅当
，）上为增函数，
最大，其最大值为
31．（18分）（2013•上海）已知真命题：“函数y=f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形”的充要条件为“函数y=f（x+a）﹣b 是奇函数”．
（1）将函数g（x）=x3﹣3x2的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图象对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数g（x）图象对称中心的坐标；
（2）求函数h（x）=图象对称中心的坐标；
（3）已知命题：“函数y=f（x）的图象关于某直线成轴对称图象”的充要条件为“存在实数a 和b，使得函数y=f（x+a）﹣b 是偶函数”．判断该命题的真假．如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题（不必证明）．
=
=
由不等式
=。