人教版初中数学八年级下册菱形

人教版初中数学八年

级下册菱形菱形

【学习目标】

1．经历探索菱形的性质和判别条件的过程，在操作活动和观察、分析过程中发展主动探究的习惯．

2．了解菱形的现实应用和常用的判别条件．

【基础知识精讲】

我们常见的活动衣帽架就是由菱形组成，观察图形4—31，你能找出有哪些线段是相等的？哪些角是相等的？

答：相等的线段有AB＝BC＝CD＝DA，AO＝OC，BO＝DO，相等的角有∠1＝∠2＝∠3＝∠4，∠5＝∠6＝∠7＝∠8．

其中△ADC、△ABD、△ABC、△BCD都是等腰三角形,且对角线AC⊥BD．

因此，菱形具有以下性质：

四条边都相等，对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角．

想一想

(1)菱形是轴对称图形吗？若是，有几条对称轴？你能画出来吗？对称轴之间有什么关系？

答：菱形是轴对称图形，它有两条对称轴，两条对称轴互相垂直，如图4—32．

怎样用折纸、剪切的方法，很快剪出一个菱形纸片？我们看下面方法：

将一张长方形纸片对折，再对折，然后沿虚线剪下，打开就是一个菱形．

这样做的道理是：在对折的过程中，得到四个全等的直角三角形，即四边形各边都相等，因此得到的必是菱形．

一定要记住：菱形的判别方法

①一组邻边相等的平行四边形是菱形

②对角线互相垂直的平行四边形是菱形

③四条边都相等的四边形是菱形

［例１］如图4—33，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC，交AB于E，DF∥AB交AC于F，则四边形AEDF是菱形吗？试说明理由．

解：由DE∥AF，DF∥AE，得四边形AEDF是平行四边形

∵∠1＝∠2，∠2＝∠3，

∴∠1＝∠3，∴AE＝ED

∴AEDF是菱形．

［例３］如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F，则四边形AFCE是菱形吗？为什么？

点拨：充分利用线段垂直平分线的性质，先证平行四边形，再证菱形．

解：由ABCD得AE∥FC，

∴∠1＝∠2，

又∵∠AOE＝∠COF，AO＝CO，

∴△AOE≌△COF，

∴EO＝FO，

∴四边形AFCE是平行四边形

又∵EF⊥AC，

∴AFCE是菱形．

再想一想有没有其他方法？若证四条边都相等可不可以？自己试一试．

【拓展训练】

已知菱形ABCD的边长为2 cm,∠BAD＝120°

对角线AC、BD相交于点O，试求出菱形对角线的长和面积．

解：∵四边形ABCD 是菱形，

∴AC ⊥BD ，∠BAO ＝21∠BAD ＝2

1×120°＝60°． Rt △AOB 中，∠ABO ＝90°－60°＝30°

∴AO ＝

2

1AB ＝1,BO ＝322=-AO AB ∵AO ＝21AC,BO ＝21BD ∴AC ＝2AO ＝2,BD ＝2BO ＝23

S 菱形ABCD ＝4S △AOB ＝4×2

1×1×323= 我们知道，AC ＝2AO ，BD ＝2BO ∴S 菱形ABCD ＝4S △AOB ＝4×

21×AO ·BO ＝4×21·21AC ·21BD ＝21AC ·BD 因此，菱形的面积实际上等于对角线乘积的一半．