考研数学(二)题库(高等数学)-第八章 常微分方程【圣才出品】

2．设 y＝f（x）是 y″－2y′＋4y＝0 的一个解，若 f（x0）＞0 且 f′（x0）＝0，则 f（x） 在点 x0 处（ ）。
A．取得极大值 B．某邻域内单调递增 C．某邻域内单调递减 D．取得极小值 【答案】A 【解析】因为 y＝f（x）是微分方程 y″－2y′＋4y＝0 的一个解，故对于 x＝x0，有 f″ （x0）－2f′（x0）＋4f（x0）＝0。又因为 f′（x0）＝0，f（x0）＞0，可得 f″（x0）＜0， 故函数在 x＝x0 处取极大值。故应选（A）。
11．设 y1＝excos2x，y2＝exsin2x 都是方程 y″＋py′＋qy＝0 的解，则（ ）。 A．p＝2，q＝5 B．p＝－2，q＝5 C．p＝－3，q＝2 D．p＝2，q＝2
B．1/β＋1/α ＝1
C．1/α －1/β＝1
D．1/β＋1/α ＝－1
【答案】A
【解析】将 y＝zm 代入微分方程，则有 mzm－1dz/dx＝axα＋bzmβ，
dz ax bzm a+ bzm x
dx
mz m1
mzm1 x
根据题意 dz/dx＝f（z/x），因此可得到 mβ＝α，m－1＝α，即 1/β－1/α＝1 故应选
8．一曲线在其上任一点的切线的斜率为－2x/y，则此曲线是（ ）。 A．直线 B．抛物线 C．椭圆 D．圆 【答案】C 【解析】由题意可知，y′＝－2x/y，解此一阶微分方程得 y2/2＝－x2＋c，即曲线为椭 圆。
9．微分方程 xdy－ydx＝y2eydy 的通解为（ ）。
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【解析】由题意可得－1＋i 为特征方程 λ2＋aλ＋b＝0 的根，故（i－1）2＋a（i－1） ＋b＝0。可得 a＝2，b＝2，故应选（D）。
5．若用代换 y＝zm 可将微分方程 y′＝axα＋byβ（αβ≠0）化为一阶齐次方程 dz/dx＝f
（z/x），则 α，β 应满足的条件是（ ）。
A．1/β－1/α ＝1
4．如果二阶常系数非齐次线性微分方程 y″＋ay′＋by＝e－xcosx 有一个特解 y*＝e－x （xcosx＋xsinx），则（ ）。
A．a＝－1，b＝1 B．a＝1，b＝－1 C．a＝2，b＝1 D．a＝2，b＝2 【答案】D
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第八章 常微分方程
一、选择题 1．微分方程 y（4）－y＝ex＋3sinx 的特解可设为（ ）。 A．Aex＋Bcosx＋Csinx B．Axex＋Bcosx＋Csinx C．x（Aex＋Bcosx＋Csinx） D．Aex＋Bsinx 【答案】C 【解析】因为该非齐次微分方程的自由项为 f（x）＝ex＋3sinx，而 1，i 为特征方程 λ4 －1＝0 的一次特征根，故特解形式为选项（C）中所示。
10．微分方程 y″－4y′＋5y＝0 的通解为（ ）。 A．ex（C1cos2x＋C2sin2x） B．C1e－x＋C2e5x C．e2x（C1cosx＋C2sinx） D．C1ex＋Ce－5x 【答案】C 【解析】原微分方程为齐次方程，其对应的特征方程为 r2－4r＋5＝0，解得 r＝2±i。 故方程通解为 y＝e2x（C1cosx＋C2sinx）。
【解析】∫（ex＋y＋ex）dx＝ex＋y＋ex＋f（y），∫（ex＋y－ey）dy＝ex＋y－ey＋g（x）， 故 f（y）＝－ey，g（x）＝ex。（ex＋y＋ex）dx＋（ex＋y－ey）dy＝d（ex＋y＋ex－ey＋C）。
7．方程 dy/dx＝y/x＋tan（y/x）的通解为（ ）。 A．sin（x/y）＝Cx B．sin（y/x）＝Cx C．sin（y/x）＝C/x D．sin（y/x）＝x＋C 【答案】B 【解析】原微分方程为 dy/dx＝y/x＋tan（y/x）。令 y/x＝u，则可变形为 u＋xdu/dx ＝u＋tanu，解得方程通解为 sinu＝sin（y/x）＝Cx。
（A）。
6．微分方程（ex＋y＋ex）dx＋（ex＋y－ey）dy＝0 的通解是（ ）。 A．（1－ex）（1＋ey）＝C B．（1＋ex）（1－ey）＝C C．ey＝C（1－ex）－1 D．ey＝1－C（1＋ex） 【答案】A
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A．y＝x（ex＋C）
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B．x＝y（ey＋C）
C．y＝x（C－ex）
D．x＝y（C－ey）
【答案】D
【解析】原微分方程 xdy－ydx＝y2eydy，变形可得（xdy－ydx）/y2＝eydy，即－d
（x/y）＝d（ey），积分得－x/y＝ey－C。即 x＝y（C－ey）就是微分方程的通解。
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3．已知曲线 y＝y（x）经过原点，且在原点的切线平行于直线 2x－y－5＝0，而 y（x） 满足 y″－6y′＋9y＝e3x，则 y（x）等于（ ）。
A．sin2x B．x2e2x/2＋sin2x C．x（x＋4）e3x/2 D．（x2cosx＋sin2x）e3x 【答案】C 【解析】曲线所满足的非齐次微分方程对应齐次方程的特征方程为 λ2－6λ＋9＝0，故 特征根为 λ＝3（二重）。故齐次方程的通解为 y0（x）＝（C1＋C2x）e3x 设非齐次方程的 特解为 Ax2e3x，代入微分方程，可得 A＝1/2，故非齐次方程的通解为 y（x）＝（C1＋C2x） e3x＋x2e3x/2。又因为曲线过原点，故 y（0）＝0；曲线在原点的切线平行于直线 2x－y－5 ＝0，故 y′（0）＝2。根据初值条件 y（0）＝0，y′（0）＝2，可得 C1＝0，C2＝2。故非 齐次方程的通解为 y（x）＝2xe3x＋x2e3x/2＝x（x＋4）e3x/2。故应选（C）。