数学建模作业

摘要
本文通过建立优化模型，探讨了在行走时每秒走几步做功做小的问题。

因为人在行走时做的功是抬高人体重心所需势能与两腿运动所需动能之和。

而人在行走时重心升高可视作是一个定值，所以我们可以通过调节步速来控制两腿运动所需动能。

在我们日常生活中，人行走是少不了的。

建立这个模型的目的就是要解决人要以怎样的步速才能使人在单位时间内做功最少。

必须先分析重心的升高量和人在单位时间内做的功。

再以物理和数学知识求解。

对于问题一，为证明人体重心在行走时升高的高度与人体腿长和步长的关系，通过应用数学中的三角函数得到高度与腿长和步长的关系式，在此使用matlab 软件得到了上升高度与腿长与步长的关系式。

另外为证明了重心上升高度和腿长和步长的关系式与题目要求吻合，我们用到了放缩的数学思想。

对于问题二，首先要将实际问题转化成物理问题，再利用角动量定理和微元法对单位时间内所需动能进行了计算。

对于问题三，为证明在速度v 一定的条件下，每秒行走步数n 时做功最小，我们先通过计算得出所需能量的表达式，根据观察表达式的形式，利用均值不等式证明了结果的正确性。

对于问题四，是在假设质量集中在脚部时所建立数学模型，同样利用均值不等式证明了结果的正确性。

另外，我们给出了不同身高范围的人20秒内做功最小时的行走歩数，例如身高在160-170()cm ，每20秒行走64步最好。

我们进一步地运用了matlab 对最优步数与多走一步或少走一步所消耗的能量进行了分析与比较，并通过能量因数的相关分析，对人在行走时歩数的调整给出了建议。

关键词 优化模型 放缩 微元法 均值不等式 最优步数参考表
一 问题的重述
人行走时作的功是抬高人体重心所需势能与两腿运动所需动能之和。

请尝试建立数学模型，在匀速行走的条件下，讨论每秒走几步作功最小，并且讨论下列问题。

1. 设人的腿长为l,步长为s ，证明人体重心在行走时升高δ
2. 将腿看作均匀直杆，行走看作退绕腰部的转动。

设腿的质量m ，行走速度v ，证明
单位时间所需动能为mv2|6s 。

3. 设人体质量为M ，证明在速度v 一定时每秒行走ml
Mg
n 43=步作功最小。

实际上，M/m~4，l~1m ，分析此结果是否合理。

4. 若腿的质量集中在脚部，行走看作脚的直线运动。

证明结果应为ml
Mg
n 4=
分析此
结果是否合理。

二问题的背景和分析
2.1 背景分析
人的身体在每时每刻都在消耗能量，人在静止不动时，也会由于生命活动消耗一部分能量，而在非静止状态消耗的能量就会更大。

因此，人在步行时消耗的能量就分为生理的和物理的两部分。

为了使人做最小的功行走更长的路程，下面就简单分析一下在不考虑生理耗能的情况下，人应该以怎样的步频才能在单位时间内消耗的能量最少。

而人在单位时间内消耗的能量也就是人行走时所作的功，即抬高人体重心所需势能与两腿运动所需动能之和。

2.2 问题一的分析
对于问题一，观察图可得，可有三角形边与角的关系利用三角函数可以计算出行走时重心最高与最低的状态，通过整理式子可得到重心高度变化值δ的一元二次方程，通过使用matlab软件计算出δ的值，可发现值δ的平方比较小，因此在计算值δ时可以利用放缩的
数学思想进而得到重心升高值，证明了问题一的正确性。

2.3 问题二的分析
对于问题二，将腿看作均匀直杆，行走视为腿绕腰部的转动，我们将得到腿的转动惯量，另在行走速度一定的情况下，我们可以得到角速度，单位时间内所需动能即为单位时间内腿的转动动能。

2.4 问题三的分析
对于问题三，人体质量与腿的质量之比接近一定值。

利用物理学定理我们可以得到单位时间内使身体重心升高所作的功，及其与单位时间内所需动能之和，便是人在单位时间内消耗的能量，利用均值不等式得到n的表达式，证明问题三的正确性。

然后
2.5 问题四的分析
对于问题四，腿的质量集中在脚部，行走过程看作是脚的直线运动，利用动能定理可以得到单位时间内走路所需动能，同样利用势能定理可以得到身体重心升高所做的功，两者相加，便是人在单位时间内消耗的能量，可以使用跟问题三同样的处理方法均值不等式得到最小步数n的表达式
三模型的假设
1. 假设人体的重心在人体的位置保持不变，并且人在步行时是做匀速运动的。

2. 假设在步行过程中保持步长是一定的，而且在步行过程中路面是相对平坦的。

四符号说明
v 人体行走速度 M 人体质量 g
重力加速度 δ
重心升高的高度 l 腿的长度 n 每秒行走步数 m 腿的质量 Wc 两腿行走所需动能 W δ 重心抬高需要的势能
W
总功
五 模型的建立与求解
5.1 模型一的建立与求解
根据题目要求，可近似理解人腿关系如下图一所示：
图一
考虑到人体腿长和步长与身体重心升高的关系，腿长，步长，重心高度可构成直角三角形，利用三角函数可列关系式如下：
cos sin 2l l s l
δθ
θ=-=
解上式方程可得：
22
1
24
l s δδ-=-
通过matlab 软件解得2δ的非常小，可忽略不计，则由
2124l s δ=
可得
2
8s l δ≈
由此可证明问题一是正确的。

5.2 模型二的建立与求解
若将腿看做均匀直杆，腿部的运动可看做绕腰部转动。

则，腿的转动惯量为：
2
13j ml =
角速度为：
v l ω=
步频为：
1v n s ⋅=
则单位时间内腿的转动动能为：
3
21126mv W j n s ω==
由此可证明问题二是正确的。

5.3 模型三的建立与求解
一般情况下，人体质量与腿的质量之比接近一定值a ，即
4M a m =
≈
并且
1l m ≈
即单位时间内使身体重心升高所做的功：
28Mgsv
W Mg n l δ==
因为
12
W W W =+
所以
322868l 68ln
6Mgsv mv Mgs mv Mg mn W v v l s v s ⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 由此可知各项都为正，利用均值不等式得
2
48Mmg
W v l ≥
当且仅当
8ln 6Mg mn
=
时成立，即
n =
所以当v
一定时，
n =
W 最小。

5.4问题四的建立与求解
假设腿的质量集中在脚步，行走看作脚的直线运动，要求我们证明ml
Mg
n 4=。

在此假设下，走一步的动能为22
1mv E k =
重力势能为l
Mgs Mg E p 82
==δ
单位时间内做功为⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+=+=l Mgs mv n nE nE W p k 82122
将n
v
s =带入得nl Mgv mv n W 8222+=
由数学基本不等式得，当nl
Mgv mv n 8222
=时做功最小，解得ml
Mg
n 4=。

此时做功为l
Mmg
v W 4
2
=
，当()m l m M 1,4≈≈时，16.3≈n ，即每秒内行走3.16步。

由问题三的统计数据可知步长大约为()cm 50，则此时步速为()s m v 58.1=，与调查结果比较后发现此结果相对合理。

六、模型的评价
本文所建立的模型，思路清晰明了、简单易懂，但也存在一定的不 足之处，模型稍显理想化，这个模型建立在有一定局限性的假设基 础上，会与实际情况在一定程度上产生偏差。

模型一较为接近于实 际，但求解所得到的结果与实际情况不太符合。

而模型二得到的结 果比较合理，但模型假设与实际相比具有一定程度的局限性。

本文所建立的模型，仍有一定的改进余地。

人的穿着负重在一定程 度上也可影响人的做功。

还可考虑雨雪等天气因素、草地丘陵坡度 等地形因素对问题的影响，使模型更贴近与实际。

本文作为一篇基 于实际的报告，有一定的参考价值。