函数值域解法大全

【函数值域解法大全】

【全文注释】

函数值域为高考函数中最为关键的部分，

也是问题高发的难点板块，

以下全文贯穿高一年级

学过的（六大方法）求函数值域予以展开说明，随后的五种方法会在高二和高三年级陆续进行学习。

【正文】思路提示：求函数值域的方式有（1）观察法（2）配方法（3）换元法（4）分离变量法（5）判别式法（6）单调性法（7）几何法（8）均值不等式法（9）图像（数形结合）法（10）有界性法（11）导数法

温馨提示：标红的为高一年级学过的方法，标黑的高二高三才会学到。一、观察法：【例1】求函数

21x y 的值域

【变式1】（07浙江11)求函数2

21

x y x R x

的值域

二、配方法：

【例2】求函数123)(2

x x

x f 的值域

求函数123)

(2

x x

x f 当]2,0[x

时值域

【变式1】求函数

2

45)(x x x f 的值域

【变式2】求函数)

1(1

1)

(x x x f 的值域

三、换元法：（注意事项：引入新元的取值范围）【例3】【变式1】

【变式2】(10江西6)函数2

sin sin 1y

x x 的值域

【变式3】(10天津10)设函数，则

的值域是（

）

41y x x

2

1y x x

2

()2()g x x x R 4,,g x x x g x

f x

g x

x x

g x

()f x

A.

B.

C.

D.

四、分离常数法：

（精髓：先做分离，再用观察）（快捷方式：y ≠

A B

）

（适用范围：函数形式为齐次分式）【例4】

【变式1】求2

12x x

e

e y

的值域

【变式2】①求函数153x x y

的值域

②求函数)2(1

53x

x x y

的值域

五、判别式法：

（精髓：通过对二次方程的实根的判别求值域）（适用范围：函数形式为二次分式）【例5】求的值域

∵恒成立，∴函数的定义域为。由得：

①

①当即时，①即，∴②当即时，∵时方程恒有实根，

∴△，

∴且，∴原函数的值域为。

六、单调性法：

（精髓：先求定义域，再带入端点）【例6】求函数

11x x y 的值域【变式1】求函数

12y

x

x 的值域.

9,0(1,

)4

[0,)9[

,)4

9,0(2,)

4

312

x y

x 2

2

221

x x

y

x

x 2

10x

x R 2

2

22

1

x x

y

x

x 2

(2)(1)20y x y x

y

20y 2y 30

0x 0

x R

2

0y 2y

x

R 2

(2)(1)20y x y x y 2

2

(1)

4(2)

0y y 1

5y

2y

[1,5]

解：易知函数的定义域为1,

2

当

x 增大时12x 要减小，而

12x 要增大 .

因此，

12y x x 在定义域

1,2

上均为增函数.

11112

22

2

y

即12

y

故，原函数的值域是

1,2

.

【小试身手】

判断下列函数可以用哪种方法求出值域，并求解出来

1. 求函数2

22

2

x

x y

的值域。

2. 函数

的值域。

3.

的值域。

4. 求函数3456

x y

x

的值域。

【能力提升】求函数2cos 2cos x y

x 的值域。

求函数101010

10

x x x

x

y

的值域。

附页：答案

164x

y )13

(log )

(2x

x f

例1、

,

2y 变式1、y ∈

1

,0例2、变式1、y ∈

9,0；变式2、y ∈3

4,

0例3、y ∈

5,；变式1、y ∈

2,1；变式2、y ∈

5,14

；变式3、选D

例4、y ≠3；变式1、,

22,0；变式2、①y ≠3；②

,

33,1例6、y ∈

2

,0小试身手答案1. y ∈

2

,02. y ∈3. y

∈

(0,)

4. y ∈

33,,

5

5能力提升答案

1. 值域为

1,3

3

2. 值域为

,11,

[0,4)