集合的全集与补集完美版
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第4课时
集合的全集与补集
(一)教学目标1.知识与技能
(1)了解全集的意义.
(2)理解补集的含义,会求给定子集的补集.2.过程与方法
通过示例认识全集,类比实数的减法运算认识补集,加深对补集概念的理解,完善集合运算体系,提高思维能力.
3.情感、态度与价值观
通过补集概念的形成与发展、理解与掌握,感知事物具有相对性,渗透相对的辨证观点.(二)教学重点与难点
重点:补集概念的理解;难点:有关补集的综合运算.(三)教学方法
通过示例,尝试发现式学习法;通过示例的分析、探究,培养发现探索一般性规律的能力.(四)教学过程
教学环节 教学内容
师生互动 设计意图 提出问题导入课题 示例1:数集的拓展
示例2:方程(x – 2) (x 2 – 3) = 0的解集. ①在有理数范围内,②在实数范围内.
学生思考讨论.
挖掘旧知,导入新知,激发学习兴趣.
形成概念
1.全集的定义.
如果一个集合含有我们所研究问题
中涉及的所有元素,称这个集合为全集,记作U .示例3:A = {全班参加数学兴趣小组的同学},B = {全班设有参加数学兴趣小组的同学},U = {全班同学},问U 、A 、B 三个集关系如何.2.补集的定义补集:对于一个集合A ,由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集,记作U A .
即U A = {x | x ∈U ,且x A },
Venn 图表示
师:教学学科中许多时候,许 多问题都是在某一范围内进行研究.
如实例1是在实数集范围内不断扩大数集. 实例2:①在有理数范围内求解;②在实数范围内求解. 类似这些给定的集合就是全集.师生合作,分析示例生:①U = A ∪B ,②U 中元素减去A 中元素就构
成B .师:类似②这种运算得到的集合B 称为集合A 的补集,生师合作
交流探究补集的概念.
合作交流,探究新知,了解
全集、补集的含义. 应用举例深化概念 例1 设U = {x | x 是小于9的正整数},A = {1,2,3},B = {3,4,5,6},求U A ,U B .例2 设全集U = {x | x 是三角形},学生先尝试求解,老师指导、点评.例1解:根据题意可知,U = {1,2,3,4,5,6,7,8},所以 U A = {4, 5, 6, 7, 8},加深对补集
概念的理解,初步学会求
集合的补集.
A
U A
U
A = {x|x是锐角三角形},
B = {x | x是钝
角三角形}. 求A∩B,U (A∪B).
U
B = {1, 2, 7, 8}.
例2解:根据三角形的分类可知A
∩B =∅,
A∪B= {x| x是锐角三角形或钝角
三角形},
U
(A∪B) = {x | x是直角三角形}.
性质探究
补集的性质:
①A∪(U A) = U,
②A∩(U A) =∅.
练习1:已知全集U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7},
A={2, 4, 5},B= {1, 3, 5, 7},求A∩
(U B),(U A)∩(U B).
总结:
(U A)∩(U B) = U (A∪B),
(U A)∪(U B) = U (A∩B).
师:提出问题
生:合作交流,探讨
师生:学生说明性质①、②成立的
理由,老师点评、阐述.
师:变式练习:求A∪B,求U (A
∪B)并比较与(U A)∩(U B)的结
果.
解:因为U A = {1, 3, 6, 7},U B =
{2, 4, 6},所以A∩(U B) = {2, 4},
(U A)∩(U B) = {6}.
能力提升. 探
究补集的性
质,提高学生
的归纳能力. 应用举例
例2 填空
(1)若S = {2,3,4},A = {4,3},则
S
A = .
(2)若S = {三角形},B = {锐角三角形},
则S B = .
(3)若S = {1,2,4,8},A =∅,则S A
= .
(4)若U = {1,3,a2 + 3a + 1},A = {1,
3},U A = {5},则a.
(5)已知A = {0,2,4},U A = {–1,
1},U B = {–1,0,2},求B =
.
(6)设全集U = {2,3,m2 + 2m– 3},
A = {|m + 1| ,2},U A = {5},求m.
(7)设全集U = {1,2,3,4},A = {x |
x2– 5x + m = 0,x∈U},求U A、m.
师生合作分析例题.
例2(1):主要是比较A及S的区
别,从而求S A.
例2(2):由三角形的分类找B的
补集.
例2(3):运用空集的定义.
例2(4):利用集合元素的特征.
综合应用并集、补集知识求解.
例2(7):解答过程中渗透分类讨论
思想.
例2(1)解:S A = {2}
例2(2)解:S B = {直角三角形或
钝角三角形}
例2(3)解:S A = S
例2(4)解:a2 + 3a + 1 = 5,
a = – 4或1.
例2(5)解:利用韦恩图由A设U A
先求U = {–1,0,1,2,4},再求B
= {1,4}.
例2(6)解:由题m2 + 2m– 3 = 5
且|m + 1| = 3,
进一步深化
理解补集的
概念. 掌握补
集的求法.
解之m = – 4或m = 2.
例2(7)解:将x = 1、2、3、4代入x2– 5x + m = 0中,m = 4或m = 6,当m = 4时,x2– 5x + 4 = 0,即A = {1,4},
又当m = 6时,x2– 5x + 6 = 0,即A = {2,3}.
故满足条件:U A = {1,4},m = 4;
U
B = {2,3},m = 6.
归纳总结1.全集的概念,补集的概念.
2.U A ={x | x∈U,且x A
∉}.
3.补集的性质:
①(U A)∪A = U,(U A)∩A =∅,
②U∅= U,U U =∅,
③(U A)∩(U B) = U (A∪B),
(U A)∪(U B) = U (A∩B)
师生合作交流,共同归纳、总结,
逐步完善.
引导学生自
我回顾、反
思、归纳、总
结,形成知识
体系.
课后作业 1.1 第四课时习案学生独立完成巩固基础、提升能力
备选例题
例1 已知A = {0,2,4,6},S A = {–1,–3,1,3},S B = {–1,0,2},用列举法写出集合B.
【解析】∵A = {0,2,4,6},S A = {–1,–3,1,3},
∴S = {–3,–1,0,1,2,3,4,6}
而S B = {–1,0,2},∴B =S (S B) = {–3,1,3,4,6}.
例2 已知全集S = {1,3,x3 + 3x2 + 2x},A = {1,|2x– 1|},如果S A = {0},则这样的实数x是否存在?若存在,求出x;若不存在,请说明理由.
【解析】∵S A = {0},∴0∈S,但0∉A,∴x3 + 3x2 + 2x = 0,x(x + 1) (x + 2) = 0,
即x1 = 0,x2 = –1,x3 = –2.
当x = 0时,|2x– 1| = 1,A中已有元素1,不满足集合的性质;
当x= –1时,|2x– 1| = 3,3∈S;当x = –2时,|2x– 1| = 5,但5∉S.
∴实数x的值存在,它只能是–1.
例3 已知集合S = {x | 1<x≤7},A = {x | 2≤x<5},B = {x | 3≤x<7}. 求:
(1)(S A)∩(S B);(2)S (A∪B);(3)(S A)∪(S B);(4)S (A∩B).
【解析】如图所示,可得
A∩B = {x | 3≤x<5},A∪B = {x | 2≤x<7},
S
A = {x | 1<x<2,或5≤x≤7},S
B = {x | 1<x<3}∪{7}.
由此可得:(1)(S A)∩(S B) = {x | 1<x<2}∪{7};
(2)S (A∪B) = {x | 1<x<2}∪{7};
(3)(S A)∪(S B) = {x | 1<x<3}∪{x |5≤x≤7} = {x | 1<x<3,或5≤x≤7};
(4)S (A∩B) = {x | 1<x<3}∪{x | 5≤x≤7} = {x | 1<x<3,或5≤x≤7}.
例4 若集合S = {小于10的正整数},A S
⊆,B S
⊆,且(S A)∩B = {1,9},A∩B = {2},
(S A)∩(S B) = {4,6,8},求A和B.
【解析】由(S A)∩B = {1,9}可知1,9∉A,但1,9∈B,
由A∩B = {2}知,2∈A,2∈B.
由(S A)∩(S B) = {4,6,8}知4,6,8∉A,且4,6,8∉B
下列考虑3,5,7是否在A,B中:
若3∈B,则因3∉A∩B,得3∉A. 于是3∈S A,所以3∈(S A)∩B,这与(S A)∩B = {1,9}相矛盾.
故3∉B,即3∈(S B),又∵3∉(S A)∩(S B),
∴3∉(S A),从而3∈A;同理可得:5∈A,5∉B;7∈A,7∉B.
故A = {2,3,5,7},B = {1,2,9}.
评注:此题Venn图求解更易.。