平面力偶系
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⑷.力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡。 12
§3-4 平面力偶系的合成与平衡
平面力偶系:作用在物体同一平面的许多力偶叫平面力偶系 设有两个力偶
d
d
m1 F1d1;
m2 F2d2
又m1 P1d
m2 P2d
RA P1 P2' RB P1' P2
合力矩 M RAd (P1 P2' )d P1d P2'd m1 m2
定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩，等于所
有各分力对同一点的矩的代数和
即：
n
mO (R )mO (Fi )
i1
[证] 由合力投影定理有： od=ob+oc
又∵ M o (F1)2oABoAob M o (F2 )2oAC oAoc M o (R )2oADoAod
现mo (R ) mo (F1)mo (F2 )证毕
作用于物体上的力Ｆ绕ｏ点转动的效应，不
仅与力Ｆ的大小有关，而且与ｏ点到力Ｆ作用线
的垂直距离ｄ有关。因此，在力学上以乘积Ｆ·ｄ
作为量度力Ｆ使物体绕ｏ点转动效应的物理量，
这个量称为力Ｆ对ｏ点之距，简称力矩。
记：Mo（F）wenku.baidu.com
o 点称为力矩中心（简称矩心）
d 称为力臂
符号规定：力使物体绕矩心作逆时针方向转动时
13
结论:
n
M m1 m2 mn mi
i1
平面力偶系合成结果还是一个力偶,其力偶矩为各力偶矩
的代数和。
平面力偶系平衡的充要条件是:所有各力偶矩的代数和
等于零。
即
n
mi 0
i1
14
[例] 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径 的孔,每个钻头的力偶矩为 m1 m2 m3 m4 15Nm 求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力?
，力矩取正号；做顺时针方向转动时，力矩取负
号。
2
说明：
① M O (F ) 是代数量。（因为平面内力对
点之距，只取决于力矩的大小及旋转方向）
② F↑,d↑转动效应明显。 ③ M O (F )是影响转动的独立因素。
当F=0或d=0时，M O (F ) =0。 ④ 力矩的单位:N•m或kN•m，工程单位kgf•m。 ⑤ M O (F ) =2⊿AOB=F•d ,2倍⊿形面积。
9
M Fd
M F , F M F M F
O1
O1
O1
F d x1 F x1 Fd
M F , F Fd x F x
O2
2
2
F 'd Fd
力矩的符号
MOF
力偶矩的符号 10
M
⑶.只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任
意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力 臂的长短，对刚体的作用效果不变。
mo (R1)mo (R2 ) mo (F1)mo (F5 )mo (F2 )mo (F3)mo (F4 ) mo (Fi )
17
⑴. 当 R1 R2 时，原力系的合成结果是一个合力
R R1 R2 F i
当力系平行于y轴时： R Fi Y i
合力作用线的位置：由 mo (R )mo (R1)mo (R2 )mo (Fi )
5
[例] 已知：如图 F、Q、l, 求：mO (F ) 和 mo (Q )
解：①用力对点的矩法
mO
(F
)
F
d
F
l sin
mo (Q ) Ql ②应用合力矩定理
mO(F )Fx lFy lctg
mo (Q ) Ql
6
§3–2 力偶与力偶矩
1.何谓力偶?
由两个等值、反向、不共线的（平行）力组成的
力系称为力偶，记作 F , F
解: 各力偶的合力偶距为
M m1 m2 m3 m4 4(15) 60 Nm
由力偶只能与力偶平衡的性质， 力NA与力NB组成一力偶。
根据平面力偶系平衡方程有: NB 0.2 m1 m2 m3 m4 0
N
B
60 0.2
300N
N A NB 300 N
15
§4-5 平面平行力系的合成和平衡
平面平行力系:各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系叫∼ 一、平面平行力系的合成
设在刚体上作用一平面平行力系 F1 、F2 、F3 ，现求其
合成结果。
16
根据两个平行力合成理论可知，力F1 与 F5 合成一个合力 R1 R1 F1 F5, mo (R1) mo (F1)mo (F5 )
同理 R2 F2 F3 F4, mo (R2 ) mo (F2 )mo (F3)mo (F4 ) 所以 R1 R2 (F1 F5 ) (F2 F3 F4 ) F i
第三章 力矩 平面力偶系
§3–1 力对点之矩 §3–2 力偶与力偶矩 §3–3 力偶的等效 §3–4 平面力偶系的合成与平衡
1
第三章 力矩 平面力偶系
力对物体可以产生 移动效应--取决于力的大小、方向 转动效应--取决于力矩的大小、方向
§3-1、力对点的矩 M O (F )F d
+-
一、力对点的矩
mo (Fi ) 0 mo (R1)mo (R2 ) 同时满足。因此， 平面平行力系平衡的充要条件为：
力系中各力的代数和等于零，同时，各力对平面内任一点 的矩的代数和也等于零。即：
7
2.力偶矩 力偶中两力所在平面称为力偶作用面。 力偶两力之间的垂直距离称为力偶臂。
两个要素
a.大小：力与力偶臂乘积 b.方向：转动方向 c. 力偶的作用面 力偶矩 M F d 2 1 F d 2ABC
2
8
§3–3. 力偶与力偶矩的性质 ⑴.力偶在任意坐标轴上的投影等于零。
⑵.力偶对任意点取矩都等于力偶矩， 不因矩心的改变而改变。
即: RxR F1x1 F2 x2 F5x5 Fi xi
xR
Fi
R
xi
Fi Fi
xi
⑵ 当R1 R2 时(即 Fi 0 时)，原力系合成结果是一
合力偶
mmo (Fi )Fi xi 18
二、平面平行力系的平衡条件 由平面平行力系合成分析过程可知，平面平行力系总可以
与两个平行力R1 和R2 等效，由公理1，二力R1 和R2 平衡的充要 条件是：等值、反向、共线，即 R1 R2 ( Fi 0 ) 和
3
综上所述可知：
• 力F对o点之距不仅取决于力F的大小，同时还 与矩心的位置有关
• 力F对任一点之矩，不会因该力沿其作用线移 动而改变，因为此时力和力臂的大小均未改变
• 力的作用线通过矩心时，力矩等于零 • 互成平衡的二力对同一点之矩地代数和等于零 • 作用于物体上的力可以对任意点取矩。
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二、合力矩定理
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⑷.力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡。 12
§3-4 平面力偶系的合成与平衡
平面力偶系:作用在物体同一平面的许多力偶叫平面力偶系 设有两个力偶
d
d
m1 F1d1;
m2 F2d2
又m1 P1d
m2 P2d
RA P1 P2' RB P1' P2
合力矩 M RAd (P1 P2' )d P1d P2'd m1 m2
定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩，等于所
有各分力对同一点的矩的代数和
即：
n
mO (R )mO (Fi )
i1
[证] 由合力投影定理有： od=ob+oc
又∵ M o (F1)2oABoAob M o (F2 )2oAC oAoc M o (R )2oADoAod
现mo (R ) mo (F1)mo (F2 )证毕
作用于物体上的力Ｆ绕ｏ点转动的效应，不
仅与力Ｆ的大小有关，而且与ｏ点到力Ｆ作用线
的垂直距离ｄ有关。因此，在力学上以乘积Ｆ·ｄ
作为量度力Ｆ使物体绕ｏ点转动效应的物理量，
这个量称为力Ｆ对ｏ点之距，简称力矩。
记：Mo（F）wenku.baidu.com
o 点称为力矩中心（简称矩心）
d 称为力臂
符号规定：力使物体绕矩心作逆时针方向转动时
13
结论:
n
M m1 m2 mn mi
i1
平面力偶系合成结果还是一个力偶,其力偶矩为各力偶矩
的代数和。
平面力偶系平衡的充要条件是:所有各力偶矩的代数和
等于零。
即
n
mi 0
i1
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[例] 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径 的孔,每个钻头的力偶矩为 m1 m2 m3 m4 15Nm 求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力?
，力矩取正号；做顺时针方向转动时，力矩取负
号。
2
说明：
① M O (F ) 是代数量。（因为平面内力对
点之距，只取决于力矩的大小及旋转方向）
② F↑,d↑转动效应明显。 ③ M O (F )是影响转动的独立因素。
当F=0或d=0时，M O (F ) =0。 ④ 力矩的单位:N•m或kN•m，工程单位kgf•m。 ⑤ M O (F ) =2⊿AOB=F•d ,2倍⊿形面积。
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M Fd
M F , F M F M F
O1
O1
O1
F d x1 F x1 Fd
M F , F Fd x F x
O2
2
2
F 'd Fd
力矩的符号
MOF
力偶矩的符号 10
M
⑶.只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任
意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力 臂的长短，对刚体的作用效果不变。
mo (R1)mo (R2 ) mo (F1)mo (F5 )mo (F2 )mo (F3)mo (F4 ) mo (Fi )
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⑴. 当 R1 R2 时，原力系的合成结果是一个合力
R R1 R2 F i
当力系平行于y轴时： R Fi Y i
合力作用线的位置：由 mo (R )mo (R1)mo (R2 )mo (Fi )
5
[例] 已知：如图 F、Q、l, 求：mO (F ) 和 mo (Q )
解：①用力对点的矩法
mO
(F
)
F
d
F
l sin
mo (Q ) Ql ②应用合力矩定理
mO(F )Fx lFy lctg
mo (Q ) Ql
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§3–2 力偶与力偶矩
1.何谓力偶?
由两个等值、反向、不共线的（平行）力组成的
力系称为力偶，记作 F , F
解: 各力偶的合力偶距为
M m1 m2 m3 m4 4(15) 60 Nm
由力偶只能与力偶平衡的性质， 力NA与力NB组成一力偶。
根据平面力偶系平衡方程有: NB 0.2 m1 m2 m3 m4 0
N
B
60 0.2
300N
N A NB 300 N
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§4-5 平面平行力系的合成和平衡
平面平行力系:各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系叫∼ 一、平面平行力系的合成
设在刚体上作用一平面平行力系 F1 、F2 、F3 ，现求其
合成结果。
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根据两个平行力合成理论可知，力F1 与 F5 合成一个合力 R1 R1 F1 F5, mo (R1) mo (F1)mo (F5 )
同理 R2 F2 F3 F4, mo (R2 ) mo (F2 )mo (F3)mo (F4 ) 所以 R1 R2 (F1 F5 ) (F2 F3 F4 ) F i
第三章 力矩 平面力偶系
§3–1 力对点之矩 §3–2 力偶与力偶矩 §3–3 力偶的等效 §3–4 平面力偶系的合成与平衡
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第三章 力矩 平面力偶系
力对物体可以产生 移动效应--取决于力的大小、方向 转动效应--取决于力矩的大小、方向
§3-1、力对点的矩 M O (F )F d
+-
一、力对点的矩
mo (Fi ) 0 mo (R1)mo (R2 ) 同时满足。因此， 平面平行力系平衡的充要条件为：
力系中各力的代数和等于零，同时，各力对平面内任一点 的矩的代数和也等于零。即：
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2.力偶矩 力偶中两力所在平面称为力偶作用面。 力偶两力之间的垂直距离称为力偶臂。
两个要素
a.大小：力与力偶臂乘积 b.方向：转动方向 c. 力偶的作用面 力偶矩 M F d 2 1 F d 2ABC
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§3–3. 力偶与力偶矩的性质 ⑴.力偶在任意坐标轴上的投影等于零。
⑵.力偶对任意点取矩都等于力偶矩， 不因矩心的改变而改变。
即: RxR F1x1 F2 x2 F5x5 Fi xi
xR
Fi
R
xi
Fi Fi
xi
⑵ 当R1 R2 时(即 Fi 0 时)，原力系合成结果是一
合力偶
mmo (Fi )Fi xi 18
二、平面平行力系的平衡条件 由平面平行力系合成分析过程可知，平面平行力系总可以
与两个平行力R1 和R2 等效，由公理1，二力R1 和R2 平衡的充要 条件是：等值、反向、共线，即 R1 R2 ( Fi 0 ) 和
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综上所述可知：
• 力F对o点之距不仅取决于力F的大小，同时还 与矩心的位置有关
• 力F对任一点之矩，不会因该力沿其作用线移 动而改变，因为此时力和力臂的大小均未改变
• 力的作用线通过矩心时，力矩等于零 • 互成平衡的二力对同一点之矩地代数和等于零 • 作用于物体上的力可以对任意点取矩。
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二、合力矩定理