第6讲 解析函数与调和函数

2、函数解析的充要条件
定理2.9 函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在其定义域D 内解析的充要条件是：u,v在D内可微，且满足柯 西—黎曼方程。

记忆
例2.19 讨论下列函数的解析性 1）f(z)=2x(1-y)+i(x2-y2+2y) 2) f(z)= z 3) f(z)=zRe(z)=(x+iy)x
(实部u( x, y ))
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三、已知实部或虚部求解析函数表达式
设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是解析函数 1、方法一：
2 2 u x y , 求其虚部v. 例 已知解析函数f(z)的实部
解： f ( z )解析 u v u v 2x , 2 y x y y x v 可设v( x, y) 2 xy g ( x), 而 2 y g ' ( x) 2 y
g ( x） c (c为实常数）
x
对于已知v，求u的情况，可采取同样的方法。
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例2.22 已知下面的调和函数，求解析函数f(z)=u+iv
1) u=shxsiny 2)v=x2-y2+2y
解： 1 ） u shxsiny u v chxsin y y x
v chxsinydy -chxcosy g(x)
g(x) c
vx -shxcosy g(x) u y -shxcosy
故 f(z) u iv shxsiny- i(chxcosy c)
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2） v x2 - y2 2y
vx 2x -uy , vy 2 - 2y u x
故 u (2 - 2y)dx 2x(1 y) g ( y)
例设u ( x, y) x y , v( x, y) 2 xy
2 2
u, v是调和函数吗？ v为u的共轭调和函数吗？ u为v的共轭调和函数吗？
注：一般地，若v为u在D内的共轭调和函数， 则-u为v在D内的共轭调和函数， u是-v的共轭调 和函数
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现在研究反过来的问题： 若u, v是 任 意 选 取 的 在
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方法二
定理4-6 设u(x,y)是单连通区域D内的调和函数，(x0,y0) 为D内任意取定的点，则存在由
v( x, y ) ((xx ,,yy) ) u y dx u x dy c
0 0
确定的唯一形式的v(x,y),是f(z)=u+iv是D内的解析函数。

公式不用强记！可如下推出：
解： vx x, vy y
故 u
(x, y) ( 0, 0 ) (x,0)
( 0, 0 )
v y dx vx dy c
ydx
0
(x, y) ( x , 0)
(x, y) ( 0, 0 )
ydx xdy c

xdy c
1 2 1 2 故 f(z) xy c i(- x y ) 2 2 由f(0) 0,得c 0. 1 2 1 2 i 2 所以 f(z) xy i(- x y ) - z 2 2 2
f(z)在整个复平面上处处解 析。
2） f(z) z x - iy
u v 则 1 1 x y
记 u x v y
f(z)在整个复平面上处处不 解析。
4
而 f(z) z x iy
u v u v 则 1 , 0 且显然处处连续 x y y x
1
例 讨论函数的解析性 2 z 1）f(x)= 的解析性 2 2）f(x)= z 的解析性
解：1) f ( z) x2 y 2 i2xy, 则u x 2 y 2 , v 2xy
ux 2x vy , u y 2 y vx且显然可微
f(z) z 2在整个复平面上处处可 导，
f(z) z 2在整个复平面上处处解 析
2) f ( z) x 2 y 2 i0, 则ux 2x, vy 0, u y 2 y, vx 0
f(z) z 在整个复平面上除 z 0外处处不可导，
2
f(z) z 在整个复平面上处处不 解析
2
2
问题
如何判断函数的解析性呢？
五、作业：
2.4.7 a . d 2.5.5 2.4.9 b 2.5.9 d 2.4.13. c f 2.5.10 d i
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习题订正 2.4.8 若f ( z )、g ( z )在z0点解析，且f ( z0 ) g ( z0 ) 0 f ( z0 ) f ( z) g ( z0 ) 0, 试证 lim z z0 g ( z ) g ( z0 )
证明： f ( z )、g ( z )在z0点解析，且f ( z0 ) g ( z0 ) 0 g ( z0 ) 0, f ( z ) f ( z0 ) f ( z) lim lim z z0 g ( z ) z z0 g ( z ) g ( z ) 0
D内解析函数的虚部是实 部的共轭调和函数 . 即, f ( z ) u( x, y ) iv( x, y )在D内解析 在D内v( x, y )必为u u( x, y )的共轭调和函数 . 10
设f(z)=u(x,y)+iv(x,y),则f(z)在D内解析
在D内v(x,y)是u(x,y)的共轭调和函数 f(z)=v(x,y)-iu(x,y)在区域D内亦解析 f(z)=-v(x,y)+iu(x,y)在区域D内亦解析

40 三角函数和双曲函数在其定义域内解析，反三角 函数和反双曲函数要具体讨论。
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§2.5 调和函数
调和函数：设二元实变量函数h(x,y)在区域D内具有 连续的二阶偏导数，并且满足拉普拉斯方 程： hxx ( x, y) hyy ( x, y) 0 ，则称h(x,y)其为D内的 调和函数。
区 域D内 的 两 个 调 和 函 数 , 则u iv在D内 就 不 一定解析 .
要想使 u iv在D内 解 析 , u及v还 必 须 满 足 CR 方程，即 v必 须 是 u的 共 轭 调 和 函 数 .由 此 ，
已 知一 个 解 析函 数 的部 实u( x , y ), 利 用C R方 (虚部v( x, y )) 程可求得它的虚部 v ( x , y ),从 而 构 成 解 析 函 数 u iv .
2
5
例2.20 证明若函数f(z)在某区域内任意点均解析且导 数为零，则该函数在此区域上为常数。
证明：设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)
f ( z) ux ivx vy iu y 0 ux u y 0, vx vy 0
/
知 : u( x, y) c1 , v( x, y) c2

(1) w=f (z) 在 D 内解析 在 D内可导。 (2) 函数f (z)在 z0 点可导，未必在z0解析。
(在一个点的可导性是一个局部概念，而解析性是 一个整体概念)
注： 1） f(z)在某点解析，也就是指f(z)在包含该点 的某邻域内解析。 2）f(z)在闭区域 D 上解析，也就是指f(z)在包 含 D 的某邻域内解析。
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10 指数函数ez在整个复平面上解析。 20 对数函数Lnz的主值及各分支函数在除去原点和负 实轴外处处解析。
30 幂函数 z :
1)为正整数和零时， z 在整个复平面解析。 2）为负整数时，在除原点外整个复平面解析。 z
3）为既约分数、无理数、复数时，在除去原点和 z 负实轴外的复平面解析。
记 u x v y
f(z)在整个复平面上处处不 解析。
3) f(z) zRe(z) (x iy)x x ixy
2
记u x v xy u v u v 则 2x, x , 0, y x y y x 仅在原点满足柯西 黎曼方程 f(z)在整个复平面上处处不 解析。
已知： u( x , y ),求 其 共 轭 调 和 函 数 v( x, y ) : v v C R方 程 由dv dx dy u y dx u x dy x y 然后两端积分。
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v v C R方 程 v v 由du dx dy dx dy x y y x
例 h( x, y) shx sin y为调和函数。
分析：hx chxsin y, hy shx cos y hxx shxsin y, hyy shxsin y
hxx hyy 0
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定理 若f ( z ) u( x , y ) iv( x , y )在区域D内解析
3 2
故 v
(x, y) ( 0, 0 )
(x, y) ( 0, 0 ) (x,0)
- u y dx ux dy c
(3x2 - 3y2 )dx 6 xydy c


( 0, 0 )
x
(3x - 3y )dx
2 2
2 y 0
(x, y) ( x , 0)
6 xydy c
u x v x
u y v y
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解： 1) 记 u 2x(1- y) v x 2 - y2 2y
u v u v 则 2(1- y) , 2x x y y x u u v v 又 、 、 、 在整个复平面上连续 x y x y
从而f(z) c1 ic2 c.
其中c1 , c2为实常数， c为复常数）证毕
6
3、初等函数的解析性
定理1 设w=f (z)及w=g(z)是区域D内的解析函数， 则 f (z)±g(z)，f (z)g(z) 及 f (z) g(z) (g (z)≠0时) 均是D内的解析函数。 定理 2 设 w=f (h) 在 h 平面上的区域 G 内解析, h=g(z) 在 z 平面上的区域 D 内解析, h=g(z)的函数值 集合 G，则复合函数w=f [g(z)]在D内处处解析。
u - 2xdy 2 xy h( x)
2 x(1 y) g ( y) 2 xy h( x)
即 2 x g ( y) h( x)
g ( y) c
故 f(z) u iv 2x - 2xy c i( x 2 - y 2 2y) iz 2 2 z c (c为实数）
0dx xdy c xy c
0
x
y
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四、本章总结
本章重点学习了复变函数的连续、可导、解析函数、 调和函数的概念，给出了各自的充要条件。 要求：会判断函数的连续性、可导性、解析函数和调 和函数。
它们之间的关系：
未必 未必 必然 连续函数 可导函数 解析 调和函数 必然 必然 未必
类似地， 然后两端积分得，
u( x , y )
ห้องสมุดไป่ตู้
( x, y)
( x 0 , y0 )
v y dx v x dy c
( )
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例 2.23 已知调和函数u(x,y)= y 3 3 x 2 y 求其共轭调和函数v(x,y)使f(z)=u+iv在相应区域解析。
解： u y - 3x y 2 2 u x 6xy,u y 3 y - 3x
u u( x , y )，v v ( x , y )是D内的调和函数。
共轭调和函数
设函数u(x,y)、v(x,y)均是D内的调和函数，而且它 们满足柯西—黎曼方程，则称v(x,y)为u(x,y)的共轭调和 函数。 u v u v C R方程 x y y x 上面定理说明：
3 2
3x dx 6 xydy c x - 3xy c
0
故 f(z) u iv y3 - 3x2 y i( x3 - 3xy2 c)
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例 2.24 已知f(z)的虚部为 求解析函数f(z)=u+iv，且f(0)=0.
1 2 1 2 v(x,y)= 2 x 2 y