江苏省苏州市2020-2021学年高三上学期期中数学试题

2020~2021学年度第一学期期中考试高三数学
一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题給出的四个选项中，只有项是符合题目要求的
1. 已知集合{}22{|60},|4A x x x B x x =--≤=> ，则A B =（ ）
A. (2,3)
B. [2,3]
C. (]2,3
D. [2,3]{2}⋃-
C 求出集合A 、B ，再利用集合的交运算即可求解.
[2,3],(,2)(2,),(2,3]A B A B =-=-∞-⋃+∞⋂=故选：C
2. 角α的终边经过点(3sin ,cos )αα-，则sin α的值为（ ） A. 15 B. 14 C. 13 D. 34 C
易知3sin 0α->，可得角α的终边在第一象限或第四象限，从而得到cos 0α>，再利用三角函数的定义，即可得答案；
易知3sin 0α->，可得角α的终边在第一象限或第四象限，∴cos 0α>，
点(3sin ,cos )αα-的纵坐标大于0，∴角α的终边在第一象限， ∴
1sin 0sin 3αα=>⇒=，故选：C. 3. 等差数列{}n a 中，12318192024,78a a a a a a ++=-++=，则此数列的前20项和等于（ ）
A. 160
B. 180
C. 200
D. 220
B
把已知的两式相加得到12018a a +=，再求20S 得解.
由题得120219318()()()247854a a a a a a +++++=-+=，
所以1201203()54,18a a a a +=∴+=. 所以2012020()10181802S a a =+=⨯=.故选：B
4. 函数“()f x =R ”是“1a ≥”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要
的条件
B
根据集合间的基本关系，即可得答案； 2()(1)f x x a =++的定义域为R 0a ⇔≥，
0a ≥推不出1a ≥，反之成立，
故“2()21f x x x a =+++的定义城为R ”是“1a ≥”的必要不充分条件.故选：B.
5. 函数()2
()cos --=x x e e x f x x 的部分图象大致是（ ） A. B.
C. D.
A
求出函数的定义域，判断函数的奇偶性，结合函数图象即可排除C ，D ，代入特殊值x π=，可排除B ，进而可得结果.
f (x )的定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数，
排除C 和D ，因为f (π)<0，所以排除B .故选：A .
6. 已知函数()ln f x x x =，若直线l 过点()0,e -，且与曲线()y f x =相切，则直线l 的斜率为（ ）
A. 2-
B. 2
C. e -
D. e
B
设切点坐标为(),ln t t t ，利用导数求出切线l 的方程，将点()0,e -的坐标代入直线l 的方程，求出t 的值，进而可求得直线l 的斜率.
设切点坐标为(),ln t t t ，
()ln f x x x =，()ln 1f x x '=+，直线l 的斜率为()ln 1f t t '=+， 所以，直线l 的方程为()()ln ln 1y t t t x t -=+-，
将点()0,e -的坐标代入直线l 的方程得()ln ln 1e t t t t --=-+，解得t e =，
因此，直线l 的斜率为()2f e '=.故选：B.
7. 衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a ，经过t 天后体积V
与天数t 的关系式为：V =a ·
e -kt .已知新丸经过50天后，体积变为49a .若一个新丸体积变为827
a ，则需经过的天数为（ ）
A . 125
B. 100
C. 75
D. 50 C 根据已知关系求出待定系数，再根据体积函数值求自变量天数即可. 由已知，得49a =a ·e -50k ，∴e -k =1504()9
. 设经过t 1天后，一个新丸体积变为
827
a ， 则827
a = a ·e -kt ， ∴827= e -kt =1504()9t ，∴13502t =，t 1=75.故选：C. 8. 设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若110,,22
n n a a S >=<，则等比数列{}n a 的公比的取值范围是（ ） A. 30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦ B. 20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ C. 30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ D. 20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
A
设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意可得1q ≠．即可得到不等式1102n q -⨯>，1(1)221n q q
-<-，即可求出参数q 的取值范围；
解：设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意可得1q ≠．
110,2
n a a >=，2n S <， ∴1102n q -⨯>，1(1)221n q q
-<-， 10q ∴>>．
144q ∴-，解得34
q ． 综上可得：{}n a 的公比的取值范围是：30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦
．故选：A ． 二、 多项选题: 本题共4小题， 每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题.目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.
9. 已知函数(
)cos f x x x =，()()g x f x '=则（ ）
A. ()g x 的图象关于点(,0)6
π对称 B. ()g x 的图象的一条对称轴是6x π= C. ()g x 在5,66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递减 D. ()g x 在(,)33
ππ-值域为(0,1) BC 首先根据求导公式得到()2sin 3g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭
，再利用三角函数的性质依次判断选项即可. (
)sin 2sin 3f x x x x π⎛⎫'=-=-+ ⎪⎝⎭，所以()2sin 3g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝
⎭. 对选项A ，2sin 2062g ππ⎛⎫=-=-≠ ⎪⎝⎭
，故A 错误； 对选项B ，2sin 262g ππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭
，所以6x π=为()g x 图象的一条对称轴， 故B 正确. 对选项C ，因为566x ππ-<<，所以232
x πππ-<+<， 所以函数sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在5,66ππ⎛⎫- ⎪⎝
⎭为增函数， 即()2sin 3g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在5,66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭为减函数，故C 正确.
对选项D ，33
x ππ-<<，所以2033x ππ<+<， 所以0sin 13x π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭
，()20g x -≤<，故D 错误.故选：BC 10. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差0d ≠，则（ ）
A. 若59S >S ，则150S >
B. 若59S =S ，则7S 是n S 中最大的项
C. 若67S S >， 则78S S >
D. 若67S S >则56S S >. BC
根据等差数列的前n 项和性质判断．
A 错：67895911415000S a a a a a S a S ⇒+++<>⇒+<⇒<；
B 对：n S 对称轴为n =7；
C 对：6770S S a >⇒<，又10a >，887700a S a d S ⇒⇒<<⇒<>；
D 错：6770S S a >⇒<，但不能得出6a 是否为负，因此不一定有56S S >．故选：BC ． 11. 已知函数()()lg 1,1f x x b a =->>且()()f a f b =，则（ ）
A. 1<2a <
B. a b ab +=
C. ab 的最小值为1
D. 11211a b +>-- ABD
由()()f a f b =，可得lg(1)lg(1)a b -=-，而1b a >>，得11b a ->-，从而可得lg(1)a -与lg(1)b -互为相反数，其中lg(1)0a -<，从而可求出a 的取值范围和,a b 的关系式，然后对各选项进行判断
解：因为()()lg 1f x x =-且()()f a f b =， 所以lg(1)lg(1)a b -=-，
因为1b a >>，所以11b a ->-，
所以lg(1)a -≠lg(1)b -，所以lg(1)a -与lg(1)b -互为相反数，其中lg(1)0a -<，
所以011a <-<，所以1<2a <，所以A 正确；
因为lg(1)a -与lg(1)b -互为相反数，所以lg(1)lg(1)a b --=-，
所以(1)(1)1a b --=，化简得a b ab +=，所以B 正确；
因为10,10b a ->->，所以11211a b +≥=--， 因为11b a ->-，所以取不到等号，所以11211
a b +>--，所以D 正确；
因为ab a b =+≥4ab ≥，
因为a b ，所以4ab >，所以C 错误，故选：ABD
由()0f x =，可得()ln 0x xe x x k -+-=，即()
ln x x k xe xe =-， 令()x u x xe =，其中0x >，则()()10x u x x e '=+>，
所以，函数()x
u x xe =在区间()0,∞+上单调递增，则()()00u x u >=， 令()ln g t t t =-，其中0t >，()111t g t t t
'-=-=. 当01t <<时，()0g t '<，此时函数()g t 单调递减；
当1t >时，()0g t '>，此时函数()g t 单调递增.
所以，()()min 11g t g ==.
若函数()f x 在()0,∞+上有唯一零点0x ，则1k =.
所以，()0001x u x x e ==，由于函数()u x 在()0,∞+上单调递增，
1122
u ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，()11u e =>，即()()0112u u x u ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，0112x ∴<<， 所以，ABC 选项正确，D 选项错误.故选：ABC.
三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知函数()22(2)f x ax a x a =+++为偶函数，则不等式()2()0x f x -<的解集为______.
((2,)+∞
由()f x 为偶函数求出a 的值，然后解不等式即可
解：因为函数()22(2)f x ax a x a =+++为偶函数，
所以()()f x f x -=，即2222()(2)()(2)a x a x a ax a x a -++-+=+++，
化简得2(2)0a x +=，得2a =-，
所以()224f x x =-+，
所以()2()0x f x -<，得2(2)(0x x x --+<，
即(2)(0x x x -+>，
解得x <<2x >，
所以不等式的解集为((2,)+∞，
故答案为：((2,)+∞
14. 已知正数x ，y 满足224y xy y x
+
=-，则y 的最大值为_____. 12 先分离x ，y ，再根据1x x +
范围得不等式，解得y 的范围，即得y 的最大值 因为224y xy y x
+=-，所以124x y x y +=- 因为12x x
+≥，所以22142,0,210,02y y y y y y 因为-≥>∴+-≤∴<≤, 因此y 的最大值为12
. 15. 在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000元，用于自己开设的农产品土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算每月获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需缴纳房租600元和水电费400元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续.预计2020年小王的农产品加工厂的年利润为________元.（取111.27.5=，121.29=）
40000
设一月月底小王手中有现款为111000a =元，n 月月底小王手中有现款为n a ，1n +月月底小王手中有现款为1n a +，根据题意可知1 1.21000n n a a +=-，整理得出()15000 1.25000n n a a +-=-，所以数列{}5000n a -是以6000为首项，1.2为公比的等比数列，求得1250000a =元，减去成本得到结果.
设一月月底小王手中有现款为1(120%)10000100011000a =+⨯-=元，
n 月月底小王手中有现款为n a ，1n +月月底小王手中有现款为1n a +，
则1 1.21000n n a a +=-，即()15000 1.25000n n a a +-=-，
所以数列{}5000n a -是以6000为首项，1.2为公比的等比数列，
111250006000 1.2a -=⨯，即11126000 1.2500050000a =⨯+=元.
年利润为500001000040000-=元.
故答案为：40000.
16. 已知定义在R 上的函数()f x 关于y 轴对称，其导函数为()f x '. 当0x ≥时，
()()1xf x f x '>-. 若对任意x ∈R ，不等式()
()0x x x e f e e ax axf ax -+->恒成立，则正整数a 的最大值为_____. 2
令()()g x xf x x =-，利用()()1xf x f x '>-可得()g x 在[)0,+∞单调递增，不等式()
()0x x x e f e e ax axf ax -+->恒成立等价于()()x g e g ax >，即e x ax >，当0x >时，分离参数可得()x
e a h x x <=，可求出正整数a 的最大值为2，再检验当2a =时，对于0x <，不等式恒成立，即可求解.
因为定义在R 上的函数()f x 关于y 轴对称，
所以函数()f x 为R 上的偶函数，
令()()g x xf x x =-，则()()()1g x f x xf x ''=+-，
因为当0x ≥时，()()1xf x f x '>-，即()()()10g x f x xf x ''=+->，
所以()g x 在[)0,+∞单调递增，
不等式()()0x x x e f e e ax axf ax -+->恒成立，
即()()x x x e f e e axf ax ax ->-，即()()x g e g ax >，
所以e x ax >，
当0x >时，()x
e a h x x <=，则()()2
1x e x h x x -'=， 可得()h x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增，
所以()()min 1h x h e ==，
所以a e <，
此时最大的正整数a 为2，
2a =对于0x <时，e x ax >恒成立，
综上所述：正整数a 的最大值为2，
故答案为：2
四、解答题:本题共5小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知函数()()sin 0,2f x x ϕωϕπω⎛⎫=->≤ ⎪⎝
⎭的最小正周期为π. （1）求ω的值及()6g f ϕπ⎛⎫= ⎪⎝⎭
的值域； （2）若3π
ϕ=，sin 2cos 0αα-=. 求()f α的值.
（1）2ω=，()g ϕ的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）()410
f α=+. （1）由函数()f x 的最小正周期可求得ω的值，求得()sin 3
g πϕϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，结合ϕ的取值范围可求得()g ϕ的值域；
（2）求得tan 2α=，利用二倍角的正、余弦公式以及弦化切思想可求得()f α的值.
（1）由于函数()()sin 0,2f x x ϕωϕπω⎛⎫=->≤ ⎪⎝⎭
的最小正周期为π，则22πωπ==， ()()sin 2f x x ϕ∴=-，()sin 63g f ππϕϕ⎛⎫⎛⎫∴==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 22ππϕ-≤≤，5636π
π
πϕ∴-≤-≤，所以，()1sin ,132g πϕϕ⎛⎫⎡⎤=-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
； （2）sin 2cos 0αα-=，可得tan 2α=，
3πϕ=，所以，
()()21sin 2sin 22sin cos 2cos 13222f πααααααα⎛⎫=-=-=-- ⎪⎝
⎭
2
2
222sin cos tan sin cos 2sin cos 2tan 12αααααααααα=-+=+=+++
245210
-+=+=. 第二步：由x 的取值范围确定x ωϕ+的取值范围，再确定()sin x ωϕ+（或()cos x ωϕ+）的取值范围；
第三步：求出所求函数的值域（或最值）.
18. 已知函数321()2()32
a f x x x x a R =-+-∈. (1)当3a =时，求函数()f x 的单调递减区间；
(2)若对于任意[)1,x ∈+∞都有()()21f x a '<-成立，求实数a 的取值范围.
（1）(),1-∞和()2,+∞；（2）()1,8-.
（1）求出函数的导数，令导数小于0，解出不等式即得单调递减区间；
（2）可得不等式等价于220x ax a -+>对于任意[)1,x ∈+∞恒成立，讨论对称轴的范围，令22x ax a -+在[)1,x ∈+∞的最小值大于0即可求出.
（1）当3a =时，3213()232
f x x x x =-+-， 则()()()23212f x x x x x '=-+-=---，
令()0f x '<，解得1x <或 2x >，
()f x ∴的单调递减区间为(),1-∞和()2,+∞；
（2）()22'=-+-f x x ax ，
则()2221x ax a -+-<-，即 220x ax a -+>对于任意[)1,x ∈+∞恒成立，
令()22g x x ax a =-+，对称轴为 2
a x =，开口向上， 当12
a ≤，即2a ≤时，()g x 在 [)1,+∞单调递增， ∴()()min 1120g x g a a ==-+>，解得 1a >-，
12a ∴-<≤；
当12a >，即2a >时，()2
min 2024
2a a
a g x g a a ⎛⎫==
-⨯+> ⎪⎝⎭，解得 08a <<， 28a ∴<<，
综上，18a -<<. 19. 在①sin
sin 2
B C
c a C +=；②2cos cos co (s )A b C c B a +=；③()2
2sin sin sin sin sin B C A B C -=-中任选一个，补充在横线上，并回答下面问题.在△ABC
中，已知内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 若1)c b =，______. (1)求C 的值；
(2)若△ABC 的面积为3-b 的值. （1）
4
π；（2）2. 根据选项分别运用正弦定理或余弦定理化简得3
A π
=，再利用两角和差公式求得4
C
π
；
利用面积公式和已知条件化简得解 选① (1)sin
sin sin sin sin cos sin sin 222
B C A A
c a C c a C C A C π+-=⇒=⇒= 0,sin 0C C π<<∴≠
cos
2sin 222A A A cos ∴=，0,cos 02A
A π<<∴≠ 1sin 223A A π∴=⇒=
2
1)sin 1)sin sin 1)sin(
)3
c b C B C C π
=⇒=⇒=- 化简得sin cos 4
C C C π
=⇒=
(2) 21sin 1)324
ABC
S
cb A b =
== 2b ∴= 选②
2cos cos cos 2cos sin cos sin cos sin ()()A b C c B a A B C C B A +=⇒+= 2cos si )n s (in ,A B C A ∴+=2cos sin sin ,A A A ∴=
0,sin 0A A π<<∴≠
1cos 23
A A π∴=
⇒= 2
1)sin 1)sin sin 1)sin(
)3
c b C B C C π
=⇒=⇒=- 化简得sin cos 4
C C C π
=⇒=
(2) 21sin 1)324
ABC
S
cb A b =
== 2b ∴= 选③
()
2
2222sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin B C A B C B C A B C -=-⇒+=+
222b c a bc +=+ ，1
cos 2
A ∴=
0,A π<<
3
A π
∴=
2
1)sin 1)sin sin 1)sin(
)3
c b C B C C π
=⇒=⇒=- 化简得sin cos 4
C C C π
=⇒=
(2) 21sin 1)32ABC
S
cb A b =
== 2b ∴=
20. 已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是等比数列，且满足
1135723162,a 30,a b a a b b a bb ==++==.
(1)求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；
(2)设数列{}n a ，{}n b 的前n 项相分别为n S ，n T .
①是否存在正整数k .使得132k k k T T b +=++成立?若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由； ②解关于n 的不等式.n n S b ≥
（1）2,2n
n n a n b ==；（2）①存在，5；②{}1,2,3,4.
（1）设公差、公比，由等差、等比数列的通项公式运算即可得解； （2）①由数列n b 与n T 的关系可转化条件为132k k b b +=+，运算即可得解；
②转化条件为()210n n n -+≤，令()()21,n f n n n n N +
=-+∈，通过作差确定()
f n 的
单调性，
进而可得()0f n ≤的解集，即可得解.
（1）设等差数列{}n a 公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ， 则3575330a a a a ++==，所以1542410a a d d +=+==，解得2d =， 所以()112n a a n d n =+-=，
所以231632b b a ==即213
1432q q b b q =⋅=，解得2q ，
所以112n n
n b b q -==；
（2）①假设存在正整数k 满足132k k k T T b +=++，则132k k b b +=+， 所以12232k k +=+，所以232k =，解得5k =， 所以存在正整数5k =满足题意； ②由题意，()112
n
n a a S n n n +=
⋅=+， 所以()12n n n +≥，即()210n
n n -+≤
令()()21,n f n n n n N +
=-+∈，
则()()()()()()11
121221221n n n f n f n n n n n n +-⎡⎤+-=-++-++=-+⎣⎦，
当且仅当3n ≥时，()()10f n f n +-≥，
所以()()()()()()123456f f f f f f >>=<<⋅⋅⋅， 又()()10,44f f ==-，()52f =， 所以当且仅当1,2,3,4n =时，()0f n ≤， 所以不等式n n S b ≥的解集为{}1,2,3,4.
21. 若函数()f x 在[],x a b ∈时，函数值y 的取值区间恰为,,(0)k k k b a ⎡⎤
>⎢⎥⎣⎦
，则称[],a b 为()f x 的
一个“k 倍倒域区间”.定义在[]4,4-上的奇函数()g x ，当[]0,4x ∈时()2
4g x x x =-+.
（1）求()g x 的解析式；
（2）求()g x 在[]2,4内的“8倍倒域区间”；
（3）若()g x 在定义域内存在“()8k k ≥ 倍倒域区间”，求k 的取值范围.
（1）()[)[]224,4,04,0,4x x x g x x x x ⎧+∈-⎪=⎨-+∈⎪⎩
；（2
）1⎡⎤⎣⎦；（3）256827k ≤<. （1）当[4,0)x ∈-时，(0,4]x -∈,求出()g x -，再根据()()g x g x -=-求出()g x 可得解；
（2）设24a b ≤<≤，根据()g x 在[2,4]上单调递减，得2
28484a a a
b b b ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=
⎪⎩
解得结果即可得解；
（3）设()g x 在定义域内的k 倍倒域区间为[,]a b ，则04a b <<≤或40a b -≤<<，
当04a b <<≤时，根据()g x 在[0,4]上的最大值推出2a ≥，根据()g x 在[,]a b 为递减函数可得
()k g a a =
，()k
g b b
=，可得方程3240x x k -+=在区间[2,4]上有两个不等的实数解，再构造函数利用导数可解得k 的范围，同理可求得当40a b -≤<<时，k 的范围. （1）因为()g x 为定义在[4,4]-上的奇函数，
所以当[4,0)x ∈-时，(0,4]x -∈，22()()4()4g x x x x x -=--+-=--， 因为()()g x g x -=-，所以22()()(4)4g x g x x x x x =--=---=+，
所以()[)
[]2
2
4,4,04,0,4x x x g x x x x ⎧+∈-⎪=⎨-+∈⎪⎩
. （2）因为()g x 在[]2,4内的“8倍倒域区间”， 设24a b ≤<≤，因为()g x 在[2,4]上单调递减，
所以2
28484a a a b b b ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=
⎪⎩
，整理得22
(2)(24)0(2)(24)0a a a b b b ⎧---=⎨---=⎩，
解得2,1a b ==+
所以()g x 在[]2,4内的“8
倍倒域区间”为1⎡⎤⎣⎦.
（3）设()g x 在定义域内的k 倍倒域区间为[,]a b ，则函数值的取值区间为,k k b a ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
(8)k ≥，
所以04a b <<≤或40a b -≤<<，
当04a b <<≤时，因为()g x 在[0,4]上的最大值为4，所以
4k
a
≤，又8k ≥，所以2a ≥， 因为()g x 在[2,4]上递减，所以()g x 在[,]a b 上递减，所以()k g a a =，()k
g b b
=，
即2
244k a a a k b b b ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=
⎪⎩
，所以3232
4040a a k b b k ⎧-+=⎨-+=⎩， 所以方程3240x x k -+=在区间[2,4]上有两个不等的实数解， 令32()4h x x x k =-+，[2,4]x ∈，
则2()38h x x x '=-(38)x x =-，令()0h x '<，得823x ≤<
，令()0h x '>，得8
43
x <≤， 所以()h x 在8[2,)3上递减，在8
(,4]3
上递增，
因为(2)80h k =-≥，(4)8h k =≥，
所以要使方程3240x x k -+=在区间[2,4]上有两个不等的实数解，只需8
()03h <，
即3
2
884033k ⎛⎫⎛⎫
-⨯+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得25627k <，所以256827k ≤<.
同理可得当40a b -≤<<时，256
827k ≤<
. 综上所述：k 的取值范围是256
827
k ≤<.
22. 已知函数()sin x
f x e ax x =+⋅.
(1)求曲线():C y f x =在0x =处的切线方程； (2)当2a =-时， 设函数()()
f x
g x x
=
，若0x 是()g x 在(),0π-上的一个极值点，求证:0x 是函数()g x 在(),0π-上的唯一极大值点，且()00 2.g x << （1）1y x =+；（2）证明见解析.
（1）求出函数的导数，计算'(0),(0)f f ，可求出切线方程；
（2）代入2a =-，求出函数导数，得到()g x 在0(,)x π-递增，在0(,0)x 递减，得到
00000
()2sin 2sin 2x e g x x x x =-<-<，从而可证得结论
（1）解：由题意得0(0)01f e =+=，
由()sin x
f x e ax x =+⋅，得'()sin cos x f x e a x ax x =++，则'(0)1f =，
所以所求切线方程为1y x =+，
（2）证明：当2a =-时，()2sin x
f x e x x =-，()2sin x
e g x x x
=-，(),0x π∈-，
则2'
2
(1)2cos ()x x e x x
g x x
--=，当[,0)2x π∈-时，'()0g x <， 所以()g x 在[,0)2
π
-
上递减，
令2()(1)2cos x h x x e x x =--，(,)2
x π
π∈--， '2()4cos 2sin (4cos 2sin )x x h x xe x x x x x e x x x =-+=-+，
当 (,)2
x ππ∈--时，'()0h x <，所以()h x 在(,)2π
π--上递减，
因为2
2
1
()20,()(1)022
h h e
e
ππ
πππ
ππ-
+-=-
>-=--<，
所以()h x 在(,)2ππ--上有唯一零点，即'()g x 在(,)2π
π--上有唯一零点，设此零点为0x ，
当0(,)x x π∈-时，()0h x >，即'()0g x >， 当0(,0)x x ∈时，()0h x <，即 '()0g x <，
又因为,02x π⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
时，'()0g x <，
所以()g x 在0(,)x π-递增，在0(,0)x 递减，
因为0(,)2x π
π∈--，所以2022
2
2(1)
()()202
e g x g e e π
π
π
ππππ->-=-
=
>，
因为0(,)2
x π
π∈--，所以0
0000()2sin 2sin 2x e g x x x x =-<-<， 所以0x 是函数()g x 在(),0π-上的唯一极大值点，且()00 2.g x <<
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的几何意义的应用，考查函数的单调性、极值，考查利用
导数证明不等式，解此题的关键是构造函数2()(1)2cos x h x x e x x =--，(,)2x π
π∈--，然后利
用导数判断()h x 在(,)2ππ--上有唯一零点，即'()g x 在(,)2π
π--上有唯一零点，再利用了函数
的单调性求得函数的最值，考查了数学转化思想。