2017中考数学培优卷(一)

2017思考乐·优学中考数学培优卷（一）
满分：100分 考试时间：90分钟
第一部分（共36分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．在﹣2、+
、﹣3、2、0、4、5、﹣1中，负数有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
2．若两个非零的有理数a 、b ，满足：|a|=a ，|b|=﹣b ，a+b ＜0，则在数轴上表示数a 、b 的点正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．实数a 、b 满足
+4a 2
+4ab+b 2
=0，则b a
的值为（ ）
A ．2
B ．
C ．﹣2
D ．﹣
4．已知x ﹣2y=3，那么代数式3﹣2x+4y 的值是（ ） A ．﹣3 B ．0 C ．6 D ．9
5．下列分式中，最简分式是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
6．在一些汉字的美术字中，有的是轴对称图形．下面四个美术字中可以看作轴对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．若关于x 的方程x 2
+（m+1）x+=0的一个实数根的倒数恰是它本身，则m 的值是（ ） A ．﹣ B ． C ．﹣或 D ．1
8．A ，B 两地相距180km ，新修的高速公路开通后，在A ，B 两地间行驶的长途客车平均车速提高了50%，而从A 地到B 地的时间缩短了1h ．若设原来的平均车速为xkm/h ，则根据题意可列方程为（ ） A ．﹣=1 B ．﹣=1 C ．﹣
=1
D ．
﹣
=1
9．如图，△ABC 中，D 为AB 上一点，E 为BC 上一点，且AC=CD=BD=BE ，∠A=50°，则∠CDE 的度数为（ ）
A ．50°
B ．51°
C ．51.5°
D ．52.5°
10．一次函数y=ax+b 和反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数y=ax 2
+bx+c 的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知，数2016应标在（ ）
A ．第504个正方形的左下角
B ．第504个正方形的右下角
C ．第505个正方形的左上角
D ．第505个正方形的右下角
12．已知四边形ABCD 为矩形，延长CB 到E ，使CE=CA ，连接AE ，F 为AE 的中点，连接BF ，DF ，DF 交AB 于点G ，下列结论：
（1）BF ⊥DF ； （2）S △BDG =S △ADF ； （3）EF 2
=FG •FD ；
（4）=
其中正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
第二部分（共64分）
二、填空题（每题3分，共12分）
学校 姓名 年级
密 封 线 内 不 要 答 题 密 封
线
13．将m3（x﹣2）+m（2﹣x）分解因式的结果是．
14．不透明袋子中装有6个球，其中有1个红球、2个绿球和3个黑球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是．
15．如图，点A为函数y=（x＞0）图象上一点，连结OA，交函数y=（x＞0）的图象于点B，点C是x轴上一点，且AO=AC，则△ABC的面积为．
16．如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA、OC分别在x轴和y轴上，且OA=2，OC=1．在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，得到矩形A1OC1B1，再将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B2…，以此类推，得到的矩形A n OC n B n的对角线交点的坐标为．
三、解答题（本大题共8题，共52分）
17．计算：3tan30°﹣+（2016+π）0+（﹣）﹣2．
18．先化简：（2x﹣）÷，然后从0，1，﹣2中选择一个适当的数作为x的值代入求值．19．根据频数分布表或频数分布直方图求加权平均数时，统计中常用各组的组中值代表各组的实际数据，把各组的频数看作相应组中值的权，请你依据以上知识，解决下面的实际问题．
为了解5路公共汽车的运营情况，公交部门统计了某天5路公共汽车每个运行班次的载客量，并按载客量的多少分成A，B，C，D四组，得到如下统计图：
（1）求A组对应扇形圆心角的度数，并写出这天载客量的中位数所在的组；
（2）求这天5路公共汽车平均每班的载客量；
（3）如果一个月按30天计算，请估计5路公共汽车一个月的总载客量，并把结果用科学记数法表示出来．
20．芜湖长江大桥是中国跨度最大的公路和铁路两用桥梁，大桥采用低塔斜拉桥桥型（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索CD与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离BC为2米，两拉索底端距离AD为20米，请求出立柱BH的长．（结果精确到0.1米，≈1.732）
21．某职业高中机电班共有学生42人，其中男生人数比女生人数的2倍少3人．
（1）该班男生和女生各有多少人？
（2）某工厂决定到该班招录30名学生，经测试，该班男、女生每天能加工的零件数分别为50个和45个，为保证他们每天加工的零件总数不少于1460个，那么至少要招录多少名男学生？
22．如图，CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为G，OG：OC=3：5，AB=8．
（1）求⊙O的半径；
（2）点E为圆上一点，∠ECD=15°，将沿弦CE翻折，交CD于点F，求图中阴影部分的面积．
23．已知抛物线C1：y=ax2+bx+（a≠0）经过点A（﹣1，0）和B（3，0）．
（1）求抛物线C1的解析式，并写出其顶点C的坐标；
（2）如图1，把抛物线C1沿着直线AC方向平移到某处时得到抛物线C2，此时点A，C分别平移到点D，E处．设点F在抛物线C1上且在x轴的下方，若△DEF是以EF为底的等腰直角三角形，求点F的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，设点M是线段BC上一动点，EN⊥EM交直线BF于点N，点P为线段MN的中点，当点M从点B向点C运动时：①tan∠ENM的值如何变化？请说明理由；②点M到达点C时，直接写出点P经过的路线长．
2017思考乐·优学中考数学培优卷（一）
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C B B A A D C A D C D C
11．【解答】解：∵2016÷4=504，
又∵由题目中给出的几个正方形观察可知，每个正方形对应四个数，而第一个最小的数是0，0在右下角，然后按逆时针由小变大，
∴第504个正方形中最大的数是2015，
∴数2016在第505个正方形的右下角，
故选D．
12．【解答】解：如图1，连接CF，
设AC与BD的交点为点O，
∵点F是AE中点，
∴AF=EF，
∵CE=CA，
∴CF⊥AE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，
∴OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵点F是Rt△ABE斜边上的中点，
∴AF=BF，
∴∠BAF=∠FBA，
∴∠FAC=∠FBD，
在△BDF和△ACF中，，
∴△BDF≌△ACF，∴∠BFD=∠AFC=90°，
∴BF⊥DF，所以①正确；
过点F作FH⊥AD交DA的延长线于点H，在Rt△AFH中，FH＜AF，
在Rt△BFG中，BG＞BF，
∵AF=BF，
∴BG＞FH，
∵S△ADF=FH×AD，S△BDG=BG×AD，
∴S△BDG＞S△ADF，所以②错误；
∵∠ABF+∠BGF=∠ADG+∠AGD=90°，
∴∠ABF=∠ADG，
∵∠BAF=∠FBA，
∴∠BAF=∠ADG，
∵∠AFG=∠DFA，
∴△AFG∽△DFA，
∴，
∴AF2=FG•FD，
∵EF=AF，
∴EF2=FG•FD，所以③正确；
∵BF=EF，
∴BF2=FG•FD，
∴，
∵∠BFG=∠DFB，
∴△BFG∽△DFB，
∴∠ABF=∠BDF，
∵由③知，∠ABF=∠ADF
∴∠ADF=∠BDF，
∴（利用角平分线定理），
∵BD=AC，AD=BC，
∴，所以④正确，故选C．
二、填空题（每题3分，共12分）
13．m（x﹣2）（m﹣1）（m+1）14．15．616．（﹣，）16．【解答】解：∵在第二象限内，将矩形AOCB 以原点O 为位似中心放大为原来的倍，
∴矩形A1OC1B1与矩形AOCB是位似图形，点B与点B1是对应点，
∵OA=2，OC=1．
∵点B的坐标为（﹣2，1），
∴点B1的坐标为（﹣2×，1×），
∵将矩形A1OC1B1以原点O 为位似中心放大倍，得到矩形A 2OC 2B 2…，
∴B2（﹣2××，1××），
∴B n（﹣2×，1×），
∵矩形A n OC n B n的对角线交点（﹣2××，1××），即（﹣，），
三、解答题（共52分）
17.【解答】解：原式=3×﹣+1+4=5．
18．【解答】解：原式=（﹣）÷
=•
=，
当x=﹣2时，原式==．
19．【解答】解：（1）A组对应扇形圆心角度数为：360°×=72°；
这天载客量的中位数在B组；
（2）各组组中值为：A：=10，B：=30；C：=50；D ：=70；
==38（人），
答：这天5路公共汽车平均每班的载客量是38人；（3）可以估计，一个月的总载客量约为38×50×30=57000=5.7×104（人），答：5路公共汽车一个月的总载客量约为5.7×104人．
20．【解答】解：设DH=x米，
∵∠CDH=60°，∠H=90°，
∴CH=DH•tan60°=x，
∴BH=BC+CH=2+x，
∵∠A=30°，
∴AH=BH=2+3x，
∵AH=AD+DH，
∴2+3x=20+x，
解得：x=10﹣，
∴BH=2+（10﹣）=10﹣1≈16.3（米）．
答：立柱BH的长约为16.3米．
21．【解答】解：（1）设该班男生有x人，女生有y人，
依题意得：，解得：．
∴该班男生有27人，女生有15人．
（2）设招录的男生为m名，则招录的女生为（30﹣m）名，
依题意得：50m+45（30﹣m）≥1460，即5m+1350≥1460，
解得：m≥22，
答：工厂在该班至少要招录22名男生．
22．【解答】解：（1）连接AO，如右图1所示，
∵CD为⊙O的直径，AB⊥CD，AB=8，
∴AG==4，
∵OG：OC=3：5，AB⊥CD，垂足为G，
∴设⊙O的半径为5k，则OG=3k，
∴（3k）2+42=（5k）2，
解得，k=1或k=﹣1（舍去），
∴5k=5，
即⊙O的半径是5；
（2）如图2所示，将阴影部分沿CE翻折，点F的对应点为M，
∵∠ECD=15°，由对称性可知，∠DCM=30°，S阴影=S弓形CBM，
连接OM，则∠MOD=60°，
∴∠MOC=120°，
过点M作MN⊥CD于点N，
∴MN=MO•sin60°=5×，
∴S阴影=S扇形OMC﹣S△OMC ==，
即图中阴影部分的面积是：．
23.【解答】解：（1）∵抛物线C1：y=ax2+bx+（a≠0）经过点A（﹣1，0）和B（3，0），∴解得，
∴抛物线C1的解析式为y=﹣x2+x+，
∵y=﹣x2+x+=﹣（x﹣1）2+2，
∴顶点C的坐标为（1，2）；
（2）如图1，作CH⊥x轴于H，
∵A（﹣1，0），C（1，2），
∴AH=CH=2，
∴∠CAB=∠ACH=45°，
∴直线AC的解析式为y=x+1，
∵△DEF是以EF为底的等腰直角三角形，
∴∠DEF=45°，
∴∠DEF=∠ACH，
∴EF∥y轴，
∵DE=AC=2，
∴EF=4，设F（m ，﹣m2+m+），则E（m，m+1），
∴（m+1）﹣（﹣m2+m+）=4，
解得m=3（舍）或m=﹣3，
∴F（﹣3，﹣6）；
（3）①tan∠ENM的值为定值，不发生变化；
如图2，∵DF⊥AC，BC⊥AC，
∴DF∥BC，
∵DF=BC=AC，
∴四边形DFBC是矩形，
作EG⊥AC，交BF于G，
∴EG=BC=AC=2，
∵EN⊥EM，
∴∠MEN=90°，
∵∠CEG=90°，
∴∠CEM=∠NEG，
∴△ENG∽△EMC，
∴=，
∵F（﹣3，﹣6），EF=4，
∴E（﹣3，﹣2），
∵C（1，2），
∴EC==4，
∴==2，
∴tan∠ENM==2；
∵tan∠ENM的值为定值，不发生变化；
②∵直角三角形EMN中，PE=MN，直角三角形BMN中，PB=MN，∴PE=PB，
∴点P在EB的垂直平分线上，
∴点P经过的路径是线段，如图3，
∵△EGN∽△ECB，
∴=，
∵EC=4，EG=BC=2，
∴EB=2，
∴=，
∴EN=，
∵P1P2是△BEN的中位线，
∴P1P2=EN=；
∴点M到达点C时，点P经过的路线长为．。