2017届高三数学一轮复习第十三篇坐标系与参数方程第2节参数方程课时训练理

第2节参数方程

知识点、方法题号

参数方程与普通方程互化1

参数方程及其应用2,3

极坐标方程与参数方程的综合4

1.(2016张掖模拟)在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知P点的极坐标为(4,),曲线C的极坐标方程为ρ2+4ρsin θ=4.

(1)写出点P的直角坐标及曲线C的直角坐标方程;

(2)若Q为C上的动点,求PQ中点M到直线l:(t为参数)距离的最大值.

解:(1)已知P点的极坐标为(4,),

所以x=ρcos θ=6,y=ρsin θ=2,

所以点P的直角坐标为(6,2).

由ρ2+4ρsin θ=4,

得x2+y2+4y=4,

即x2+(y+2)2=16,

所以曲线C的直角坐标方程为x2+(y+2)2=16.

(2)由l:(t为参数)

可得直线l的普通方程为x-y-5=0,

由曲线C的直角坐标方程x2+(y+2)2=16,

可设点Q(4cos θ,4sin θ-2),

所以点M坐标为(2cos θ+3,2sin θ),

所以点M到直线l的距离

d==.

当cos (θ+)=-1时,

d取得最大值2+,

所以点M到直线l距离的最大值为2+.

2.(2016贵阳一测)在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,以x轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,已知直线l的参数方程为(t为参数),圆C的极坐标方程是ρ=1.

(1)求直线l与圆C的公共点个数;

(2)在平面直角坐标系中,圆C经过伸缩变换得到曲线C′,设M(x,y)为曲线

C′上一点,求4x2+xy+y2的最大值,并求相应点M的坐标.

解:(1)直线l的参数方程(t为参数)化为普通方程是x-y-=0,圆C的极坐标方程ρ=1化为直角坐标方程是x2+y2=1.

因为圆心(0,0)到直线l的距离为d==1,等于圆的半径r,

所以直线l与圆C的公共点的个数是1.

(2)圆C的参数方程是(0≤θ<2π),

所以曲线C′的参数方程是(0≤θ<2π),

所以4x2+xy+y2=4cos2θ+cos θ·2sin θ+4sin2θ=4+sin 2θ.

当θ=或θ=时,4x2+xy+y2取得最大值5,

此时M的坐标为(,)或(-,-).

3.(2016保定一模)已知直线l在直角坐标系xOy中的参数方程为(t为参数,

α为倾斜角),曲线C的极坐标方程为ρ=4cos θ(其中坐标原点O为极点,x轴非负半轴为极轴,取相同单位长度).

(1)写出曲线C的直角坐标方程;

(2)若曲线C与直线l相交于不同的两点M,N,设P(4,2),求|PM|+|PN|的取值范围.

解:(1)由曲线C的极坐标方程ρ=4cos θ化为ρ2=4ρcos θ,

所以x2+y2=4x即为所求直角坐标方程.

(2)把直线l的参数方程代入x2+y2=4x,可得t2+4(sin α+cos α)t+4=0,

由Δ=16(sin α+cos α)2-16>0,sin αcos α>0.

又α∈[0,π),

所以α∈(0, ),

所以t1+t2=-4(sin α+cos α),t1t2=4.

所以t1<0,t2<0.

所以|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=4(sin α+cos α)=4sin (α+),

由α∈(0, )可得(α+)∈(,),

所以

所以|PM|+|PN|的取值范围是(4,4].

4.(2016银川模拟)已知曲线C1的参数方程为(t为参数),当t=1时,曲线C1上的点为A,当t=-1时,曲线C1上的点为B.以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=.

(1)求A,B的极坐标;

(2)设M是曲线C2上的动点,求|MA|2+|MB|2的最大值.

解:(1)当t=1时,代入参数方程可得

即A(-1,),

所以ρ==2,tan θ==-,

所以θ=,

所以点A的极坐标为(2, ).

当t=-1时,同理可得B(1,-),

点B的极坐标为(2, ).

(2)由ρ=,化为ρ2(4+5sin2θ)=36,

所以4ρ2+5(ρsin θ)2=36,化为4(x2+y2)+5y2=36,化为+=1,设曲线C2上的动点M(3cos α,2sin α),

则|MA|2+|MB|2=(3cos α+1)2+(2sin α-)2+(3cos α-1)2+(2sin α+)2=18cos2α+8sin2

α+8=10cos2α+16≤26,

当cos α=±1 时,取得最大值26.

所以|MA|2+|MB|2的最大值是26.

欢迎您的下载，资料仅供参考！