集合的概念及集合间的基本关系
集合的基本概念
一、 集合的概念1． 集合：某些指定的对象集在一起成为集合．集合中的对象称元素，若a 是集合A 的元素，记作A a ∈；若b 不是集合A 的元素，记作A b ∉； 2． 集合的性质：确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；二、 集合的表示：表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；1． 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；例如：{1,2,3,4,5}，{1,2,3,4,5,} 2． 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内．例如：大于3的所有整数表示为：{|3}x x ∈>Z方程2250x x --=的所有实数根表示为：{x ∈R |2250x x --=}具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法．3． 常用数集及其记法：非负整数集（或自然数集），记作N ；正整数集，记作*N 或N +；整数集，记作Z ；有理数集，记作Q ；实数集，记作R ．三、 集合之间的关系1． 若集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集（或B 包含A ），记作A ⊆B （或B A ⊂）； 2． 简单性质：1）A ⊆A ；2）∅⊆A ；3）若A ⊆B ，B ⊆C ，则A ⊆C ；3． 真子集关系：对于两个集合A 与B ，若A B ⊆且．A B ≠，则集合A 是集合B 的真子集，记作A B （或B A ） 4． 相等关系：对于两个集合A 与B ，如果A B ⊆，且B A ⊆ ，那么集合A 与B 相等，记作A B =5． 0，{0}，∅，{}∅之间的区别与联系①0与{0}是不同的，0只是一个数字，而{0}则表示集合，这个集合中含有一个元素0，它们的关系是0{0}∈②∅与{0}是不同的，∅中没有任何元素，{0}则表示含有一个元素0的集合，它们的关系是两个集合之间的关系（{}0∅）③∅与{}∅是不同的，∅中没有任何元素，{}∅则表示含有一个元素∅的集合，它们的关系是{}∅∈∅或{}∅⊆∅或{}∅∅ ④显然，0∉∅，0{}∉∅集合的概念及其关系6． 子集个数问题设集合A 中元素个数为n ，则①子集的个数为2n ，②真子集的个数为21n -，③非空真子集的个数为22n - 一、 交集、并集、补集概念1． 由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集． 记作A B （读作“A 交B ”），即{|,A B x x A =∈且}x B ∈① 数学符号表示：{|,A B x x A =∈且}x B ∈② Venn 图反映：2． 由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集．并集{|}A B x x A x B =∈∈或．（读作“A 并B ”）① 数学符号表示： {|,A B x x A =∈或}x B ∈② Venn 图反映：3． 补集的概念：全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究的问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，记作U A ，即{|,U A x x U =∈且}x A ∉①数学符号表示：{|,U A x x U =∈且}x A ∉②Venn 图反映：二、集合的运算性质B AB A B A B AB A B A B A A UA U 集合的基本运算（1）,,;A A A A A B B A =∅=∅=（2）,;A A A B BA ∅==（3）()();AB A B ⊆ （4）;A B A B A A B A B B ⊆⇔=⊆⇔=；（5）()()(),()()().U U U U U U A B A B A B A B ==三、 容斥原理()()()()card A B card A card B card A B =+-．。
集合的基本概念元素集合之间的关系
集合的基本概念元素集合之间的关系第⼀章集合第⼀节集合的概念⼀、要点透析（⼀）集合的有关概念：由⼀些数、⼀些点、⼀些图形、⼀些整式、⼀些物体、⼀些⼈组成的。
我们说，每⼀组对象的全体形成⼀个集合，或者说，某些指定的对象集在⼀起就成为⼀个集合，也简称集。
集合中的每个对象叫做这个集合的元素。
1、集合的概念（1）元素：某些特定的研究对象叫做元素（2）集合：⼀些元素集在⼀起就形成⼀个集合（简称集）2、元素对于集合的⾪属关系（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a A∈（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作a A3、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定⼀个元素或者在这个集合⾥，或者不在，不能模棱两可（2）互异性：集合中的元素没有重复（3）⽆序性：集合中的元素没有⼀定的顺序（通常⽤正常的顺序写出）例1.下列各组对象能确定⼀个集合吗？（1）所有很⼤的实数（）（2）好⼼的⼈（）（3）1，2，2，3，4，5．（）4、（1）集合通常⽤⼤写的拉丁字母表⽰，如A 、B 、C 、P 、Q ……元素通常⽤⼩写的拉丁字母表⽰，如a 、b 、c 、p 、q ……（2）“∈”的开⼝⽅向，不能把a A ∈颠倒过来写5、常⽤数集及记法（1）⾮负整数集（⾃然数集）：全体⾮负整数的集合，记作N ，{}0,1,2,N = （2）正整数集：⾮负整数集内排除0的集，记作*N 或N +，{}*1,2,3,N = （3）整数集：全体整数的集合，记作Z ，{}012Z =±± ，，，（4）有理数集：全体有理数的集合，记作Q ，{}Q =整数与分数（5）实数集：全体实数的集合，记作R ，{}R =数轴上所有点所对应的数（6）空集：不含任何元素的集合，记作?注：（1）⾃然数集与⾮负整数集是相同的，也就是说，⾃然数集包括数0（2）⾮负整数集内排除0的集，记作*N 或N +，Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集，也是这样表⽰，例如，整数集内排除0的集，表⽰成*Z例2.⽤适当的符号（∈?，）填空：(1)3_____N;(2)0_____{Φ};(3)32____Z,0.5Q Q ，；2（⼆）集合的表⽰⽅法1、列举法：把集合中的元素⼀⼀列举出来，写在⼤括号内表⽰集合例如，由⽅程210x -=的所有解组成的集合，可以表⽰为{1,1}-注：（1）有些集合亦可如下表⽰：从51到100的所有整数组成的集合：{51,52,53,,100} ；所有正奇数组成的集合：{1,3,5,7,}（2）a 与{}a 不同：a 表⽰⼀个元素，{}a 表⽰⼀个集合，该集合只有⼀个元素例3、设a,b 是⾮零实数，那么ba +可能取的值组成集合的元素是：练习、由实数x,－x,｜x ｜,332,x x -所组成的集合，最多含（）（A ）2个元素（B ）3个元素（C ）4个元素（D ）5个元素2、描述法：⽤确定的条件表⽰某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在⼤括号内表⽰集合的⽅法格式：{|()}x A P x ∈含义：在集合A 中满⾜条件()P x 的x 的集合例如，不等式32x ->的解集可以表⽰为：{|32}x R x ∈->或{|32}x x ->所有直⾓三⾓形的集合可以表⽰为：{|}x x 是直⾓三⾓形例4、已知集合{}R a x ax x A ∈=+-=,023|2；（1）若A 是空集，求a 的取值范围；（2）若A 中只有⼀个元素，求a 的值，并把这个元素写出来；（3）若A 中⾄多有⼀个元素，求a 的取值范围3、⽂⽒图：⽤⼀条封闭的曲线的内部来表⽰⼀个集合的⽅法4、何时⽤列举法？何时⽤描述法？（1）有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便⽤描述法表⽰，只能⽤列举法如：集合2322{,32,5,}x x y x x y +-+（2）有些集合的元素不能⽆遗漏地⼀⼀列举出来，或者不便于、不需要⼀⼀列举出来，常⽤描述法如：集合2{(,)|1}x y y x =+；集合{1000}以内的质数思考：集合}1|),{(2+=x y y x 与集合}1|{2+=x y y 是同⼀个集合吗？（三）有限集与⽆限集有限集：含有有限个元素的集合⽆限集：含有⽆限个元素的集合空集：不含任何元素的集合，记作?，如：2{|10}x R x ∈+=⼆、题型解析（⼀）集合的基本概念1以下元素的全体不能够构成集合的是（）A．中国古代四⼤发明B．地球上的⼩河流C．⽅程210x -=的实数解D．周长为10cm 的三⾓形2⽅程组23211x y x y -=??+=?的解集是（）A．{5,1}B．{1,5}C．{(5,1)}D．{(1,5)}3给出下列关系：①12R ∈；Q ；③3N +∈；④0Z ∈，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．44下列各组中的两个集合M 和N ，表⽰同⼀集合的是（）A．{}M π=，{3.14159}N =B．{2,3}M =，{(2,3)}N =C．{|11,}M x x x N =-<≤∈，{1}N =D．{}M π=，{,1,|N π=5已知实数2a =，集合{|13}B x x =-<<，则a 与B 的关系是6⽤适当的符号填空：已知{|32,}A x x k k Z ==+∈，{|61,}B x x m m Z ==-∈，则有：17A ；5-A ；17B 7已知x R ∈，则集合2{3,,2}x x x -中元素x 所应满⾜的条件为（⼆）集合的表⽰⽅法1⽤列举法表⽰下列集合①{|15}x N x ∈是的约数②{(,)|{1,2},{1,2}}x y x y ∈∈③2(,)24x y x y x y ??+=-=?????④{|(1),}nx x n N =-∈⑤{(,)|3216,,}x y x y x N y N +=∈∈⑥{(,)|,4}x y x y 分别是的正整数约数2⽤描述法表⽰下列集合①{1,4,7,10,13}②{2,4,6,8,10}-----③{1,5,25,125,625}④12340,,,,,251017?±±±±（三）集合的分类1关于x 的⽅程0ax b +=，当a ，b 满⾜条件_____时，解集是有限集；当a ，b 满⾜条件_____时，解集是⽆限集2下列四个集合中，是空集的是（）A．}33|{=+x x B．},,|),{(22R y x x y y x ∈-=C．}0|{2≤x x D．},01|{2R x x x x ∈=+-三、课下训练1、有下列说法：（1）0与{0}表⽰同⼀个集合；（2）由1，2，3组成的集合可表⽰为{1,2,3}或{3,2,1}；（3）⽅程2(1)(2)0x x --=的所有解的集合可表⽰为{1,1,2}；（4）集合{|45}x x <<是有限集，其中正确的说法是（）A．只有（1）和（4）B．只有（2）和（3）C．只有（2）D．以上四种说法都不对2、试选择适当的⽅法表⽰下列集合：（1）⼆次函数223y x x =-+的函数值组成的集合；（2）函数232y x =-的⾃变量的值组成的集合3、已知集合4{|}3A x N Z x =∈∈-，试⽤列举法表⽰集合4、给出下列集合：①{(,)|1,1,2,3}x y x y x y ≠≠≠≠-；②12(,)13x x x y y y ??≠≠≠≠-??????且③12(,)13x x x y y y ??≠≠≠≠-??????或；④{}2222(,)[(1)(1)][(2)(3)]0x y x y x y -+-?-++≠其中不能表⽰“在直⾓坐标系xOy 平⾯内，除去点(1,1)，(2,3)-之外的所有点的集合”的序号有5、已知集合2{|12x a A a x +==-有唯⼀实施解}，试⽤列举法表⽰集合A。
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变式：
M
x
x
k 2
1 4
,k
Z ，N
x
x
k 4
1 2
,k
Z
，
P
x
x
k 4
1 4
,
k
Z
，
则M , N, P的关系为______
反思回顾：解答集合题目,认清集合元素的属性 （是点集、数集或其他情形）和化简集合是正确 求解的两个先决条件.
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反思回顾：
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感谢您的观看！
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变式二：已知二次函数 f (x) ax2 x有最小值,不等式
f (x) 0的解集为A，设集合 B x x 4 a
若集合B是集合A的子集,求 a 的取值范围.
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课堂总结：
1、集合的基本概念及表示方法 认识集合：一看代表元素 二看元素性质
2、集合间的基本关系 （1）包含关系 ：子集（真子集） （空集之误） （2）相等关系
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二：集合间的基本关系
1.包含关系：
(1)对任意的x∈A，都有x∈B，称集合A为集合B的子集
记作： A B （或 B A ）. 子集的性质： ①A A
AB
②A B, B C 则A C
(2)若A B，且在B中至少有一个元素x∈B，但x A，
称集合A为集合B的真子集，
记作：______（或______）.
题型二：子集的个数问题：
例1：A x Z 6 x 1，B 3,2,1,0,1,2
则A B的子集有 ____ 个 真子集有 _____ 个
高中数学集合知识总结
高中数学知识总结高中数学集合知识总结集合语言是现代数学的基本语言,使用集合语言可以简洁、准确地表达数学的一些相关内容.以下是小编搜集整合了高中数学集合知识，希望可以帮助大家更好的学习这些知识。
高中数学知识总结篇1一、集合间的关系1.子集：如果集合A中所有元素都是集合B中的元素，则称集合A为集合B的子集。
2.真子集：如果集合AB，但存在元素a∈B,且a不属于A,则称集合A是集合B的真子集。
3.集合相等：集合A与集合B中元素相同那么就说集合A与集合B相等。
子集：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，记作：AB(或BA)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)，这时我们说集合是集合的子集，更多集合关系的知识点见集合间的基本关系二、集合的运算1.并集并集：以属于A或属于B的元素为元素的集合称为A与B的并(集)，记作A∪B(或B∪A)，读作“A并B”(或“B并A”)，即A∪B={x|x∈A,或x∈B}2.交集交集：以属于A且属于B的元素为元素的集合称为A与B的交(集)，记作A∩B(或B∩A)，读作“A交B”(或“B交A”)，即A∩B={x|x∈A,且x∈B}3.补集三、高中数学集合知识归纳：1.集合的有关概念。
1)集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。
②集合中的元素具有确定性(a?A和a?A，二者必居其一)、互异性(若a?A，b?A，则a≠b)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。
③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件2)集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法3)集合的分类：有限集，无限集，空集。
4)常用数集：N，Z，Q，R，N*2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。
高一数学集合知识点
高一数学集合知识点在高一数学中，我们首先学习的是集合这个知识点，集合看起来简单，其实真要弄明白还是需要花费一些时间的哲学说一切事物都是有联系的，这不仅体现在数学，也体现在如今的交叉学科中...。
今天小编在这给大家整理了高一数学集合知识点_数学集合相关知识点，接下来随着小编一起来看看吧!高一数学必修一集合知识点总结一、集合有关概念1.集合的含义2.集合的中元素的三个特性：(1)元素的确定性如：世界上最高的山(2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}(3)元素的无序性:如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示：{…}如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}(2)集合的表示方法：列举法与描述法。
注意：常用数集及其记法：非负整数集(即自然数集)记作：N正整数集：N+整数集：Z有理数集：Q实数集：R1)列举法：{a,b,c……}2)描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合{x?R|x-3>2},{x|x-3>2}3)语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}4)Venn图:4、集合的分类：(1)有限集含有有限个元素的集合(2)无限集含有无限个元素的集合(3)空集不含任何元素的集合二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集注意：有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一集合。
反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA2.“相等”关系：A=B(5≥5，且5≤5，则5=5)实例：设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集合相等”即：①任何一个集合是它本身的子集。
A?A②真子集:如果A?B,且A?B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)③如果A?B,B?C,那么A?C④如果A?B同时B?A那么A=B3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
集合的概念、集合间的基本关系
第一章 集合 常用逻辑用语 推理与证明 第1课时集合的概念、集合间的基本关系【考情分析】不同的具体问题.别给定集合的子集.（2）在具体环境中，了解全集与空集的含义. 【知识清单】1. 集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性.2. 元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号€醒 €/表示3. 集合的表示法：列举法、描述法、图示法.4. 集合间的基本关系对任意的x€ A,都有x€ B,贝J A Q B （或B 二A ）. 若A 匸B ，且在B 中至少有一个元素X 芒A,则A 訓 若A 匸B 且BQA ，贝J A= B.5. 有关数集：自然数集记作 N ，正整数集记作N *或N +，整数集记空真子集.【课前预习】考试要求 1.集合及其表示，A 级要求;2.子集，B 级要求.集合的含义与表示: （1） 了解集合的含义、 元素与集合的 属于” 关系.⑵能用自然语言、 图形语言、集合语言 （列举法或描述法）描述集合间的基本关系: （1）理解集合之间包含与相等的含义，能识作Z ,有理数集记作Q ,实数集记作R ，复数集记作C .6•含有n 个元素的集合有 2n个子集，有22丄个真子集，有22个非7.空集是任何集合的子集, 是任何非空集合的真子集1.集合Amx|x2-3x +2=0,x壬R}，贝J A =答案：{1，2} 2.（必修1P 10.4改编）判断下列表示是否准确（1） a 匸{a}; （2）{1}迂{1,2,3 }；（ 3）{a,b}cfo,a} ；（ 4）0匚{讣请将正确判断的序号填在横线答案：（3），（ 4）解析：（1）应为a亡右} ；（ 2）应为{1}g{1,2,3}.3.（必修1P 10.5）已知数集A J O,1,X+2}，则实数x不能取到的值为答案：幺-1解析：根据集合中元素的互异性知：X+2H0, X + 2H^心―1且XH—2，所以，实数X不能取到的值为2 -1 .4._________________ 已知A={X I X2—3X+ 2< 0}, B = {X|1<X< a}，若A? B,则实数 a 的取值范围是.答案：［2,+乂）解析：因为A={X|X2—3X+2V0} = {X|1<XV2}? B,所以 a>2.5.下列关系中：①一4^ R 疋Q;③—20梓N* :④I —Q;⑤—5芒Z;⑥0€ N .其中正确的是解析：③；④；⑤是错误的，相应改成正确的应为：③I —20|€ N*;④—^2|0 Q;⑤—5€ 乙【典型例题】目标1兀素与集合的关系例1 已知集合 A = {1 , a2 + 3a + 3｝，则实数a不能取到的值为•答案：—1 和—2解析：由题设可知，a2+ 3a +3H1 ,解之可得a工―1且a H-2 ,即实数a不能取到的值为一 1 和—2.【借题发挥】变式1 已知集合A= {1 , a + 2, a2 + 3a+ 3｝，则实数a不能取到的值为•答案：—1 和—2解析：由题设可知， a + 2工1且a+3a + 3 H1且a+3a + 3 H a +2 ,解之可得a 1且a H-2 ,即实数a不能取到的值为一 1 和—2.变式2 已知集合 A= {a+ 2, (a + 1)2, a2 + 3a + 3}，且1€ A,则 2017"答案：1解析：当a+2= 1, 即卩a=- 1时,(a+ 1)2= 0, a2 + 3a+ 3 = 1 与 a + 2 = 1 相冋，不符合题意.当(a+ 1)2= 1, 即卩 a = 0 或 a=- 2 时, ①a= 0时，符合要求.②a= — 2时，a 2+ 3a+ 3 = 1与（a+ 1）2= 1相同，不符合题意.当 a 2+3a+ 3= 1, 即卩 a= — 2 或 a=— 1.①当a= — 2时，a 2+3a+ 3 = (a +1)2= 1,不符合题意. ②当a= — 1时，a 2+ 3a+ 3 = a + 2 = 1,不符合题意. 综上所述，a= 0. 所以，2 01尸=1.【规律方法】集合中的元素具有确定性、互异性和无序性等特性 .在 元素与集合的关系试题中，用互异性筛除不具备条件的解是解题过程 中不可缺少的步骤. 【拓展训练】1 + a数集M 满足条件：若a€ M，则1—a € M （a^±且a^0）已知3€ M , 试把由此确定的集合 M 的元素全部求出来. 解析：因为a= 3 € M,,1 , 1 1—211—3 1 1+2 =—2€ M ，二=—3€ M I =2€ M I 1 + 31 —2=3€ M .以下循环.目标2集合间的基本关系 例 2 已知集合 A= {x|x 2— 3x —10<0}，集合 B= {x|m+ 1<x<2m — 1}.若B ^A,求实数m 的取值范围.解析：由 x 2— 3x — 10< 0 得一2< x< 5.所以 A= [ — 2, 5].①当B 老时，即m+ 1<2m — 1,所以，m 》2.由 B G A 得一2< m+ 1 且 2m — 1< 5.得一3< m< 3. 所以2< m< 3.矿门1+ a 1+3所以U即 M=l3,— 2,1 1— —$②当B=0时，即m+ 1>2m— 1,所以mv2, B匸A成立.综上得mW3.【借题发挥】变式1在例2中，将集合B修改为：集合B={x(x —m—1I x —2m+1)E0}解析：解法一：(1)当 m+ 1>2m— 1 时，B = [2m_1,m+1]CA ,j m+ 1>2m— 1,则彳m+1 w 5, 解得—2w m<2;'2m— 1》—2,(2)当 m+1 =2m— 1,即卩 m= 2 时，B={3}, B^A 成立;(3)当 m+ 1<2m— 1 时，B = Im+i,2m-i]匸A,[m+ 1<2m— 1,则 4 m+ 1》—2,解得 2<mW 3.【2m— K 5,1综上：—2= mW 3.解法二：为使B匸A成立，由于集合B ={x|(x-m-1 "-2m+1戶o}中对应的不等式的解集是两根之间，所以只要让两个端点值在区间 [-2,5]之间就可以了: !m F-2=- — mg2mT 兰5 2 变式2:在例2中，若A? B,如何求解?‘m >2 « m <-3= m €0 .m >3m 的取值范围为0.变式3:若将例2中的集合A 改为A={x|xv — 2或x>5}，如何求解? 解析：因为B? A,所以:①当B = 0时，即2m — 1<m + 1时，mv2,符合题意. l m+ 1 < 2m — 1, (m+ 1 < 2m — 1, ②当 B^，l m+ 1>5,或b m —1v —2, r A2 f m>2, 解得$m ‘或{ 1即m>4.I m>4, (mv — 2综上可知，实数m 的取值范围为（—汽2）U （4,+^）.【规律方法】（1）空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须 优先考虑空集的情况，否则会造成漏解； （2）已知两个集合间的关系 求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系， 进而转化 为参数所满足的关系.常用数轴、Venn 图来直观解决这类问题.【拓展训练】 1.设 A ={Xx 2-8x +15=0} , B ={x |ax -1=0}，若 B 匸 A,求实数 a 组成的集 合C.解析：A ^g x 2-8x +15=0}= {3,5},由于B G A,所以①若B=0，满足B ",此时a =0;②若B H 0，此时aH0，方程ax-1=0的根为xJa1 1 1 1 又因为BcA ，所以-=3或-=5,所以a =1或-; a a 3 5综上，适合题意的实数a 组成的集合为{o *1}.解析：若A?B,由于集合A 不是空集，则集合B 也不是空集，则:'m +1 <2m -1 *m+1<-2 = I 2m-135所以,2._____________________________________ 已知集合 A={x|x2—3x+ 2 = 0, x€ R} , B= {x|0<x<5, x€ N}，则满足条件A? C? B的集合C的个数为 ______________________________ .答案：4 解析：由题意知：A= {1 , 2} , B= {1 , 2, 3, 4}.又 A? C? B, 解法一：列举法：集合 C可能为{1 , 23}, {1 , 2, 3} , {1 , 2, 4}, {1 , 2, 3, 4}.解法二：等价转化：集合 C中必定含有数字1,2，则数字1,2不影响集合C的个数，所以集合C的个数就在于取不取3, 4与取几个的问题，因此，集合C的个数就相当于集合{3,4}的子集个数，故共有22=4 个•此方法当集合中的元素个数偏多时采用较有优势.目标3以集合为载体的创新问题例3若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为可(1)判断集合A={ — 1, 1, 2}是否为可倒数集”；(2)试写出一个含3个元素的可倒数集”.1解析：(1)由于2的倒数为2不在集合A中，故集合A不是可倒数集.1⑵若a€ A,则必有ze A,说明集合中的元素是成对出现的,a1现已知集合A中含有3个元素，故必有一对元素满足：a=-即a = a士 1,故可以取集合A= ｛1 , 2,舟｝或｛— 1, 2,寺或｛1 , 3,£｝等.【规律方法】解决集合创新问题时，一定要读懂题目的本质含义，紧扣题目所给条件，结合题目要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆.可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法，并结合集合的相关性质求解.【拓展训练】已知集合A, B,定义集合A与B的一种运算A㊉B,其结果如下表所示:按照上述定义，若 M = { — 2 016, 0, 2 017} , N = { — 2 017, 0, 2 018},解析：由给出的定义知，集合 A㊉B的元素是由所有属于集合 A但不属于集合B和属于集合B但不属于集合A的元素构成的，即并集中去掉交集的部分，故 A㊉B= {x|x€ A且x/ B,或x€ B且x/ A},故 MH N = { — 2 016, 2 017,— 2 017, 2 018}.【归纳分析】1•认清元素的属性：解决集合问题时，认清集合中元素的属性（是点集、数集或其他情形）和化简集合是正确求解的两个先决条件.2•注意元素的互异性：在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.3.防范空集：在解决有关 AQB = 0, A? B等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定要先考虑0是否成立，以防漏解.【课后作业】 1.设集合 A ={1,2,3} , B ={1,3,9}, X"且X芒B，则x = 答案：2 解析：由于集合A ={1,2,3} , B ={1,3,9} , X"且X艺B，则x在集合A 中,不在集合B中，可知x=2 .2.设集合A={(x, y)|x + 2y= 1, x€ N , y€ N}，用列举法表示集合A答案：{(1 , 0)}解析：集合A= {(1 , 0)}.3.已知集合A={x|x2— 2x+ a>0}，且1 0 A,则实数a的取值范围是 2 3 5.已知集合 M = {1 , m}, N= {n, log?n}，若 M = N,则(m— n)2 018答答案：(―=,1]解析：因为 1/{x|x2— 2x+ a>0}，所以1€ {x|x2— 2x+ a< 0}，即 1-2+ aw0,所以 aw 1.34.已知集合A =4xx0 Z,且0 Z，则集合A中的元素个数2——X答案：43解析：因为2—Z, 2-x的取值有-3，- 1, 1 3'又X0乙所以x值分别为5, 3, 1,- 1,故集合A中的元素个数为4.案：1或0r n= 1, f n = m, f n= 1,解析：由M = N 知，1 或1 所以，[IJ og 2 n = m, IJ og 2 n= 1, [m= 0, F 2、故(m-n)2 018= 1 或 0.I n = 2.--6.已知集合 A= {1 , 2, 3} , B= {1 , 2, 3, 4, 5, 6}.则满足条件 A 呈C? B 的集合C 的个数为 _________ .答案：7 解析: 解法一：列举法 解法二：等价转化：集合C 中必定含有数字1,2,3,则数字1,2,3不影 响集合C 的个数，所以集合C 的个数就在于取不取4,5,6与取几个的 问题，因此，集合C 的个数就相当于集合{4,5,6}的非空子集个数，故 共有23-1=7个.7.定义：满足任意元素X %，则4 —x |<^A 的集合称为优集，若集合则实数a 的值为 答案：3 解析：依题意，当x=1时，4_x=3壬A ，当x = 7时，|4_X=3壬A ，所以, a =3时符合条件.8. 给定集合A,若对于任意a, b€ A, 有 a + b € A, 且 a-b€ A,贝S 称集合A 为闭集合，给出如下三个结论：①集合 A={ — 4,- 2, 0,2, 4｝为闭集合；②集合A= ｛n|n= 3k, k€ Z｝为闭集合；③若集合A i ,A 为闭集合，则A 1U A 2为闭集合.其中正确结论的序号是 答案：② 解析：①中，一4+ (— 2) = -6/A,所以不正确；②中设n i ,匕€ A, n i = 3k i , n 2=3k 2, k i , k ? € Z ,则 n i + 匕 € A,山一匕 € A,所以②正确; ③令 A i = {n|n = 3k, k€ Z} , A = {n|n = 2k, k€ Z}，贝J A , A 2为闭集 合，但A i U A 2不是闭集合，所以③不正确.9. 已知 A={x|x 2 + mx+n = 0}, B= {y|y 2 + (m — 1)y + n-3= 0}，且 A =｛3｝，求集合B.所以，B= {y|y 2 — 7y+ 6 = 0} = {1 , 6}.10. 已知集合 A= {1 , 3, p x} , B= {2 — x, 1}.(1)记集合M = ｛1 , 4, y ｝，若集合A= M,求实数x+ y 的值;请说明理由.y=4,贝J x+ y= 19.x 使得 B? A ，贝J 2 — x= 3, 或 2 — x=依. 若2 — x= 3，则x=— 1, ^/X 没有意乂，舍去;若2 — x=应, 则x+G — 2= 0,解得x= 1,此时集合B 中元素相 同，舍去.故不存在实数X,使得B?A. 解析：由题可知jm —Xj 0，解得* m= —6, n=9.(2)是否存在实数 X,使得B? A?若存在，求出x 的值；若不存在, 解析：(1)由题可知, 集合A 和集合M 中元素完全相同，则V x=4且 (2)假设存在实数11.设集合 A = {xx 2+4X =0},B ={x |x 2+2(a +1)x +a 2-1=0,a <：R },若 B J A ,求实 数a 的值. 解析：若 ，贝J A =4(a +1)2 —4(a 2 _1) <0,所以 a c —1 . 若 B 辺，贝J B ={0}或 B ={^}或 B ={0, -4},当B =｛0｝时，方程X 2+2(a +1)x +a 2—1 =0有两个相等的根0. 所以賈;1T 解得a=- 1.当B =｛'｝时，方程x 2+2(a +1)x +a 2—1=0有两个相等的根一4. 所以F ：1］；方程组无解. 当B =｛0, 一4｝时，方程X 2+2(a +1)x +a 2一1 =0有两个不相等的根一 4, 0. 所以解得a = 1综上所述，a<- 1或a= 1 .【提优训练】M 为非空的数集，M?｛1 , 2, 3｝，且M 中至少含有一个奇数答案:集合｛1 , 2, 3｝的所有子集共有23= 8个，集合｛2｝的所有子 集共有2个，故满足要求的集合 M 共有8-2 = 6个. 2 .集合A=｛x|(a- 12x+次-N 的｝子集有且仅有两个，则实数a 答案：1或-1解析：当a=1时，A={2}，子集有两个；当aHl 时，由—0,所以，a 3 8此时，A={4}，子集有两个，综上，a= 1或」. 3 8 1.设 元素，则集合M 共有 ______ 个. 解析:。
1.集合的含义及基本关系
1. 集合的含义及基本关系（1）集合的概念：把某些特定的对象集在一起就叫做集合.（2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一.（4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素.④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n -非空真子集.一、单选题1．给出下列四个关系式：(1)√3∈R ；（2）Z ∈Q ；（3）0∈ϕ；（4）ϕ⊆{0}，其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．下列给出的对象中，能表示集合的是（ ）．A ．一切很大的数B ．无限接近零的数C ．聪明的人D ．方程x 2=2的实数根3．集合{x ∈N|x −3<2}用列举法表示是A ．{1，2，3，4}B ．{1，2，3，4，5}C ．{0，1，2，3，4，5}D ．{0，1，2，3，4}4．设集合M ={x|x ≥4},a =√11，则下列关系中正确的是（ ）A ．a ∈MB ．a ∉MC ．{a}∈MD ．{a}∉M5．下列各式：①1∈{0,1,2}；②∅⊆{0,1,2}；③{1}∈{0,1,2}；④{0,1,2}＝{2,0,1}，其中错误的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．设集合A 只含有一个元素a ，则下列各式正确的是( )A ．0∈AB ．a ∉AC ．a∈AD ．a ＝A7．方程x 2–1=0的解集可表示为A ．{x =1或x =–1}B ．{x 2–1=0}C ．1，–1D ．{1，–1}8．下列元素与集合的关系表示正确的是( )①1-∈N *∉Z ；③32∈Q；④π∈Q A ．①② B ．②③C ．①③D ．③④ 9．已知集合{}1,2A =，则集合(){,|,}B x y x A y A =∈∈中元素的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．410．已知单元素集合A ={x|x 2−(a +2)x +1=0}，则a =A ．0B ．−4C．−4或1D．−4或011．下列所给关系正确的个数是（）①π∈R Q；③0∈*N；④|−4|∉*N．A．1B．2C．3D．4 12．设集合S={x|(x−2)(x−3)≥0},T={x|x>0}，则S∩T=A．[2,3] B．（−∞,2]∪[3,+∞）C．[3,+∞）D．（0,2]∪[3,+∞）13．设集合A={0,2,4,6,8,10},B={4,8}，则∁A B=A．{4,8}B．{0，2,6}C．{0，2，6,10}D．{0，2，4，6，8,10} 14．已知集合M={0,1}，则下列关系式中，正确的是（）A．{0}∈M B．{0}∉M C．0∈M D．0⊆M15．已知集合A={0,1},B={−1,0,a+3}，若A⊆B，则a的值为A．−2B．−1C．0D．116．集合A={1,2,3}，则集合A的子集个数是（）A．6B．7C．8D．917．已知集合A={0,1,2}，B={1,m}.若B⊆A，则实数m的值是（）A．0 B．2 C．0或2 D．0或1或2二、填空题18．用符号“∈”或“∉”填空：（1）若集合P由小于√11的实数构成，则2√3_____P;（2）若集合Q由可表示为n2+1(n∈N∗)的实数构成，则5____ Q.19．已知集合A={−1,3,m}，B={3,5}，若B⊆A，则实数m的值为__________.20．满足条件{2,3}⊆A ⊂≠{1,2,3,4}的集合A有__________个．21．集合A={0,1}，写出A的所有子集__________．本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
集合的基本概念元素集合之间的关系
第一章集合第一节集合的概念一、要点透析（一）集合的有关概念：由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的。
我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集。
集合中的每个对象叫做这个集合的元素。
1、集合的概念（1）元素：某些特定的研究对象叫做元素（2）集合：一些元素集在一起就形成一个集合（简称集）2、元素对于集合的隶属关系（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a A∈（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作a A∉3、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可（2）互异性：集合中的元素没有重复（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）例1.下列各组对象能确定一个集合吗？（1）所有很大的实数（）（2）好心的人（）（3）1，2，2，3，4，5．（）4、（1）集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q ……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q ……（2）“∈”的开口方向，不能把a A ∈颠倒过来写5、常用数集及记法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合，记作N ，{}0,1,2,N = （2）正整数集：非负整数集内排除0的集，记作*N 或N +，{}*1,2,3,N = （3）整数集：全体整数的集合，记作Z ，{}012Z =±± ，，，（4）有理数集：全体有理数的集合，记作Q ，{}Q =整数与分数（5）实数集：全体实数的集合，记作R ，{}R =数轴上所有点所对应的数（6）空集：不含任何元素的集合，记作∅注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0（2）非负整数集内排除0的集，记作*N 或N +，Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成*Z例2.用适当的符号（∈∉，）填空：(1)3_____N;(2)0_____{Φ};(3)32____Z,0.5Q Q ，；2（二）集合的表示方法1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合例如，由方程210x -=的所有解组成的集合，可以表示为{1,1}-注：（1）有些集合亦可如下表示：从51到100的所有整数组成的集合：{51,52,53,,100} ；所有正奇数组成的集合：{1,3,5,7,}（2）a 与{}a 不同：a 表示一个元素，{}a 表示一个集合，该集合只有一个元素例3、设a,b 是非零实数，那么ba +可能取的值组成集合的元素是：练习、由实数x,－x,｜x ｜,332,x x -所组成的集合，最多含（）（A ）2个元素（B ）3个元素（C ）4个元素（D ）5个元素2、描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法格式：{|()}x A P x ∈含义：在集合A 中满足条件()P x 的x 的集合例如，不等式32x ->的解集可以表示为：{|32}x R x ∈->或{|32}x x ->所有直角三角形的集合可以表示为：{|}x x 是直角三角形例4、已知集合{}R a x ax x A ∈=+-=,023|2；（1）若A 是空集，求a 的取值范围；（2）若A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个元素写出来；（3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围3、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法4、何时用列举法？何时用描述法？（1）有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法如：集合2322{,32,5,}x x y x x y +-+（2）有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法如：集合2{(,)|1}x y y x =+；集合{1000}以内的质数思考：集合}1|),{(2+=x y y x 与集合}1|{2+=x y y 是同一个集合吗？（三）有限集与无限集有限集：含有有限个元素的集合无限集：含有无限个元素的集合空集：不含任何元素的集合，记作∅，如：2{|10}x R x ∈+=二、题型解析（一）集合的基本概念1以下元素的全体不能够构成集合的是（）A．中国古代四大发明B．地球上的小河流C．方程210x -=的实数解D．周长为10cm 的三角形2方程组23211x y x y -=⎧⎨+=⎩的解集是（）A．{5,1}B．{1,5}C．{(5,1)}D．{(1,5)}3给出下列关系：①12R ∈；Q ；③3N +∈；④0Z ∈，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．44下列各组中的两个集合M 和N ，表示同一集合的是（）A．{}M π=，{3.14159}N =B．{2,3}M =，{(2,3)}N =C．{|11,}M x x x N =-<≤∈，{1}N =D．{}M π=，{,1,|N π=5已知实数2a =，集合{|13}B x x =-<<，则a 与B 的关系是6用适当的符号填空：已知{|32,}A x x k k Z ==+∈，{|61,}B x x m m Z ==-∈，则有：17A ；5-A ；17B 7已知x R ∈，则集合2{3,,2}x x x -中元素x 所应满足的条件为（二）集合的表示方法1用列举法表示下列集合①{|15}x N x ∈是的约数②{(,)|{1,2},{1,2}}x y x y ∈∈③2(,)24x y x y x y ⎧⎫+=⎧⎪⎪⎨⎨⎬-=⎩⎪⎪⎩⎭④{|(1),}nx x n N =-∈⑤{(,)|3216,,}x y x y x N y N +=∈∈⑥{(,)|,4}x y x y 分别是的正整数约数2用描述法表示下列集合①{1,4,7,10,13}②{2,4,6,8,10}-----③{1,5,25,125,625}④12340,,,,,251017⎧⎫±±±±⎨⎬⎩⎭（三）集合的分类1关于x 的方程0ax b +=，当a ，b 满足条件_____时，解集是有限集；当a ，b 满足条件_____时，解集是无限集2下列四个集合中，是空集的是（）A．}33|{=+x x B．},,|),{(22R y x x y y x ∈-=C．}0|{2≤x x D．},01|{2R x x x x ∈=+-三、课下训练1、有下列说法：（1）0与{0}表示同一个集合；（2）由1，2，3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}；（3）方程2(1)(2)0x x --=的所有解的集合可表示为{1,1,2}；（4）集合{|45}x x <<是有限集，其中正确的说法是（）A．只有（1）和（4）B．只有（2）和（3）C．只有（2）D．以上四种说法都不对2、试选择适当的方法表示下列集合：（1）二次函数223y x x =-+的函数值组成的集合；（2）函数232y x =-的自变量的值组成的集合3、已知集合4{|}3A x N Z x =∈∈-，试用列举法表示集合4、给出下列集合：①{(,)|1,1,2,3}x y x y x y ≠≠≠≠-；②12(,)13x x x y y y ⎧⎫≠≠⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎬≠≠-⎩⎩⎪⎪⎩⎭且③12(,)13x x x y y y ⎧⎫≠≠⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎬≠≠-⎩⎩⎪⎪⎩⎭或；④{}2222(,)[(1)(1)][(2)(3)]0x y x y x y -+-⋅-++≠其中不能表示“在直角坐标系xOy 平面内，除去点(1,1)，(2,3)-之外的所有点的集合”的序号有5、已知集合2{|12x a A a x +==-有唯一实施解}，试用列举法表示集合A。
高一数学1.2集合间的基本关系
高一数学1.2集合间的基本关系
集合是数学中一个基本的概念，它是将一组具有共同特征的元素组合在一起。
在高一数学中，集合间的基本关系是学习集合论的基础知识之一。
一、子集
子集是指一个集合中的所有元素都是另一个集合中的元素，记作A⊆BA \subseteq BA⊆B。
例如，集合{1,2,3}是集合{1,2,3,4,5}的子集。
二、真子集
真子集是指一个集合中的所有元素都是另一个集合中的元素，并且不是相等关系，记作A⊆BA \subset BA⊆B。
例如，集合{1,2,3}是集合{1,2,3,4,5}的真子集。
三、并集
并集是指两个集合中的所有元素组成的集合，记作A∪BA \cup BA∪B。
例如，集合{1,2,3}和{3,4,5}的并集是{1,2,3,4,5}。
四、交集
交集是指两个集合中共有的元素组成的集合，记作A∩BA \cap BA∩B。
例如，集合{1,2,3}和{3,4,5}的交集是{3}。
五、补集
补集是指一个集合在全集中不属于这个集合的元素组成的集合，记作CA∁UC_A \complement_UCA∁U。
例如，集合{1,2,3}在全集{1,2,3,4,5}中的补集是{4,5}。
这些基本关系是学习集合论的基础知识之一，也是高一数学中的重要内容之一。
通过掌握这些基本关系，我们可以更好地理解和应用集合论的概念和性质。
集合的基本概念
二、集合的表示方法 1. 列举法：常用于表示有限集合，把集合中的所有元
素一一列举出来﹐写在花括号内﹐这种表示集合的 方法叫做列举法。{1，2，3，……}
2. 描述法：常用于表示无限集合，把集合中元素的公
共属性用文字﹐符号或式子等描述出来﹐写在花括
本书中常见的无穷集合有： N={0,1,2,3,···}，即自然数集合。 Z={···,-2,-1,0,1,2,3,···}，即整数集合。 Z+={1,2,3,···}，即正整数集合。 Q=有理数集合。 R=实数集合。 C=复数集合。
3.2 集合运算及其性质
集合运算是指用已知的集合去生成新的 集合。假设所有集合都是全集E的子集，即 这些集合是利用子集公理得到的。常见的 集合运算有：并、交和差运算、绝对补集 、对称差
={x|P(x)P(x)} (1) ，{ }，{{ }}，···
（2）两个集合的包含排斥原理：
A B (A B A B)
其中P(x)为任何谓词公式。 由定义可知， P(A)，A P(A)。
F为所有十九世纪的书所组成的书名集 集合运算是指用已知的集合去生成新的集合。
那么全集有而A中没有的3，4就是A的补集。
x（1 1集2A）合矛x的盾由基B律本成概定A立∩念～即义A可=。可。 知，对任何集合A，有A。这是因为
列举法：常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列举出来﹐写在花括号内﹐这种表示集合的方法叫做列举法。
任意元素x，公式xxA总是为真 全集是个相对性概念，在实际应用中，常常根据具体问题作出选择。
1．并、交和差运算 定义:设A和B是任意两个集合， ① A和B的并是集合，记为A∪B，
集合的关系与包含总结
集合的关系与包含总结集合是数学中的基础概念，它描述了一组对象的集合。
在集合的研究中，我们常常需要探讨集合之间的关系，特别是包含关系。
本文将总结集合的关系与包含的相关知识。
一、集合的基本概念首先，我们需要明确集合的基本概念。
集合是由一些元素所组成的整体。
集合中的元素可以是任意事物，如数字、字母、物体等。
用大写字母表示一个集合，用小写字母表示集合中的元素。
例如，集合A={1,2,3,4}，其中元素1、2、3、4属于集合A。
二、集合间的关系集合间的关系主要有两种：相等关系和包含关系。
1. 相等关系集合的相等关系指的是两个集合的元素完全相同。
即如果两个集合A和B的所有元素都相同，我们可以说集合A等于集合B，并用A=B 表示。
例如，集合A={1,2,3}，集合B={2,1,3}，则A=B。
2. 包含关系包含关系是指一个集合包含另一个集合的所有元素。
如果集合A中的所有元素都属于集合B，我们可以说集合A包含于集合B，用A⊆B 表示。
反之，如果集合A包含于集合B并且集合B也包含于集合A，则两个集合互相包含，称为集合的相等包含关系。
三、集合的运算除了基本的集合关系外，还存在集合的运算。
常见的集合运算包括并集、交集和补集。
1. 并集集合的并集指的是将两个或多个集合中的所有元素合并在一起，形成一个新的集合。
并集用符号∪表示。
例如，对于集合A={1,2,3}和集合B={3,4,5}，它们的并集为A∪B={1,2,3,4,5}。
2. 交集集合的交集是指两个或多个集合中共同拥有的元素组成的集合。
交集用符号∩表示。
例如，对于集合A={1,2,3}和集合B={3,4,5}，它们的交集为A∩B={3}。
3. 补集补集是指相对于某个全集，集合中不属于该全集的元素组成的集合。
补集一般用符号(A)'或A^c表示。
例如，对于集合A={1,2,3}，如果全集为自然数集N，那么A的补集为A^c=N\A={0,4,5,6,7,…}。
四、集合关系的图示为了更好地理解集合的关系与包含，我们可以通过图示来表示。
高1数学必修1集合间的基本关系知识点
高1数学集合间的基本关系知识点总结(一)集合知识点总结知识点包括集合的概念、集合元素的特性、集合的表示方法、常见的特殊集合、集合的分类和集合间的基本关系等知识点，除了集合的表示方法中的描述法较难理解，其它的都多是好理解的知识，只需加强记忆。
一、集合有关概念1、集合的含义2、集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性。
整数集Z (包括负整数、零和正整数) (4)有理数集Q (5)实数集R6、集合的分类： (1)有限集;(2)无限集;(3)空集。
二、集合间的基本关系1、子集2、真子集3、空集集合考法集合是学习函数的基础知识，在段考和高考中是必考内容。
在段考中多考查集合间的子集和真子集关系，在高考中也是不可少的考查内容，多以选择题和填空题的形式出现，经常出现在选择填空题的前几小题，难度不大。
主要与函数和方程、不等式联合考查的集合的表示方法和集合间的基本关系。
误区提醒2、集合的关系问题，有同学容易忽视空集这个特殊的集合，导致错解。
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
3、集合的运算要注意灵活运用韦恩图和数轴，这实际上是数形结合的思想的具体运用。
4、集合的运算注意端点的取等问题。
最好是直接代入原题检验。
5、集合中的元素具有确定性、互异性和无序性三个特征，尤其是确定性和互异性。
在解题中，要注意把握与运用，例如在解答含有参数问题时，千万别忘了检验，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误。
【典型例题】高1数学集合间的基本关系知识点总结(二)集合与集合的关系有“包含”与“不包含”，“相等”三种：1、子集概念：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，就说集合B包含A，记作AB(或说A包含于B)，也可记为BA(B包含A)，此时说A是B的子集;A不是B的子集，记作AB，读作A不包含于B2、集合相等：对于集合A和B，如果集合A中的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，即集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，我么就说集合A和集合B相等，记作A=B3、真子集：对于集合A与B，如果AB并且A≠B，则集合A是集合B的真子集，记作，读作A真包含于B(B真包含A)集合间基本关系：性质1：(1)空集是任何集合的子集，即A;(2)空集是任何非空集合的真子集;(3)传递性：AB，BCAC;AB，BCAC;(4)AB，BAA=B。
集合间的基本关系总结归纳
集合间的基本关系总结归纳集合是数学中一个基础的概念，它描述了一组元素的集合体。
而在集合理论中，我们常常需要研究集合之间的基本关系。
本文将对集合之间的基本关系进行总结归纳，包括子集关系、相等关系、交集和并集等。
一、子集关系在集合论中，子集关系是最基本的关系之一。
对于两个集合A、B，如果集合A的所有元素都是集合B的元素，则称A为B的子集，用符号A⊆B表示。
即A中任意一个元素x，必然存在于B中。
子集关系有以下几个特点：1. 任何集合是其自身的子集，即A⊆A。
2. 空集∅是任意集合的子集，即∅⊆A。
3. 如果A是B的子集，且B是C的子集，则A也是C的子集，即A⊆B且B⊆C，则A⊆C。
二、相等关系相等关系是指两个集合包含的元素完全相同。
当集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集时，称集合A和集合B相等，记作A=B。
相等关系具有以下性质：1. 集合与自身相等，即A=A。
2. 集合相等满足交换律，即A=B等价于B=A。
3. 如果A=B且B=C，则A=C，满足传递性。
三、交集与并集交集是指两个集合中共有的元素构成的集合。
对于集合A和集合B，它们的交集记作A∩B，表示A和B共有的元素。
并集是指两个集合中所有元素的集合。
对于集合A和集合B，它们的并集记作A∪B，表示A和B中所有的元素。
交集和并集具有以下性质：1. 交集满足交换律，即A∩B=B∩A。
2. 并集满足交换律，即A∪B=B∪A。
3. 交集和并集满足结合律，即(A∩B)∩C=A∩(B∩C)，(A∪B)∪C=A∪(B∪C)。
4. 交集满足分配律，即A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)。
5. 并集满足分配律，即A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)。
四、包含关系除了子集关系外，还存在一种更为宽松的包含关系。
对于集合A和集合B，如果集合A包含了集合B的所有元素，但并不要求A中的元素全部存在于B中，则称A包含B，用符号A⊇B表示。
包含关系具有以下特点：1. 任何集合包含空集∅，即A⊇∅。
1.集合的概念及基本关系
第一讲 集合的概念及基本关系一、知识框架123412n x A x B A B A B A n A ∈∉⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩∈⇒∈⊆（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。
、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ⎧⎪⎧⎪⎪⎪⊆⎪⎪⎨⎪⊆⊆⊆⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⊆≠∈∉⎪⊆⊇⇔=⎪⎩⋂=∈∈⋂=⋂∅=∅⋂=⋂⋂⊆真子集有个。
、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。
真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。
集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ⎧⎪⎨⋂⊆⊆⇔⋂=⎪⎩⎧⋃=∈∈⎪⎨⋃=⋃∅=⋃=⋃⋃⊇⋃⊇⊆⇔⋃=⎪⎩⋃=+⋂=∈∉=⋂=∅⋃==⋂=⋃，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⋃=⋂⎪⎪⎩⎩⎩⎩一、集合的含义例1.下列每组对象能否构成一个集合：(1)我们班的所有高个子同学；(2)不超过20的非负数；(3)直角坐标平面内第一象限的一些点； (4)3的近似值的全体．变式练习1.下列所给的对象能构成集合的是__________．(1)所有正三角形；(2)必修1课本上的所有难题；(3)比较接近1的正整数全体；(4)某校高一年级的16岁以下的学生．二、集合的表示法例2.用适当的方法表示下列集合．(1)被3除余2的整数；(2)方程(x ＋1)(x 2－2)＝0的解集；(3)直线y＝x－1，y＝－x＋1的交点组成的集合；(4)直角坐标系内第二象限的点组成的集合变式练习1.用适当的方法表示下列集合，并指出是有限集还是无限集．(1)由所有非负奇数组成的集合；(2)由所有小于20，既是奇数又是质数的数组成的集合；(3)方程x2＋x＋2＝0的实数解组成的集合；(4)平面直角坐标系内所有第四象限的点组成的集合．三、集合元素的特性例3.若集合A＝{a－3,2a－1，a2－4}且－3∈A，求实数a的值．变式练习：1.已知x2∈{1,0，x}，求实数x的值．四、集合间关系的判定例4.下列各式中，正确的个数是()①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0} A．1B．2C．3 D．4变式练习：1．指出下列各对集合之间的关系：(1)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；(3)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}；(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N＋}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N＋}五、集合相等例5.已知集合A＝{a，a＋b，a＋2b}，B＝{a，ac，ac2}，若A＝B，求c的值．变式练习1．已知集合A＝{x，xy，x－y}，B＝{0，|x|，y}且A＝B，求实数x与y的值．六、有限集合子集的确定例6.试写出满足条件∅ ⊆M⊆{0,1,2}的所有集合M.变式练习1．已知{a，b}⊆A a，b，c，d，e}，写出所有满足条件的集合A七、已知集合间的关系，求参数的范围例7.已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|x<a}（1）若A＝B，则实数a的取值是多少？（2）若A⊆B，则实数a的取值是多少？（3）若B⊆A，则实数a的取值是多少？例8.设集合A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|m－1≤x≤1－2m}．(1)若B⊆A，求m的取值范围．(2)若A⊆B，求m的取值范围.方法总结：已知集合关系求参数范围的一般方法：通常借助数轴，把两个集合在数轴上表示出来，以形定数.当某一个集合的端点中含有字母时，要判定两个端点的大小，不确定时要分类讨论，当左边的端点大于右边的端点时，集合为空集，这种情况容易被忽视.比较端点大小时要注意是否能取“＝”，不好确定时要单独验证参数取“＝”时的值是否符合题意.变式练习：1.已知集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|a－1<x<a＋3}，若A⊆B，求a的取值范围．2．已知A＝{x|x<－1或x>2}，B＝{x|4x＋a<0}，当B⊆A时，求实数a的取值范围．。
集合间的基本关系说课稿
集合间的基本关系说课稿摘要：1.集合间的基本关系概述2.集合间的包含关系3.集合间的相等关系4.集合间的互异性关系5.集合间的空集关系6.集合间的并集和交集关系7.集合间的补集关系正文：一、集合间的基本关系概述在数学中，集合是一个基本的概念，它可以帮助我们更好地理解和描述问题。
集合间的基本关系是研究集合之间联系和关系的基础，主要包括包含关系、相等关系、互异性关系、空集关系、并集和交集关系以及补集关系。
二、集合间的包含关系包含关系是指一个集合中的所有元素都属于另一个集合。
可以用符号AB 表示集合A 是集合B 的子集。
例如，{1, 2, 3}是{1, 2, 3, 4, 5}的子集，因为{1, 2, 3}中的所有元素都属于{1, 2, 3, 4, 5}。
三、集合间的相等关系相等关系是指两个集合具有相同的元素。
可以用符号A=B 表示集合A 与集合B 相等。
例如，{1, 2, 3}与{1, 2, 3}相等，因为它们具有相同的元素。
四、集合间的互异性关系互异性关系是指两个集合之间没有相同的元素。
可以用符号AB 表示集合A 与集合B 互异。
例如，{1, 2, 3}与{4, 5, 6}互异，因为它们之间没有相同的元素。
五、集合间的空集关系空集关系是指一个集合中没有元素。
可以用符号表示空集。
例如，集合A = {x | x = 0}是空集，因为方程x = 0 的解只有0，而集合A 中没有0 这个元素。
六、集合间的并集和交集关系并集关系是指两个集合中所有元素的集合。
可以用符号A∪B 表示集合A 与集合B 的并集。
例如，{1, 2, 3}与{4, 5, 6}的并集是{1, 2, 3, 4, 5, 6}。
交集关系是指两个集合中共同拥有的元素的集合。
可以用符号A∩B 表示集合A 与集合B 的交集。
例如，{1, 2, 3}与{4, 5, 6}的交集是{}（空集）。
七、集合间的补集关系补集关系是指一个集合与另一个集合的并集等于全集。
1.1.2 集合间的基本关系
1．1.2 集合间的基本关系一、子集1、定义：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含包含关系，称集合A 为集合B 的子集2、记法与读法：记作B A ⊆(或A B ⊇)，读作“A 含于B ”(或“B 包含A ”)3、结论(1)任何一个集合是它本身的子集，即A A ⊆.(2)对于集合A ，B ，C ，若A ⊆B ，且B ⊆C ，则C A ⊆4、对子集概念的理解(1)集合A 是集合B 的子集的含义是：集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，即由x ∈A 能推出x ∈B .例如{0,1}⊆{－1,0,1}，则0∈{0,1},0∈{－1,0,1}．(2)如果集合A 中存在着不是集合B 的元素，那么集合A 不包含于B ，或B 不包含A .此时记作A B 或B ⊉A .(3)注意符号“∈”与“⊆”的区别：“⊆”只用于集合与集合之间，如{0}⊆N.而不能写成{0}∈N ，“∈”只能用于元素与集合之间．如0∈N ，而不能写成0⊆N.二、集合相等1、集合相等的概念如果集合A 是集合B 的子集(A ⊆B )，且集合B 是集合A 的子集(B ⊆A )，此时，集合A 与集合B 中的元素是一样的，因此，集合A 与集合B 相等，记作B A =.2、对两集合相等的认识(1)若A ⊆B ，又B ⊆A ，则A ＝B ；反之，如果A ＝B ，则A ⊆B ，且B ⊆A .这就给出了证明两个集合相等的方法，即欲证A ＝B ，只需证A ⊆B 与B ⊆A 同时成立即可．(2)若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关.三、真子集1、定义：如果集合A ⊆B ，但存在元素A x ∈，且B x ∈，我们称集合A 是集合B 的真子集2、记法与表示：3、对真子集概念的理解(1)在真子集的定义中，A B 首先要满足A ⊆B ，其次至少有一个x ∈B ，但x ∉A .(2)若A 不是B 的子集，则A 一定不是B 的真子集.四、空集1、定义：我们把不含任何元素的集合，叫做空集2、记法：∅3、规定：空集是任何集合的子集，即∅⊆A4、特性：(1)空集只有一个子集，即它的本身，∅⊆∅(2)A ≠∅，则∅真包含A5、∅与{0}的区别(1)∅是不含任何元素的集合；(2){0}是含有一个元素的集合，∅{0}．题型一、集合间关系的判断例1、(1)下列各式中，正确的个数是( B )①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0} A．1B．2 C．3 D．4题型二、有限集合子集的确定例2(1)集合M＝{1,2,3}的真子集个数是()A．6 B．7 C．8 D．9(2)满足{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}的集合M有________个．[解析](1)集合M的真子集所含有的元素的个数可以有0个，1个或2个，含有0个为∅，含有1个有3个真子集{1}，{2}，{3}，含有2个元素有3个真子集{1,2}{1,3}和{2,3}，共有7个真子集，故选B.(2)由题意可得{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}，可以确定集合M必含有元素1,2，且含有元素3,4,5中的至少一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：含有三个元素：{1,2,3}{1,2,4}{1,2,5}；含有四个元素：{1,2,3,4}{1,2,3,5}{1,2,4,5}；含有五个元素：{1,2,3,4,5}．故满足题意的集合M共有7个．公式法求有限集合的子集个数(1)含n个元素的集合有2n个子集．(2)含n个元素的集合有(2n－1)个真子集．(3)含n个元素的集合有(2n－1)个非空子集．(4)含有n个元素的集合有(2n－2)个非空真子集．(5)若集合A有n(n≥1)个元素，集合C有m(m≥1)个元素，且A⊆B⊆C，则符合条件的集合B有2m－n个．[活学活用]非空集合S⊆{1,2,3,4,5}且满足“若a∈S，则6－a∈S”，则这样的集合S共有________个．解析：由“若a∈S，则6－a∈S”知和为6的两个数都是集合S中的元素，则()集合S中含有1个元素：{3}；集合S中含有2个元素：{2,4}，{1,5}；集合S中含有3个元素：{2,3,4}，{1,3,5}；集合S中含有4个元素：{1,2,4,5}；集合S中含有5个元素：{1,2,3,4,5}．故满足题意的集合S共有7个．题型三、集合间关系的应用例3、已知集合A＝{x|x<－1或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，求实数a的取值范围．[解]当B＝∅时，只需2a>a＋3，即a>3；当B ≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋3≥2a ，a ＋3<－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3≥2a ，2a >4，解得a <－4或2<a ≤3.综上可得，实数a 的取值范围为a <－4或a >2.[活学活用]1、已知集合A ＝{x |1<ax <2}，B ＝{x |－1<x <1}，求满足A ⊆B 的实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝0时，A ＝∅，满足A ⊆B .(2)当a >0时，A ＝{x |1a <x <2a}．又∵B ＝{x |－1<x <1}且A ⊆B ， 如图作出满足题意的数轴：∴⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，1a≥－1，2a ≤1，∴a ≥2. (3)当a <0时，A ＝{x |2a <x <1a } ∵A ⊆B ，如图所示， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，2a≥－1，1a ≤1，∴a ≤－2.综上所述，a 的取值范围是{a |a ＝0或a ≥2或a ≤－2}．2、已知集合A ＝{x |x 2＋4x ＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，a ∈R}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解：A ＝{x |x 2＋4x ＝0}＝{0，－4}，∵B ⊆A ，∴B ＝∅或B ＝{0}或B ＝{－4}或B ＝{0，－4}．(1)当B ＝∅时，方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0无实根，则Δ<0，即4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0.∴a <－1.(2)当B ＝{0}时，有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝0，a 2－1＝0，∴a ＝－1.(3)当B ＝{－4}时，有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝0，a 2－8a ＋7＝0，无解． (4)当B ＝{0，－4}时，由韦达定理得a ＝1.综上所述，a ＝1或a ≤－1.课堂练习1．给出下列四个判断：①∅＝{0}；②空集没有子集；③任何一个集合必有两个或两个以上的子集；④空集是任何一个集合的子集．其中，正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：由空集的性质可知，只有④正确，①②③均不正确．答案：B2．已知A ＝{x |x 是菱形}，B ＝{x |x 是正方形}，C ＝{x |x 是平行四边形}，那么A ，B ，C 之间的关系是 ( B )A ．A ⊆B ⊆C B ．B ⊆A ⊆C C ．A B ⊆CD ．A ＝B ⊆C3．已知集合A ＝{－1,3，m}，B ＝{3,4}，若B ⊆A ，则实数m ＝________.解析 ：∵B ⊆A ，B ＝{3,4}，A ＝{－1,3，m}∴m ∈A ，∴m ＝4.答案：44．集合A ＝{x|0≤x<3且x ∈N}的真子集的个数为________．解析：由题意得A ＝{0,1,2}，故集合A 有7个真子集．答案：75．已知集合A ＝{x|1≤x ≤2}，B ＝{x|1≤x ≤a}．(1)若A 是B 的真子集，求a 的取值范围；(2)若B 是A 的子集，求a 的取值范围；(3)若A ＝B ，求a 的取值范围．解：(1)若A 是B 的真子集，即A B ，故a>2.(2)若B 是A 的子集，即B ⊆A ，则a ≤2.(3)若A ＝B ，则必有a ＝2.课时跟踪检测(三) 集合间的基本关系一、选择题1．已知集合A ＝{x |x ＝3k ，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝6k ，k ∈Z }，则A 与B 之间最适合的关系是( )A ．A ⊆BB ．A ⊇BC ．A BD ．A B2．已知集合M ＝{x |－5<x <3，x ∈Z }，则下列集合是集合M 的子集的为( )A．P＝{－3,0,1}B．Q＝{－1,0,1,2}C．R＝{y|－π<y<－1，y∈Z}D．S＝{x||x|≤3，x∈N}3．已知集合P＝{x|x2＝1}，Q＝{x|ax＝1}，若Q⊆P，则a的值是( ) A．1 B．－1C．1或－1 D．0,1或－14．已知集合A⊆{0,1,2}，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为( ) A．6 B．5C．4 D．35．已知集合M＝{(x，y)|x＋y<0，xy>0}和P＝{(x，y)|x<0，y<0}，那么( ) A．P M B．M PC．M＝P D．M P二、填空题6．已知M＝{y|y＝x2－2x－1，x∈R}，N＝{x|－2≤x≤4}，则集合M与N之间的关系是________．7．图中反映的是“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”这四个文学概念之间的关系，请作适当的选择填入下面的空格：A为________；B为________；C为________；D为________．8．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值构成的集合为________．三、解答题9．已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且B⊆A，求实数a组成的集合C.10．设集合A＝{x|－1≤x＋1≤6}，B＝{x|m－1<x<2m＋1}．(1)当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；(2)若A⊇B，求m的取值范围．答 案课时跟踪检测(三)1．选D 显然B 是A 的真子集，因为A 中元素是3的整数倍，而B 的元素是3的偶数倍．2．选D 先用列举法表示集合，再观察元素与集合的关系．集合M ＝{－2，－1,0,1}，集合R ＝{－3，－2}，集合S ＝{0,1}，不难发现集合P 中的元素－3∉M ，集合Q 中的元素2∉M ，集合R 中的元素－3∉M ，而集合S ＝{0,1}中的任意一个元素都在集合M 中，所以S ⊆M ，且S M .故选D.3．选D 由题意，当Q 为空集时，a ＝0；当Q 不是空集时，由Q ⊆P ，a ＝1或a ＝－1.4．选A 集合{0,1,2}的子集为：∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，其中含有偶数的集合有6个．故选A.5．选C ∵⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y <0，xy >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x <0，y <0. ∴M ＝P .6．解析：∵y ＝(x －1)2－2≥－2，∴M ＝{y |y ≥－2}．∴N M .答案：N M7．解析：由Venn 图可得AB ，CD B ，A 与D 之间无包含关系，A 与C 之间无包含关系．由“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”四个文学概念之间的关系，可得A 为小说，B 为文学作品，C 为叙事散文，D 为散文．答案：小说 文学作品 叙事散文 散文8．解析：因为集合A 有且仅有2个子集，所以A 仅有一个元素，即方程ax 2＋2x ＋a ＝0(a ∈R )仅有一个根．当a ＝0时，方程化为2x ＝0，∴x ＝0，此时A ＝{0}，符合题意．当a ≠0时，Δ＝22－4·a ·a ＝0，即a 2＝1，∴a ＝±1.此时A ＝{－1}，或A ＝{1}，符合题意．∴a ＝0或a ＝±1.答案：{0,1，－1}9．解：由x 2－3x ＋2＝0，得x ＝1，或x ＝2.∴A ＝{1,2}．∵B ⊆A ，∴对B 分类讨论如下：(1)若B ＝∅，即方程ax －2＝0无解，此时a ＝0.(2)若B ≠∅，则B ＝{1}或B ＝{2}．当B ＝{1}时，有a －2＝0，即a ＝2；当B ＝{2}时，有2a －2＝0，即a ＝1.综上可知，符合题意的实数a 所组成的集合C ＝{0,1,2}．10．解：化简集合A 得A ＝{x |－2≤x ≤5}．(1)∵x ∈Z ，∴A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，即A 中含有8个元素，∴A 的非空真子集数为28－2＝254(个)．(2)①当m ≤－2时，B ＝∅⊆A ；②当m >－2时，B ＝{x |m －1<x <2m ＋1}，因此，要B ⊆A ，则只要⎩⎪⎨⎪⎧ m －1≥－22m ＋1≤5⇒－1≤m ≤2.综上所述，知m 的取值范围是：{m |－1≤m ≤2或m ≤－2}．。
集合的概念与相互关系
分配律
定义
分配律是指集合运算中，一个集合与括号内另一个集合的运算结果与该集合分别 与括号内每个集合的运算结果相同。
例子
设A、B和C是三个集合，A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)和A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)都 是分配律的例子。
04
集合的基数
定义与性质
集合的基数
确定性
集合中元素的个数称为该集合的基数。
性质
空集是任何集合的子集，任何集合都 包含空集作为其子集。
02
集合之间的关系
子集
子集是指一个集合中的所有元素都属 于另一个集合，但不要求所有元素都 相同。
子集关系不具有对称性，即如果集合 A是集合B的子集，则集合B不一定是 集合A的子集。
子集关系具有传递性，即如果集合A 是集合B的子集，且集合B是集合C的 子集，则集合A也是集合C的子集。
集合的元素
确定性
集合中的元素是确定的，没有模 糊性。例如，“大于3的实数”是
一个模糊的描述，而“{4,5,6}” 是一个确定的集合。
无序性
集合中的元素没有顺序，即集合 {1,2,3}与集合{3,2,1}是同一个集合。
互异性
集合中的元素互不相同，即集合中 不会有重复的元素。
空集
定义
不含任何元素的集合称为空集，记作∅。
子集关系不具有排他性，即一个集合 可以同时是多个不同集合的子集。
超集
超集是指一个集合的所有元素 都属于另一个集合，包括相同
的元素。
超集关系具有传递性，即如果 集合A是集合B的超集，且集合 B是集合C的超集，则集合A也
是集合C的超集。
超集关系不具有对称性，即如 果集合A是集合B的超集，则集 合B不一定是集合A的超集。
集合概念、表示方法、分类以及集合之间的关系
集合概念、表示方法、分类以及集合之间的关系一般地，我们把研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，也简称集。
通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示，而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。
元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于∉两种)⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A；⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a∉A。
非负整数集（或自然数集），记作N；；N内排除0的集.正整数集，记作N*或N+整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R；⑴确定性：⑵互异性：⑶无序性：1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：⑴某班个子较高的同学⑵长寿的人⑷倒数等于它本身的数⑸某校2011级新生；⑹血压很高的人；⑺著名的数学家；⑻平面直角坐标系内所有第三象限的点7.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于∉”)⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A；⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a∉A。
例如，我们A 表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A ，4∉A ，等等。
练：A={2，4，8，16}，则4A ，8 A ，32 A.巩固练习分析：练1．已知集合P 的元素为21,,3m m m --, 若2∈P 且-1∉P ，求实数m 的值。
练2下面有四个命题:①若-a ∉Ν,则a ∈Ν ②若a ∈Ν,b ∈Ν,则a +b 的最小值是2③集合N 中最小元素是1 ④ x 2+4=4x 的解集可表示为{2,2}其中正确命题的个数是( )3求集合{2a ,a 2+a }中元素应满足的条件?4若t 1t 1+-∈{t},求t 的值.⒈列举法：把集合中的元素一一列举出来, 并用花括号“{}”括起来表示2．用列举法表示下列集合：(1) 小于5的正奇数组成的集合；(2) 能被3整除而且大于4小于15的自然数组成的集合；⒉描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法。
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二、填空题
5．用“∈”或“∉”填空.
(1)－3 ______N ； (2)3.14 ______Q ； (3)13 ______Z ； (4)－1
2 ______R ； (5)1 ______N *； (6)0 _______N .
6．定义集合运算A *B ＝{M |M ＝xy ，x ∈A ，y ∈B }．设A ＝{1,2}，B ＝{0,2}，则集合A *B 的所有元素之和为________． 三、解答题
7．已知集合M ＝{－2,3x 2＋3x －4，x 2＋x －4}，若2∈M ，求x
8．下面三个集合：A ＝{x |y ＝x 2＋1}； B ＝{y |y ＝x 2＋1}； C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}．
问：(1)它们是不是相同的集合？ (2)它们各自的含义是什么？
9．设A 为实数集，且满足条件：若a ∈A ，则
a
-11
∈A (a ≠1)． 求证：(1)若2∈A ，则A 中必还有另外两个元素； (2)集合A 不可能是单元素集
二、 集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
一般地，对于两个集合A 和B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作B A ⊆或
，读作“A 含于B ”，或者“B 包含A ”。
注意：B A ⊆有两种可能（1）A 是B 的一部分，（2）A 与B 是同一集合。
反之: 集合A 不包含于集合B,或集合B 不包含集合A,记作A ⊆
/B 或B ⊇/A
2 “相等”关系：A=B
A⊆），且集合B是集合A的子集（B A),此时，集合A和集合B的如果集合A是集合B的子集（B
元素是相相同的，因此，集合A与集合B相等，记作:A=B。
实例：设A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”
即：①任何一个集合是它本身的子集。
A⊆A
②真子集:如果A⊆B,且A≠ B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)
③如果A⊆B, B⊆C ,那么A⊆C
④如果A⊆B 同时B⊆A 那么A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集
4、课堂实例
例1：写出集合{-1,1}的所有子集，并指出哪些是它的真子集。
解：集合{-1,1}的所有子集：Φ、{-1}、{1}、{-1,1}，真子集Φ、{-1}、{1}
练习一：集合{x|x2-1=0}的所有子集有，它的真子集是。
例2：集合{2,6,7}的所有子集有，它的真子集是。
集合{1,0}的所有子集有，它的真子集是。
集合{0}的所有子集有，它的真子集是。
φ的所有子集有，它的真子集是。
一、选择题
1．下列说法：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若∅⊂≠A，则A≠∅，其中正确的个数是()
A．0B．1C．2D．3
2．已知集合A＝{x|a x2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值是()
A．1 B．－1 C．0,1 D．－1,0,1
3．设B＝{1,2}，A＝{x|x⊆B}，则A与B的关系是()
A．A⊆B B．B⊆A C．A∈B D．B∈A
4．下列五个写法：①{0}∈{0,1}；②∅⊂≠{0}；③{0，－1,1}={－1,0,1}；④0∈∅；⑤ {(0,0)}＝{0}，其中写法错误的个数是（）
A．2 B．3 C．4 D．5。