分数拆分(裂项法)

2008年10月4日 六年级

基本公式：()111n n+1n n 1-+＝； 推广形式：()111n n+d d n n d ⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦

1＝ 例1、计算：11111122334989999100+++++⨯⨯⨯⨯⨯=（1－21）＋（21－31）＋（31－41）＋……＋（991－1001）=1－1001=100

99。 例2、计算：

1111112612203042+++++=76； 例3、计算：1111111357911104088154238340+++++=20

336； 例4、计算：=⨯+++⨯++⨯++⨯+200120002001200043433232212122222222 200120004000 注意：拆分未必拆成两个分数之差，有的时候，需要拆成两个分数之和；可以利用公式：

11m+n m n mn +＝ 例5、计算：1111(1)(1)(1)(1)2233441010

-⨯-⨯-⨯⨯-⨯⨯⨯⨯ (1120)

提示：1n n 1(n 1)(n 1)1n n n n n n

⨯--+-

==⨯⨯⨯。 解：原式＝1324359112233441010⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯……＝111210⨯＝1120 例6、计算：60

59605859586035343602423260131211+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++ = 解答：因为()2

1211121-=-⨯⨯=-+++n n n n n n n n ，所以 ()886

59212

112

592221160

59605859586035343602423260131211=+++⨯+=++++=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++ 【课堂练习】

1. 计算：111116425672-+++=9

8；

2. 计算：11111577991111131315++++⨯⨯⨯⨯⨯=15

1； 3. 计算：15111092612110++++=1119； 4. 计算：222211112141611001++++----=101

50； 5. 计算：=⨯++⨯+⨯+⨯2001199920007565343122222 2001

10001000； 6. 计算：=-+-+-14369956343531523113

3； 7. 计算：=⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯222120143213211 462

115； 8. 计算：=⨯⨯⨯⨯⨯++⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯983218432133212211 362880

362879； 9. 计算：

=++++++3018217714310799857241563742292134； 10. 计算：

109811543643253214⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ =15

17； 11. 请你从111112344950

，，，，，这四十九个分数中挑出七个不同的分数，使它们的和等于1； 21＋61＋121＋201＋421＋301＋71=1