山东省德州市乐陵一中高中数学 3.2.2一元二次不等式及其解法(二)学案 新人教A版必修5

3．2．2 一元二次不等式(二)

**学习目标**

1．掌握同解不等式之间的转化；

2．熟悉并掌握用数轴标根法解高次不等式；

3．掌握指数不等式与对数不等式的同解变形

**要点精讲**

1 同解不等式:两个不等式如果解集相等,那么这两个不等式就叫做同解不等式

2 同解变形:一个不等式变形为另一个不等式时,如果这两个不等式是同解不等式,那 么这种变形就叫做同解变形

过去我们学过的一元一次不等式解法,如去分母、去括号、移项、合并同类项等等,都是同解变形,因此最后得到的解(不等式)就是原不等式的解解指数不等式与对数不等式的实质是利用同解变形进行转化。

3．(1))()(x g x f >0⇔f (x )g(x )>0；(2))

()(x g x f < 0⇔f (x )g(x )<0； (3))()(x g x f ≥0⇔⎩⎨⎧≠≥0)(0)()(x g x g x f ；(4))()(x g x f ≤0⇔⎩⎨⎧≠≤0

)(0)()(x g x g x f 4．简单的一元高次不等式：先因式分解，再采用“数轴标根法”。如：

把不等式化为(x –x 1)(x –x 2)(x –x 3)(x –x 4)>0(其中x 1

所以不等式的解集为{}1234x x x x x x x x <<<>或或.

5． 一元分式不等式：采用“数轴标根法”.

步骤：移项、通分、（化整式）、求解。

评注：（1）“数轴标根法”的本质是考虑各因式的符号，对于偶次因式，要单独考虑此因式的值能否为零，而奇次因式的符号与一次因式的符号是相同的；（2）如果不等式的一端非零，那么先移项进行因式分解，再判断符号，因式分解要彻底。

**范例分析**

例1．解下列不等式

（I ）()()2220x x x +--<；

(II) 0)2)(1()1()2(32

<-+-+x x x x 。

例2．解下列不等式

（1）322322--+-x x x x ＜0；（2）2

315222+---x x x x ＞1。

例3．解不等式（1）293183

1>⋅+-+x x ；（2）2)1(log 3≥--x x

例4．设2

()x f x ax b

=+（b a ,为实常数），且方程()120f x x -+=有两个实数根为13x =，24x =，

（1）求函数)(x f 的解析式．（２）设1k >，解关于x 的不等式(1)()2k x k f x x +-<-．

**规律总结**

1．一元一次不等式和一元二次不等式的解法是解各类不等式的基础,要予以高度重视尤其把握好解一元二次不等式的解题步骤:一是将二次项系数变为正的;二是确定不等式对应方程根的情况(由判别式来确定);三是结合图象(二次函数图象)写出不等式的解集

2．解高次不等式的方法步骤：

方法：序轴标根法．

步骤：①化一边为零且让最高次数系数为正；②把根标在数轴上；③右上方向起画曲线，让曲线依次穿过标在数轴上的各个根；④根据“大于0在上方，小于0在下方”写出解集。

注：①重根问题处理方法：“奇过偶不过”．②分式不等式转化为高次不等式求解．

3．一些特殊不等式的求解，转化是一方面，借助于函数的性质和图象也是解决问题的有效手段。

**基础训练**

一、选择题

1．不等式0)44)(32(22<++--x x x x 的解集是（ ）

A ． }31|{>-

B ．}31|{<<-x x

C ．}3221|{<<<<-x x x 或

D ．}32|{<<-x x

2．不等式0)3)(2()1(2>-+-x x x 的解集是 ( )

A {}32|>-

B {}132|≠<<-x x x 但

C {}32|<<-x x

D {}3|>x x

3．不等式x

x 1log 2-≥1的解集为 ( ) A ．(]1,-∞- B ．[)∞+-,1 C ．[)0,1- D ．(]()∞+-∞-,01,

4．已知不等式022>+-a x x 对任何实数x 恒成立，则不等式132122<<-++x x x a a

的 解集是 ( )

A )2,1(

B )2,2

1(- C )2,2(- D )2,3(-- 5．函数)(x f 和)(x g 的定义域是R ，且0)(≥x f 的解集为]2,1[，0)(≥x g 的解集为φ，则0)

()(>x g x f 的解集是 （ ） A ．)2,1( B ．),2()1,(+∞-∞ C ．),2[)1,1(+∞- D ．]2,1[

二、填空题

6．不等式0)43)(4(22>---x x x 的解集是 。

7．不等式1111+<+x

x 的解集是 8

．不等式

2822x x --⎛< ⎝⎭的解集是____ _.

三、解答题

9．解下列不等式:

（1）12

72322+-+-x x x x ≥0；（2）x (x －3)(x ＋1)(x －2)≤0

10． k 为何值时，下式恒成立：13

642222<++++x x k kx x

**能力提高**

11．已知关于x 的不等式x a x x --+≥2

320的解集是(,](,)12a +∞，则实数a 的取值范围 是（ ）

（A ）(-∞,1) （B ）(2,+∞) （C ）(1,2) （D ）[1,2]

12．解关于x 的不等式)22(223x x x x --<-λ，R ∈λ

3．2．2 一元二次不等式(二)

例1．解：（I ）根据实数运算的符号法则，可以化为不等式组求解.原不等式的解集是下面两个不等式组解集的并集：

(1)⎩⎨⎧>-≥--;01,0122x x x (2)⎩⎨⎧<-≤--.

01,0122x x x

(1)1(2)1 1.x x ≥<解得解得

所以原不等式的解集是{|11x x ≤<或1x ≥．

(II)原不等式等价于0)2)(1)(1(<-+-x x x 且 1,2≠-≠x x ，

∴原不等式的解为}21221|{-<-<<-<

评注：一些较复杂的不等式，通常可转化为不等式组进行求解，但在解的过程中要注意 何时取交集，何时取并集．若将（2）改为0)2)(1()1()2(32≤-+-+x x x x 呢？ 例2．解：（1）根据积的符号法则，可以将原不等式等价变形为

（x 2－3x ＋2）(x 2－2x －3)＜0

即（x ＋1）(x －1)(x －2)(x －3)

＜0

令（x ＋1）(x －1)(x －2)(x －3)=0

可得零点x =－1或1，或2或3，

将数轴分成五部分（如图）

由数轴标根法可得所求不等式解集为：

{x |－1＜x ＜1或2＜x ＜3}

（2）原不等式等价变形为：2

315222+---x x x x －1＞0