流体力学龙天渝相似性原理和因次分析

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引入无量纲量 x?、y?、z?、ux?、u?y、 u?z和 p?。它 们与相应的无量纲量之间的关系为：
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z
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?
? gL V2
重力、惯性力、弹性力。
动力相似在力学相似中起着什么作用呢？两惯性
力相似是其他合力作用相似的结果。所以动力相
似是运动相似的保证。
? 第二节 相似准数
一、由动力相似的定义推导相似准则 设想在两相似水流中，取两个相应质点n和m，研究两质点所受黏、重、
压、惯各力。认为水不可压缩，不存在弹性力相似的问题。根据动力 相似条件，有：
F? n ? Fpn ? FGn ? FIn F? m Fpm FGm FIm
由于惯性力相似与运动相似直接相关，我们把以上
的关系写为和惯性力相联系的下列等式：
FPn ? FIn , FGn ? FIn , F? n ? FIn
FPm
F F Im
Gm
FIm F? m
FI m
（10-7）
现在改变上式，将它写成：FPn ? FPm
?p?? ? x?
1 Re
? ? ?
不难证明，加速度比例常数是速度比例常数除以时间比例常数，即
?a
?
?v ?t
?
?
2 v
/ ?l
由此可见，只要速度相似，加速度也必然相似。反之亦然。
?v ? ?a?l 由于流速场的研究是流体力学的首要任务，运动相似通常是模型实验
的目的。
? 三、动力相似
流动的动力相似，要求同名力成比例。这里所提的同名力，指的是同一物 理性质的力。例如重力、黏性力、压力、惯性力、弹性力。所谓同名 力作用，是指原型流动中，如果作用
? 第一节 力学相似性原理 ? 第二节 相似准数 ? 第三节 模型律 ? 第四节 因次分析法
? 第一节 力的相似性原理 一、几何相似 几何相似是指流动空间几何相似。即形成此空间任意 相应两线段夹角相同，任意相应线段长度保持一定的 比例。
在书上图所示的两管流中，模型管流和原型管流几何相似。要求两渐扩管 空间几何相似，必须相应线段夹角相同。 相应的线段长度保持一定的比例，即：
?
P ?V 2
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?
2
u
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z
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2
u
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2
u
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z
z ?2
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此式又可写成：
? ? ?
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u
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x
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u
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y
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Baidu Nhomakorabea
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0
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u
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x
? u x? ? x?
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u
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? u x? ? y?
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z
? u x? ?z?
?
? Eu
3、原型水流和模型水流黏性力和惯性力的相似关系可以写为： Ren ? Rem 注：在高速气流中，弹性力起主导作用。 由此可见，弹性力相似，原型流动和模型流动的马赫数相等，即
Man ? Mam 以上所提出的一系列数：欧拉数，弗汝得数，雷诺数，马赫数 都是反映动力相似的相似准数。欧拉数是压力的相似准数，弗
un1 um1
?
un2 um 2
?
vn vm
?
?
，
v
?
v
称
为
速
度
比
例
常
数
。
有了速度比例常数，和长度比例常数，显然可以根据简单t ? l / v的关系，
得出时间比例常数?t ? ?l / ?v 即时间比例常数是长度比例常数和速度比例常数之比，这个比例常数表
明，原型流动和模型流动实现一个特定流动过程时间之比。
汝得数是重力的相似准数，雷诺数是黏性力的相似准数，马赫 数是弹性力的相似准数。
? 二、由运动微分方程式推导相似准数
由于流体的运动微分方程式反映着惯性力、质量力、压力、黏性力和弹性力等 诸力的平衡关系，因此，我们也可以从运动微分方程式导出相似准数。 为简单起见，我们以重力作用下的黏性不可压缩流体恒定流动为例。
F F In
Im
（10-8）
这样改变的特点，在于使力的比属于同一原型或模型流动。
? 分别对（10-7）式三个等式进行变形推导：分别得到以下 三个结论：
1、原型水流和模型水流压力和惯性力的相似关系可以写为：E un ? Eu m 即原型与模型流动的欧拉数相等。
2、原型水流与模型水流惯性力和重力的相似关系，可以写为： F r n ? F r m
着黏性力、压力、重力、惯性力、弹性力，则模型流动中也同样的作用着 黏性力、压力、重力、惯性力、弹性力。相应的
同名力成比例，是指原型流动和模型流动的同名力成比例，即
F? n ? F pn ? FGn ? F In ? F En
F? m
F pn
FGm
F Im
F Em
式中， ? 、 P 、 G 、 I 、 F 分别表示黏性力、压力、
?x=Lx ?，y=Ly ?， z=Lz ?
?
?ux ? Vux?，u y ? Vu?y，u?z ? Vu?z
? ?
p
?
Pp
式中L、V、P均 为定性量
? 将方程组无量纲化，也即将（１０－１６）式代入（１０
－１５）式，得并整理方程组得：
? ? ?
?
u
?
x
?x?
?
?
u
?
y
?
?y?
?
u
?
z
? z?
?
0
? ? ?
dn dm
?
ln lm
?
?l
这个比例常数，称为长度比例常数。显然，两相应面积之比，
为长度比例的平方，即 An Am
?
?A ?
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2 l
而 相 应 体积 之 比 ，为 长 度 比 例的 立 方 ，即 Vn Vm
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?v
?
?
3 l
几何相似，是力学相似的前提。
? 二、运动相似
两流动运动相似，要求两流动的相应流线几何相似，或说，相应点的流 速大小成比例，方向相同。有：