大学物理矢量分析【普通物理学】
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个(co矢m量poAn，en可t)以Ax用、它A在y 直和角Az坐来标表系示中：的三个投影分量 A Axi Ay j Az k
i 、j、k：单位矢量，分别指向三个坐标轴的正向。
在球坐标中的表示：
A AeA 其中：A 为矢量A 的模，eA为指向矢量 A方向的单位
矢量(unit vector)。
dt
dt
dt
(3) d ( A B) A dB dA B
dt
dt dt
(4) d ( A B) A dB dA B
dt
dt dt
一 矢量(vector)
标量(scalar quantity)：只具有大小而没有方向的物理量，我 们把它称之为标量。
矢量：有一种物理量，仅用大小还不能全面的来描述它，还需 要用方向来描述它。
例如说，我们只知道一个人从学校门口走了1公里，就无法确 定他到了什么地方。但如果还知道了他走的方向是正东，我们 就能确定他到了什么地方了。这种既具有大小又具有方向的物 理量，我们把它称之为矢量。
矢量的标积遵守
(1) 交换率： A B B A
(2) 结合率： ( A B) C AC B C
2. 矢量的矢积(vector product) 矢量的矢积也称为矢量的叉乘，定义为：
A B ABsine
其中 e为由 A 和B 根据右手螺旋定则判定的单位矢量。
由矢积的定义得：
i i j j k k 0
矢量与标量的根本区别是有没有方向。
矢量的模(module)：矢量的大小称为矢量的模。矢量 A 的模记为：A 或 | A |。
矢量具有平移不变性(translation invariant)：把矢量 在空间中平移，矢量的大小和方向不会改变，这种性 质称为矢量平移的不变性。
二 矢量的表示 在直角坐标(rectangular coordinates)中的表示：一
(3) 平行或反平行的两矢量的矢积为0。
用坐标分量表示为
A B i ( Ay Bz Az By ) j ( Az Bx AxBz ) k (AxBy Ay Bx )
写成行列式形式为
i jk Байду номын сангаас B Ax Ay Az
Bx By Bz
A B B A
若 A // B ，则 A B 0
A B
四 矢量的标积与矢积 1. 矢量的标积(scalar product) 矢量的标积也称为矢量的点乘，定义为
A B AB cos
标积的定义得： i i j j k k 1
sum)
实质是一 矢量大小 与另一矢 量在其方 向上投影 大小乘积
i j j i i k k i j k k j 0
2. 矢量相减(minus)
由于矢量 B 与 B 方向相反，大小相等，有：
B Bxi By j Bzk
矢量相减
A B ( Axi Ay j Azk ) (Bxi By j Bzk )
( Ax Bx )i ( Ay By ) j ( Az Bz )k
矢量的加减合称为矢量的合成(compose,
方三向个余坐弦标轴(di正re向cti的on夹al 角cosin、e)：和一个称矢为量矢A量与A直的角方坐向标
余弦。显然有：
cos Ax cos Ay
A
A
cos Az
A
用方向余 弦表示
A A(cosi cos j cos k )
三 矢量的合成 1. 矢量相加(addition)
A B ( Axi Ay j Azk ) (Bxi By j Bzk ) ( Ax Bx )i ( Ay By ) j ( Az Bz )k
i j k jk i k i j
j i k k j i i k j
记忆方式
i j k i j k i j k
正向叉乘为正，逆向叉乘为负。
叉乘具有以下性质：
(1) 不遵守交换率： A B B A
注意坐 标轴的 右手螺 旋定则
(2) 遵守分配率： C ( A B) C A C B
B AB sinq
q A
矢量A 与B的叉积
若 A B ，则 A B AB
五 矢量的微积分
1. 矢量的微分(differential)
只要把矢量的性质应用于标量的导数公式即可：
(1) d ( A B) dA dB
dt
dt dt
(2) d[ f (t) A] df (t) A f (t) dA
i 、j、k：单位矢量，分别指向三个坐标轴的正向。
在球坐标中的表示：
A AeA 其中：A 为矢量A 的模，eA为指向矢量 A方向的单位
矢量(unit vector)。
dt
dt
dt
(3) d ( A B) A dB dA B
dt
dt dt
(4) d ( A B) A dB dA B
dt
dt dt
一 矢量(vector)
标量(scalar quantity)：只具有大小而没有方向的物理量，我 们把它称之为标量。
矢量：有一种物理量，仅用大小还不能全面的来描述它，还需 要用方向来描述它。
例如说，我们只知道一个人从学校门口走了1公里，就无法确 定他到了什么地方。但如果还知道了他走的方向是正东，我们 就能确定他到了什么地方了。这种既具有大小又具有方向的物 理量，我们把它称之为矢量。
矢量的标积遵守
(1) 交换率： A B B A
(2) 结合率： ( A B) C AC B C
2. 矢量的矢积(vector product) 矢量的矢积也称为矢量的叉乘，定义为：
A B ABsine
其中 e为由 A 和B 根据右手螺旋定则判定的单位矢量。
由矢积的定义得：
i i j j k k 0
矢量与标量的根本区别是有没有方向。
矢量的模(module)：矢量的大小称为矢量的模。矢量 A 的模记为：A 或 | A |。
矢量具有平移不变性(translation invariant)：把矢量 在空间中平移，矢量的大小和方向不会改变，这种性 质称为矢量平移的不变性。
二 矢量的表示 在直角坐标(rectangular coordinates)中的表示：一
(3) 平行或反平行的两矢量的矢积为0。
用坐标分量表示为
A B i ( Ay Bz Az By ) j ( Az Bx AxBz ) k (AxBy Ay Bx )
写成行列式形式为
i jk Байду номын сангаас B Ax Ay Az
Bx By Bz
A B B A
若 A // B ，则 A B 0
A B
四 矢量的标积与矢积 1. 矢量的标积(scalar product) 矢量的标积也称为矢量的点乘，定义为
A B AB cos
标积的定义得： i i j j k k 1
sum)
实质是一 矢量大小 与另一矢 量在其方 向上投影 大小乘积
i j j i i k k i j k k j 0
2. 矢量相减(minus)
由于矢量 B 与 B 方向相反，大小相等，有：
B Bxi By j Bzk
矢量相减
A B ( Axi Ay j Azk ) (Bxi By j Bzk )
( Ax Bx )i ( Ay By ) j ( Az Bz )k
矢量的加减合称为矢量的合成(compose,
方三向个余坐弦标轴(di正re向cti的on夹al 角cosin、e)：和一个称矢为量矢A量与A直的角方坐向标
余弦。显然有：
cos Ax cos Ay
A
A
cos Az
A
用方向余 弦表示
A A(cosi cos j cos k )
三 矢量的合成 1. 矢量相加(addition)
A B ( Axi Ay j Azk ) (Bxi By j Bzk ) ( Ax Bx )i ( Ay By ) j ( Az Bz )k
i j k jk i k i j
j i k k j i i k j
记忆方式
i j k i j k i j k
正向叉乘为正，逆向叉乘为负。
叉乘具有以下性质：
(1) 不遵守交换率： A B B A
注意坐 标轴的 右手螺 旋定则
(2) 遵守分配率： C ( A B) C A C B
B AB sinq
q A
矢量A 与B的叉积
若 A B ，则 A B AB
五 矢量的微积分
1. 矢量的微分(differential)
只要把矢量的性质应用于标量的导数公式即可：
(1) d ( A B) dA dB
dt
dt dt
(2) d[ f (t) A] df (t) A f (t) dA