勾股定理的应用(1)
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备课组：九年级数学备课组 议课组：三 主备人：周敬环 议课时间：2014.08.01 授课时间：2014.08.09
1.了解尺规作图和勾股定理画出数 轴上的无理数点，进一步体会数 轴上的点与实数一一对应的理论。 2.会运用勾股定理解决较综合的实 际问题。
结合图形思考如何运用勾股定理；在数轴上 找出表示无理数的点。 1.图1中的x等于多少? 图2中的x、y、z等于多少? 2.沿着图2继续画直角三角形,还能得到那些 1 无理数?
0.5尺
C
D
2尺 B
2 2 2 AC BC AB 由勾股定理得,
x
即:x2 + 22 = (x+0.5)2 解得x＝3.75.
A
答：湖水深3.75尺.
源自文库 2.最短路程问题
如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽高分别为 20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点， A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁 沿着台阶面爬到B点最短路程是多少？
港口向东南方向，另一艘轮船在同时同地以12海里 /时的速度向西南方向航行，它们离开港口一个半小 时后相距多远？ 解:AO=12×1.5=18,
北 BO=16×1.5=24 在Rt△ABO中, 东 ∠AOB=90°,
o
西
AB2=AC2+BC2=900,
AB=30.
A
南
B
答:一个半小时后相距30海里.
6.（折叠问题）如图，小颍同学折叠一个直角 三角形的纸片，使A与B重合，折痕为DE，若 已知AC=10cm，BC=6cm,你能求出CE的长吗？
2x
1 图1
1
1
42
z
3
y x2 1 图2 1
5
2
z
3 y
2 x
6
1 1
图2
3.在数轴上表示
13,
13，
的点怎样画出?
数轴上的点有的表示有理数，有的表示 无理数，你能在数轴上画出表示 13 的 点吗？ L 解： B
2
A
0
1
2
C 3 4
13
4. 勾股定理在古诗中的应用
引
葭
赴 岸
今有池方一丈，葭生其中央， 出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐。 问水深、葭长各几何？ 有一个正方形的池塘，池塘的边长为一 丈(一丈=10尺) ，有一棵芦苇生长在池塘 的正中央，并且芦苇高出水面部分有一 尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸 沿，问水深和芦苇的高度各多少？
A 1.如图，正方形
网格中，每个小 正方形的边长为 1，则网格上的 △ABC三边的 大小关系？
C
B
AB>AC>BC
2.如图，小方格都是边长为1 的正方形，求四边形ＡＢＣ D的面积．
S四边形ABCD =S
ABC
S
ACD
1 1 25 2 5 3 5 2 2 2
还有那些做法呢
• • • • 平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲； 出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边； 渔人观看忙向前，花离原位二尺远； 能算诸君请解题，湖水如何知深浅？
长在湖里的红莲，露出湖面的长度是半尺， 它被风吹向一边，红莲顶上的花离原水面的 距离为2尺，问湖水有多深？
解：由题意得BC＝2尺,CD=0.5尺. 设AC＝x尺,则AB＝（x+0.5）尺. 在RtΔ ABC中,∠ACB=90°,
C
B D
C
A
A
变式3：
如果圆柱换成如图的棱长为10cm的正方体盒 子，蚂蚁沿着表面由A至B需要爬行的最短路 程又是多少呢？
B
B
10
C
A
A
10
10
C
讨论、更正、点拨（4分钟）
1.勾股定理在古诗中的应用 要点: 1.读懂诗文含义 2.构造勾股模型 2.勾股定理在最短距离问题中的应用 要点: 1.能画常见形体的展开图:长方体 , 正方体,圆柱体 2.找到最短路线,构造直角三角形
解：设CE ，由题意得
x 2 62 (10 x )2
B
D
x 2 36 100 20 x x 2
20 x 100 36
解得x 3.2
答：CE的长为3.2.
10-x 6
A
10-x
x
E
10
C
7.（选做题）如图，一条河同一侧的两村庄A、 B，其中A、B到河岸最短距离分别为AC=1km， BD=2km，CD=4cm，现欲在河岸上建一个水泵 站向A、B两村送水，当建在河岸上何处时，使到 A、B两村铺设水管总长度最短，并求出最短距离。 B A 2 5 1 P D C 1 A′ 4 4 1 E
解：由题意得BC＝5尺,CD=1尺. 设AC＝x尺,则AB＝（x+1）尺.
10尺 D 5尺
在RtΔ ABC中,∠ACB=90°,
1尺
B
由勾股定理得, AC BC AB
2 2
2
C
即
x 2 52 (x 1)2
解得x＝12, x+1＝13.
答：水深12尺,芦苇长13尺.
A
1.风 动 红 莲
3.蚂蚁从A点经B到C点的要爬了多少厘米？
A
5
4 G 3
B
12
E
5
13
C
（小方格的边长为1厘米）
4.如图所示，校园内有两棵树相距12米，一棵树高 13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端 飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 13 米.
A
13米
C
B
8米
12米
5.（航行问题）一艘轮船以16海里/时的速度离开
A
20
2 3
Ａ
２０
Ｃ 3 ２ 3
B
2 3
（3+2）×3=15 AB2=202+152=625，AB=25
2 Ｂ
变式1：
一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到CD的 中点O，试求出爬行的最短路程。（精确到0.1）
B
3m
C
B
C
O
A D
A
o
D
变式2：
有一木质圆柱形笔筒的高为h，底面半径为r，现要围 绕笔筒的表面由A至C，（A,C在圆柱的同一轴截面上）镶 入一条银色金属线作为装饰，这条金属线的最短长度是多 少？
1.了解尺规作图和勾股定理画出数 轴上的无理数点，进一步体会数 轴上的点与实数一一对应的理论。 2.会运用勾股定理解决较综合的实 际问题。
结合图形思考如何运用勾股定理；在数轴上 找出表示无理数的点。 1.图1中的x等于多少? 图2中的x、y、z等于多少? 2.沿着图2继续画直角三角形,还能得到那些 1 无理数?
0.5尺
C
D
2尺 B
2 2 2 AC BC AB 由勾股定理得,
x
即:x2 + 22 = (x+0.5)2 解得x＝3.75.
A
答：湖水深3.75尺.
源自文库 2.最短路程问题
如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽高分别为 20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点， A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁 沿着台阶面爬到B点最短路程是多少？
港口向东南方向，另一艘轮船在同时同地以12海里 /时的速度向西南方向航行，它们离开港口一个半小 时后相距多远？ 解:AO=12×1.5=18,
北 BO=16×1.5=24 在Rt△ABO中, 东 ∠AOB=90°,
o
西
AB2=AC2+BC2=900,
AB=30.
A
南
B
答:一个半小时后相距30海里.
6.（折叠问题）如图，小颍同学折叠一个直角 三角形的纸片，使A与B重合，折痕为DE，若 已知AC=10cm，BC=6cm,你能求出CE的长吗？
2x
1 图1
1
1
42
z
3
y x2 1 图2 1
5
2
z
3 y
2 x
6
1 1
图2
3.在数轴上表示
13,
13，
的点怎样画出?
数轴上的点有的表示有理数，有的表示 无理数，你能在数轴上画出表示 13 的 点吗？ L 解： B
2
A
0
1
2
C 3 4
13
4. 勾股定理在古诗中的应用
引
葭
赴 岸
今有池方一丈，葭生其中央， 出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐。 问水深、葭长各几何？ 有一个正方形的池塘，池塘的边长为一 丈(一丈=10尺) ，有一棵芦苇生长在池塘 的正中央，并且芦苇高出水面部分有一 尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸 沿，问水深和芦苇的高度各多少？
A 1.如图，正方形
网格中，每个小 正方形的边长为 1，则网格上的 △ABC三边的 大小关系？
C
B
AB>AC>BC
2.如图，小方格都是边长为1 的正方形，求四边形ＡＢＣ D的面积．
S四边形ABCD =S
ABC
S
ACD
1 1 25 2 5 3 5 2 2 2
还有那些做法呢
• • • • 平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲； 出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边； 渔人观看忙向前，花离原位二尺远； 能算诸君请解题，湖水如何知深浅？
长在湖里的红莲，露出湖面的长度是半尺， 它被风吹向一边，红莲顶上的花离原水面的 距离为2尺，问湖水有多深？
解：由题意得BC＝2尺,CD=0.5尺. 设AC＝x尺,则AB＝（x+0.5）尺. 在RtΔ ABC中,∠ACB=90°,
C
B D
C
A
A
变式3：
如果圆柱换成如图的棱长为10cm的正方体盒 子，蚂蚁沿着表面由A至B需要爬行的最短路 程又是多少呢？
B
B
10
C
A
A
10
10
C
讨论、更正、点拨（4分钟）
1.勾股定理在古诗中的应用 要点: 1.读懂诗文含义 2.构造勾股模型 2.勾股定理在最短距离问题中的应用 要点: 1.能画常见形体的展开图:长方体 , 正方体,圆柱体 2.找到最短路线,构造直角三角形
解：设CE ，由题意得
x 2 62 (10 x )2
B
D
x 2 36 100 20 x x 2
20 x 100 36
解得x 3.2
答：CE的长为3.2.
10-x 6
A
10-x
x
E
10
C
7.（选做题）如图，一条河同一侧的两村庄A、 B，其中A、B到河岸最短距离分别为AC=1km， BD=2km，CD=4cm，现欲在河岸上建一个水泵 站向A、B两村送水，当建在河岸上何处时，使到 A、B两村铺设水管总长度最短，并求出最短距离。 B A 2 5 1 P D C 1 A′ 4 4 1 E
解：由题意得BC＝5尺,CD=1尺. 设AC＝x尺,则AB＝（x+1）尺.
10尺 D 5尺
在RtΔ ABC中,∠ACB=90°,
1尺
B
由勾股定理得, AC BC AB
2 2
2
C
即
x 2 52 (x 1)2
解得x＝12, x+1＝13.
答：水深12尺,芦苇长13尺.
A
1.风 动 红 莲
3.蚂蚁从A点经B到C点的要爬了多少厘米？
A
5
4 G 3
B
12
E
5
13
C
（小方格的边长为1厘米）
4.如图所示，校园内有两棵树相距12米，一棵树高 13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端 飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 13 米.
A
13米
C
B
8米
12米
5.（航行问题）一艘轮船以16海里/时的速度离开
A
20
2 3
Ａ
２０
Ｃ 3 ２ 3
B
2 3
（3+2）×3=15 AB2=202+152=625，AB=25
2 Ｂ
变式1：
一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到CD的 中点O，试求出爬行的最短路程。（精确到0.1）
B
3m
C
B
C
O
A D
A
o
D
变式2：
有一木质圆柱形笔筒的高为h，底面半径为r，现要围 绕笔筒的表面由A至C，（A,C在圆柱的同一轴截面上）镶 入一条银色金属线作为装饰，这条金属线的最短长度是多 少？