第四章 量纲分析和相似原理

第四章 相似原理与量纲分析
量纲分析法是用于寻求一定物理过程中，相关物理量之间规律性联系的一种方法。

它对于正确地分析、科学地表达物理过程是十分有益的。

两个规模不同的流动相似是流体力学试验时必须面对的问题。

本章在量纲分析法的基础上探讨流动的相似理论，对流体力学试验研究有重要的指导意义。

§6—1 量纲分析
一、量纲、无量纲量
量纲（因次）：表征各种物理量性质和类别的标志。

是指物理量所包含的基本物理要素及其结合形式，表示物理量的类别，是物理量的质的特征。

● 在量度物理量数值大小的标准（单位）确定之后，一个具体的物理量就对应于一个数
值，有了比较意义上的大小，这是物理量的量的特征。

● 量纲可分为基本量纲和诱导量纲
基本量纲（dim ）：互不依赖，互相独立的量纲。

基本量纲具有独立性，比如与温度无关的动力学问题可选取长度[L]、时间[T]和质量[M]为基本量纲。

诱导量纲可由量纲公式通过基本量纲导出，如][][γβαM T L x =，γβα,, 称为量纲指数。

1）
1） 若0,0,0==≠γβα，则x 为几何学的量；
2）若0,0,0=≠≠γβα，则x 为运动学的量，如运动粘性系数][][12-=T L ν；
3）若0,0,0≠≠≠γβα，则x 为动力学的量，如动力粘性系数][][11M T L --=μ.
● 纯数
如果一个物理量的所有量纲指数为零，就称为无量纲（量纲为一）量。

无量纲量可以是相同量纲量的比值（如角度，三角函数），也可以是几个有量纲量通过乘除组合而成（如压力系数22
1∞∞-=U p p C p ρ）. 二、量纲和谐原理
一个正确、完整的反映客观规律的物理方程式中，各项的量纲是一致的，这就是量纲一致性原理。

● 正确反映客观物理规律的函数关系式或方程式，其各项的量纲指数都分别相同。

● 任何表示客观物理规律的数学关系式，其数学形式不随单位制变换而改变形式。

● 客观物理规律必定可以通过无量纲量之间的关系式来表达。

量纲和谐原理最重要的用途在于能确定方程式中物理量的指数，从而找到物理量间的函数关系，从而找到物理量间的函数关系，以建立结构的物理、力学方程式。

量纲分析法：应用量纲和谐原理来探求物理量之间的函数关系的方法。

三. ∏定理
π定理可以表述如下：设有n 个变量的物理方程式
0),.......,,,(321=n x x x x f
其中可以选出m 个变量在量纲上是互相独立的，其余)m n -（个变量是非独立的，
那么，此物理方程必然可以表示为)m n -（个量纲一的量的物理方程式，即：
0),.......,,,(321=-m n F ππππ
式中，m n -ππππ,.......,,,321为)m n -（个量纲一的量，因为这些量纲一的量是用π来表示的，所以称为π定理（布金汉定理）。

● 物理过程涉及n 个物理量，其中有m 个物理量的量纲是互相独立的，选这些量纲为
基本量纲，可组成n-m 个无量纲量，物理过程则可由这n-m 个无量纲量的关系式描述。

否则就违反了量纲和谐原理。

● 物理过程的有量纲表达形式为 0),,,(21=n x x x f Λ，其中m 个物理量的量纲被选为基
本量纲，余下n-m 个物理量可各自与这m 个物理量组合成无量纲量m n -∏∏∏,,,21Λ，∏定理的结论是：物理过程的无量纲表达形式为 0),,,(21=∏∏∏-m n F Λ .
● 从无量纲表达看，似乎物理过程涉及的因素减少了，其实涉及的物理量并未减少，只
是这些物理量组合成了若干无量纲量相互关联。

比起有量纲表达来，无量纲表达更接近于相关物理量之间规律性联系的实质，也更具普遍性。

● 应用∏定理的要点（也是难点）在于：确定物理过程涉及的物理量时，既不能遗漏，
也不要多列。

§6—2 流动相似的概念
原型：天然水流和实际建筑物称为原型。

模型：通常把原型（实物）按一定比例关系缩小（或放大）的代表物，称为模型。

水力学模型试验：是依据相似原理把水工建筑物或其它建筑物的原型按一定比例缩小制成模型，模拟与天然情况相似的水流进行观测和分析研究，然后将模型试验的成果换算和应用到原型中，分析判断原型的情况。

水力学模型试验的目的：利用模型水流来模拟和研究原型水流问题。

关键问题：模型水流和原型水流保持流动相似。

流动相似：两个流动的相应点上的同名物理量（如速度、压强、各种作用力等）具有各自的固定比例关系，则这两个流动就是相似的。

模型和原型保证流动相似，应满足：
1.几何相似：
是指两个流动的几何形状相似，即对应的线段长度成比例，对应角度相等。

长度比尺：
面积比尺：
体积比尺：
2.运动相似
是指流体运动的速度场相似，也即两流场各相应点（包括边界上各点）的速度u及加速度a方向相同，且大小各具有同一比值。

速度比尺：
加速度比尺：
3.动力相似
是指两流动各相应点上流体质点所受的同名力方向相同，其大小比值相等。

力的比尺：
4.初始条件与边界条件相似
初始条件：适用于非恒定流。

边界条件：有几何、运动和动力三个方面的因素。

如固体边界上的法线流速为零，自由液面上的压强为大气压强等。

流动相似的含义：
几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据；
动力相似是决定二个液流运动相似的主导因素；
运动相似是几何相似和动力相似的表现；
凡流动相似的流动，必是几何相似、运动相似和动力相似的流动。

想一想：两恒定流流动相似应满足哪些条件？
答：应满足几何相似，动力相似，运动相似及边界条件相似。

§6—2 动力相似准则
动力相似准则：在两相似的流动中，各种力之间保持固定不变的比例关系。

流体运动状态的改变是惯性力和其他各种作用力相互作用的结果。

因此，各种作用力之间的比例关系应以惯性力为一方来相互比较。

惯性力：
则
根据动力相似有λF= λI
即：
若称牛顿数，即
所以两个相似流动的牛顿数应相等，这是流动相似的重要标志和准则，称为牛顿数相似准则。

完全的动力相似，要求惯性力与其他力比值都相等，但实际上不可能达到，所以常选一个对流动起决定作用的力给予满足。

想一想：牛顿相似准则说明了完全的什么相似。

（动力）
1.雷诺准则——粘滞力相似
式中：L——为流场中的特征线性长度。

Re——雷诺数
当粘滞力起主要作用时，动力相似有：
适用范围：主要受水流阻力即粘滞力作用的流体流动，凡是有压流动，重力不影响流速分布，主要受粘滞力的作用，这类液流相似要求雷诺数相似。

另外，处于水下较深的运动潜体，在不至于使水面产生波浪的情况下，也是以雷诺数相等保证液流动力相似。

如层流状态下的管道、隧洞中的有压流动和潜体绕流问题等。

算一算：如模型比尺为1:20，考虑粘滞力占主要因素，采用的模型中流体与原型中相同，模型中流速为50m/s，则原型中的流速为m/s。

2.弗汝德准则——重力相似
一般取
当重力起主要作用时，动力相似有：
适用范围：凡有自由水面并且允许水面上下自由变动的各种流动（重力起主要作用的流动），如堰坝溢流、孔口出流、明槽流动、紊流阻力平方区的有压管流与隧洞流动等。

3.欧拉准则
流体流动以动水总压力为主要作用力的情况：
当压力起主要作用时，动力相似有：
一般，两液流的雷诺数相等，欧拉数也相等；两液流的弗劳德数相等，欧拉数也相等。

只有出现负压或存在气蚀情况的液体，才需考虑欧拉数相等来保证液流相似。

4.其他准则
1）韦伯数
表面张力为主导作用力时的相似准则：
当表面张力起主要作用时，动力相似有：
想一想：欧拉数与韦伯数的物理意义是什么？答：欧拉数是压力为主要作用力的时候的相似准数，表征压力与惯性力之比，两流动欧拉数相等则压力相似。

韦伯数是表明张力为主导作用力时的相似准数，表征惯性力与表面张力之比，两流动韦伯数相等则表面张力相似。

2）马赫数
弹性力为主导作用力时的相似准则（例水击现象）
柯西数
式中：——流体声速
——弹性模量
当弹性力起主要作用时，如水击，空气动力学中的亚音速或超音速运动等，动力相似有：
3）斯特哈罗数（时间准则）
斯特哈罗数：非恒定流体流动中，当地加速度，这个加速度所产生的惯性作用与迁移加速度的惯性作用之比。

判断：对于恒定流也应考虑斯特哈罗数准则。

你的回答：对错
f——振动频率
对非恒定流，表明有变力作用，动力相似有：
想一想：马赫数与斯特哈罗数的物理意义是什么？
马赫数为弹性力为主导作用力时的相似准数，表征惯性力与弹性力之比，马赫数相等则弹性力相似。

斯特哈罗数是在非恒定流体流动中，因当地加速度不为零，这个加速度所产生的惯性作用与迁移加速度的惯性作用之比。