1.3.1 第1,2课时 函数的最大(小)值

2．二次函数在闭区间上的最值 探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y ＝f(x)的草图，然后根据图象的增减性进行研究．特别要注意 二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数 在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在 顶点处取得．
(2)由题意知 y＝1 600x＋1 6x00＋160 000(0＜x≤40)，
设 0＜x1＜x2≤40，则
y1－y2＝1
600x1＋1
x6100－1
600x2＋1
600 x2
＝1
600x1－x2＋1
600x2－x1
x1x2
＝1 600(x1－x2)1－1x61x020
＝1
600(x1－x2)·x1x2－x1x12
思路点拨： 去绝对值符号 ―→ 画分段函数图象 ―→ 得最值情况
解：f(x)＝x＋|x－1|＝21xx－＜11x.≥1， 图象如图所示． 由图象可知，f(x)的最小值为 1，没有最大值．
• 1．利用函数图象求函数最值是求函数最值的常用方法．这种方法以函 数最值的几何意义为依据，对图象易作出的函数求最值较常用．
单调性法求最值
已知函数
f
x
x
1
2
，x∈[3,5]．
(1)判断函数 f(x)的单调性．
(2)求函数 f(x)的最大值和最小值．
思路点拨：
判断fx 的单调性
―→
求出fx 的最值
形如 反比例函数图像的画法 例：画出下列函数的图像
的函数叫反比例型函数。
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10
8 6 4 2 5 2 4 6 8
5
10
15
• 2．图象法求最值的一般步骤：
例 2：二次函数的最值问题
.已知 f(x)=3x2-12x+5,当 f(x)的定义域为下列区间时,求函数 的最大值和最小值.并写出相应的值域。 (1)[0,3];(2)[-1,1];(3)[3,+∞).
二次函数的最值的讨论问题 类型1.轴动区间定
类型2.轴定区间动
600 .
∵0＜x1＜x2≤40，x1－x2＜0，x1x2－1 600＜0，∴y1－y2＞0， 即 y1＞y2.
从而这个函数在(0,40]上是减函数，故当 x＝40 时，ymin＝ 288 000.
∴当池底是边长为 40 m 的正方形时，总造价最低为 288 000 元．
• 【互动探究】 本例(2)中，“不能超过40 m”改为“不能低于50米且不 能超过60米”，结果如何？
第一章 集合与函数概念
1.3 函数的基本性质 1.3.1 单调性与最大(小)值 第1，2课时 函数的最大(小)值
• 1．理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义．(重点) • 2．会求一些简单函数的最大值或最小值．(重点、难点)
如图为函数 y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，指出它的最大值、 最小值，及值域。
例如：
函数最值的实际应用
•
建造一个容积为6 400 m3，深为4 m的长方体无盖蓄水
池，池壁的造价为每平方米200元，池底的造价为每平方米100元．
• (1)把总造价y(元)表示为池底的一边长x(m)的函数．
• (2)由于场地原因，蓄水池的一边长不能超过40 m，问蓄水池的这个底 边长为多少时总造价最低？总造价最低是多少？
• 解：观察函数图象可知，图象上位置最高的点是(3,3)，最低的点是(－ 1.5，－2)，
• 所以函数y＝f(x)当x＝3时取得最大值，最大值是3，当x＝－1.5时取得 最小值，最小值是－2.
• 函数的最大值、最小值
最值
Hale Waihona Puke Baidu最大值
最小值
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
条件 (1) 对 于 任 意 的 x∈I ， 都 有 (1) 对 任 意 的 x∈I ， 都 有
从而这个函数在[50,60]上是增函数，故当 x＝50 时，ymin
＝291 200.∴当池底边长为 50 m 时，总造价最低为 291 200 元．
• 解实际应用题的四个步骤
• (1)审题：解读实际问题，找出已知条件、未知条件，确定自变量和因 变量的条件关系．
• (2)建模：建立数学模型，列出函数关系式．
解：y＝1 600x＋1 6x00＋160 000，x∈[50,60]．
设
50≤x1 ＜ x2≤60 ， 则
y1 － y2 ＝ 1
600
x1＋1
600 x1
－
1
600x2＋1
x6200＝1
600(x1－x2)·x1x2－x1x12
600 .
∵x1－x2＜0，x1x2－1 600＞0，∴y1－y2＜0，即 y1＜y2.
思路点拨： 池底面积 → 池壁面积 → 总造价 →
函数单调性 → 总造价最低值及相应x的值
解：(1)由已知池底的面积为6 4400＝1 600 m2，设底面的一
边长为
x
m，底面的另一
边长
为1
600 x
m，则池壁的面积为
2×4×x＋1
600 x
m2.所以总造价：
y＝1 600x＋1 6x00＋160 000(元)，x∈(0，＋∞)．
__f_(x_)_≤_M____；
__f_(x_)_≥_M____；
(2)存在x0∈I，使__f_(x_0_)＝__M___ (2)存在x0∈I，使_f_(_x0_)_＝__M__
结论 M是函数y＝f(x)的最大值 M是函数y＝f(x)的最小值
图象法求函数最值
• 试画出函数f(x)＝x＋|x－1|的图象，并说明最值 情况．及值域是多少
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2．求函数 f(x)＝x－x 1在区间[2,5]上的最值．
熟悉一些组合的函数的单调性 若f(x)，g(x)都是增函数，h(x)是减函数，则：①在定义域的交集(非 空)上，f(x)＋g(x)单调递增，f(x)－h(x)单调递增，②－f(x)单调递减 ，③ 单调递减(f(x)≠0)．
• (3)求解：分析函数性质，利用数学知识探究问题解法(一定注意自变量 的取值范围)．
• (4)回归：数学问题回归实际问题，写出答案．
1．求最大值、最小值时的三个关注点 (1)利用图象写出最值时，要写最高(低)点的纵坐标而不是 横坐标． (2)单调性法求最值勿忘求定义域． (3)单调性法求最值，尤其是闭区间上的最值，不判断单调 性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求解时一定要 注意．