椭圆及其标准方程(第一课时)(课堂PPT)
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课题：《椭圆及其标准方程》
高二数学组
1
（一） 认识椭圆
生活中 的椭圆
2
尝试实验，形成概念
动手画：
❖ [1]取一条细绳， ❖ [2]把它的两端固定在
板上的两点F1、F2 ❖ [3]用铅笔尖（M）把
细绳拉紧，在板上慢 慢移动看看画出的图 形
观察做图过程：[1]绳长应当 大于F1、F2之间的距离。[2] 由于绳长固定，所以 M 到 两个定点的距离和也固定。
P={ M| |MF1 |+|MF2|=2a（2a>2c）}．
5
6
7
理解定义的 内涵和外延
一定要准确把握奥！
注：定长 2a F 1 F 2 定长 2a F 1 F 2 定长 2a F 1 F 2
所成曲线是椭圆 所成曲线是线段 无法构成图形
8
三、针对性训练
（一）补充练习 1.动点P到两定点F1(-4,0)，F2(4,0)的距离和是10，则 动点P的轨迹为（ A ） A.椭圆 B.线段F1F2 C.直线F1F2 D.无轨迹
写出适合下列条件的椭圆的标准方程
两个焦点的坐标是（ 0 ，-2）和（ 0 ，2），并且经
过点P
3 ，5 2 2
解：(法一) 因为椭圆的焦点在y轴上，
设它的标准方程为
y2 a2
x2 b2
1
(ab0)
∵ c=2，且 c2= a2 - b2 ∴ 4= a2 - b2 ……①
y
又∵椭圆经过点P 3 ，5
图形
F1 o
F2 x
o
x
方程 焦点
x2 a2
by22
1ab0
F(±c，0)
F1
y2 a2
bx22
1ab0
F(0，±c)
a,b,c之间 c2=a2-b2 ab0 ,ac0 ,b 和 c大小不确定．
的关系
分母哪个大，焦点就在哪个轴上
求法： 一定焦点位置；二设椭圆方程；三求a、b的值. 14
（四）尝试应用
变式：
(1)动点P到两定点F1(-4,0)，F2(4,0)的距离和是8，则 动点P的轨迹为（ B ） (2)动点P到两定点F1(-4,0)，F2(4,0)的距离和是7，则 动点P的轨迹为（ D ）
9
求曲线方程的一般步骤？
建系 设点
列式
代坐标
化简、证明
10
方程推导：
解：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂 y 直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图).
得( 方 x c )2 程 y 2(x c )2 y 2 2 a
（想一想：下面怎样化简？）
M F2 x
11
(x c )2 y 2 2 a (x c )2 y 2
则 ( x c ) 2 y 2 4 a 2 4 a ( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2
整a 理 2c 你 能x 得 a 在(x 图 中c)2 找 出y2
怎 样 判 断 a ,b ,c大 小 关 系 ？
两边 表示a a4 ，平 2 ca ，2 ca 方 x 2c 2 x 2 c 2 ，得 a 2 x 2 2 ： a 2 c x a 2 c 2 a 2y 2
的线段吗？
整理，得 (a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)
y
∵2a>2c>0，即a>c>0，∴a2-c2>0，
P M(x,y)
两边同除以a2(a2-c2)得:
x2 a2
y2 a2 c2
1
①
如图点P是椭圆与y轴正半轴的交点
F1(-c,0) O
F2(c,0) x
可 |P 1 | 得 |P F 2 | a F ,|O 1 | |O F 2 | c , F |PO| a2c2
令 b|PO | a2c2
那么①式
x2 y2 a2 b2 1
设M(x, y)是椭圆上任意一
点，椭圆的焦距2c(c>0)，M
与F1和F2的距离的和等于正 常数2a (2a>2c) ，则F1、F2的 坐标分别是(c,0)、(c,0) .
F1 O
由椭圆的定义，|M 1| F |M 2| F 2 a
代入坐标 |M 1 |( F x c )2 y 2 ,|M 2 |F (x c )2 y 2
M
F1
F2
3
4
二、概念透析
1、椭圆的定义
平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数
（大于|F1F2 |）的点的轨迹叫椭圆。
这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点
两焦点之间的距离叫做焦距。
F1
M F2
如果设轨迹上任一点M到两定点F1、F2的距离和为 常数2a，两定点之间的距离为2c，则椭圆定义还 可以用集合语言表示为：
2.方程 x2 y2 1表示的曲线是椭圆，求k的取值范围. 5 4k k>0且k≠5/4
变式：
（1）方程
x2
y2
1表示焦点在y轴上的椭圆，求k的
5 4k
取值范围. k>5/4
（2）方程 x2 y2 1表示焦点坐标为（±2，0）的椭圆， 5 4k
求k的值. k＝1/4
16
例1.已知椭圆方程为 x 2 y 2 1 , 25 16
25 9
变式一:将上题焦点改为(0，-4)、(0，4)， 结果如何？
y2 x2 1 25 9
变式二:将上题改为两个焦点的距离为8，椭圆上一点P到两
焦点的距离和等于10，结果如何？
x2 y2
当焦点在X轴时，方程为：
1 25 9
当焦点在Y轴时，方程为： y2 x2 1
18
25 9
（五）典例分析
1、下列方程哪些表示的是椭圆，如果是，判断它的焦点
在哪个坐标轴上？并求a,b,c及焦点坐标
(1) x2 y2 1 25 16
(2)9x22y 5 2225 0
(3)3x22y21
(4)m x2 2 m 2 y2 11(其m 中 不等 0 ） 于
注意： 分母哪个大，焦点就在哪个坐标轴上，反之亦然。
15
(a>b>0)
12
y
即
x2 a2
y2 a2 c2
1
ba
oc
观察左图， 你能从中找出表示
x c 、 a 的线段吗？
a2-c2 有什么几何意义？
令|OP | a2c2 b
则方程可化为
x2 a2
y2 b2
1（ ab0）
13
椭圆的标准方程
定义
|MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0)
y
y
M
F2
M
(4)已知椭圆上一点 P到左焦点F1的距离等于6，
则点P到右焦点的距离是 4 (5)若CD为过左焦点F1的弦，
Байду номын сангаас
；
C
则∆CF1F2的周长为 16 ，
F1
F2
∆F2CD的周长为 20 。 D
17
2、写出适合下列条件的椭圆的标准方程
已知两个焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0)，椭圆上一点P到
两焦点距离的和等于10； x 2 y 2 1
高二数学组
1
（一） 认识椭圆
生活中 的椭圆
2
尝试实验，形成概念
动手画：
❖ [1]取一条细绳， ❖ [2]把它的两端固定在
板上的两点F1、F2 ❖ [3]用铅笔尖（M）把
细绳拉紧，在板上慢 慢移动看看画出的图 形
观察做图过程：[1]绳长应当 大于F1、F2之间的距离。[2] 由于绳长固定，所以 M 到 两个定点的距离和也固定。
P={ M| |MF1 |+|MF2|=2a（2a>2c）}．
5
6
7
理解定义的 内涵和外延
一定要准确把握奥！
注：定长 2a F 1 F 2 定长 2a F 1 F 2 定长 2a F 1 F 2
所成曲线是椭圆 所成曲线是线段 无法构成图形
8
三、针对性训练
（一）补充练习 1.动点P到两定点F1(-4,0)，F2(4,0)的距离和是10，则 动点P的轨迹为（ A ） A.椭圆 B.线段F1F2 C.直线F1F2 D.无轨迹
写出适合下列条件的椭圆的标准方程
两个焦点的坐标是（ 0 ，-2）和（ 0 ，2），并且经
过点P
3 ，5 2 2
解：(法一) 因为椭圆的焦点在y轴上，
设它的标准方程为
y2 a2
x2 b2
1
(ab0)
∵ c=2，且 c2= a2 - b2 ∴ 4= a2 - b2 ……①
y
又∵椭圆经过点P 3 ，5
图形
F1 o
F2 x
o
x
方程 焦点
x2 a2
by22
1ab0
F(±c，0)
F1
y2 a2
bx22
1ab0
F(0，±c)
a,b,c之间 c2=a2-b2 ab0 ,ac0 ,b 和 c大小不确定．
的关系
分母哪个大，焦点就在哪个轴上
求法： 一定焦点位置；二设椭圆方程；三求a、b的值. 14
（四）尝试应用
变式：
(1)动点P到两定点F1(-4,0)，F2(4,0)的距离和是8，则 动点P的轨迹为（ B ） (2)动点P到两定点F1(-4,0)，F2(4,0)的距离和是7，则 动点P的轨迹为（ D ）
9
求曲线方程的一般步骤？
建系 设点
列式
代坐标
化简、证明
10
方程推导：
解：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂 y 直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图).
得( 方 x c )2 程 y 2(x c )2 y 2 2 a
（想一想：下面怎样化简？）
M F2 x
11
(x c )2 y 2 2 a (x c )2 y 2
则 ( x c ) 2 y 2 4 a 2 4 a ( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2
整a 理 2c 你 能x 得 a 在(x 图 中c)2 找 出y2
怎 样 判 断 a ,b ,c大 小 关 系 ？
两边 表示a a4 ，平 2 ca ，2 ca 方 x 2c 2 x 2 c 2 ，得 a 2 x 2 2 ： a 2 c x a 2 c 2 a 2y 2
的线段吗？
整理，得 (a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)
y
∵2a>2c>0，即a>c>0，∴a2-c2>0，
P M(x,y)
两边同除以a2(a2-c2)得:
x2 a2
y2 a2 c2
1
①
如图点P是椭圆与y轴正半轴的交点
F1(-c,0) O
F2(c,0) x
可 |P 1 | 得 |P F 2 | a F ,|O 1 | |O F 2 | c , F |PO| a2c2
令 b|PO | a2c2
那么①式
x2 y2 a2 b2 1
设M(x, y)是椭圆上任意一
点，椭圆的焦距2c(c>0)，M
与F1和F2的距离的和等于正 常数2a (2a>2c) ，则F1、F2的 坐标分别是(c,0)、(c,0) .
F1 O
由椭圆的定义，|M 1| F |M 2| F 2 a
代入坐标 |M 1 |( F x c )2 y 2 ,|M 2 |F (x c )2 y 2
M
F1
F2
3
4
二、概念透析
1、椭圆的定义
平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数
（大于|F1F2 |）的点的轨迹叫椭圆。
这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点
两焦点之间的距离叫做焦距。
F1
M F2
如果设轨迹上任一点M到两定点F1、F2的距离和为 常数2a，两定点之间的距离为2c，则椭圆定义还 可以用集合语言表示为：
2.方程 x2 y2 1表示的曲线是椭圆，求k的取值范围. 5 4k k>0且k≠5/4
变式：
（1）方程
x2
y2
1表示焦点在y轴上的椭圆，求k的
5 4k
取值范围. k>5/4
（2）方程 x2 y2 1表示焦点坐标为（±2，0）的椭圆， 5 4k
求k的值. k＝1/4
16
例1.已知椭圆方程为 x 2 y 2 1 , 25 16
25 9
变式一:将上题焦点改为(0，-4)、(0，4)， 结果如何？
y2 x2 1 25 9
变式二:将上题改为两个焦点的距离为8，椭圆上一点P到两
焦点的距离和等于10，结果如何？
x2 y2
当焦点在X轴时，方程为：
1 25 9
当焦点在Y轴时，方程为： y2 x2 1
18
25 9
（五）典例分析
1、下列方程哪些表示的是椭圆，如果是，判断它的焦点
在哪个坐标轴上？并求a,b,c及焦点坐标
(1) x2 y2 1 25 16
(2)9x22y 5 2225 0
(3)3x22y21
(4)m x2 2 m 2 y2 11(其m 中 不等 0 ） 于
注意： 分母哪个大，焦点就在哪个坐标轴上，反之亦然。
15
(a>b>0)
12
y
即
x2 a2
y2 a2 c2
1
ba
oc
观察左图， 你能从中找出表示
x c 、 a 的线段吗？
a2-c2 有什么几何意义？
令|OP | a2c2 b
则方程可化为
x2 a2
y2 b2
1（ ab0）
13
椭圆的标准方程
定义
|MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0)
y
y
M
F2
M
(4)已知椭圆上一点 P到左焦点F1的距离等于6，
则点P到右焦点的距离是 4 (5)若CD为过左焦点F1的弦，
Байду номын сангаас
；
C
则∆CF1F2的周长为 16 ，
F1
F2
∆F2CD的周长为 20 。 D
17
2、写出适合下列条件的椭圆的标准方程
已知两个焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0)，椭圆上一点P到
两焦点距离的和等于10； x 2 y 2 1