基本初等函数经典总结

第十二讲基本初等函数

:教学目标

1、掌握基本初等函数(指数函数、对数函数、幂函数)的基本 性质；

2、理解基本初等函数的性质；

3、掌握基本初等函数的应用，特别是指数函数与对数函数 二：教学重难点 教学重点：基本初等函数基本性质的理解及应用； 教学难点：基本初等函数基本性质的应用

y a x

(a - 0 a")

三：知识呈现 1.指数与指数函数 1).指数运算法则:

ab 「=a r

b r

；

(1)

r ・s

(2) a 「s

= a” ；

m

(4) a n =n

./；

(5) a

_1_

n ： m

v a

⑹厂：a ；奇偶

2. 对数函数 1) 对数的运算： 1、 互化：a 13

= N = b =log a N

2、 恒等：a logaN

二 N

3、 换底：loga^log^b

log c a

推论 1 log a b

1

—

推论 2 log a b • log b c = log a c

log b a

推论 3 lo g a m

b n =十 log a b (m = 0) 4、 l og a MN = log a M 亠 log a N

M

log a log a M — log a N

N

5、 l og a M n = n log a M 2) 对数函数：

3. 幂函数

一般地，形如y=x a（a，R ）的函数叫做

幂函数，其中a是常数

1）性质：

（1）所有的幂函数在（0,+ ）都有定义，

并且图象都通过点(1,1);

(2) 如果a>0,则幂函数图象通过(0, 0),并且

在区间［0,+ a) 上是增函数；

⑶如果aVO,则幂函数在区间(0,+ 00)上是减函数，在第一一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴，当x趋于+0时，图象在x轴上方无限逼近x轴。

四：典型例题

考点一：指数函数

例1 已知(a2 3 2骑.a f a 2 “5)贝U X的取值范围是

解：令t =a x，则t 0，函数y =a2x - 2a x -1 可化为y =(t • 1)2 _ 2，其对称轴为t —.

•当a 1时，T 1-1,1 ],

• 1W a x W a , a即丄W t W a .

a

分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围.

解: V a2 2a 5 =(a 1)2 4 > 4 1 ,

二函数y = (a2 2a 5)x在(-a , a)上是增函数，

••• 3x.1-x，解得x丄..I x的取值范围是-,o.

•当t.a 时，

2

y max = (a 1) —2

=14 .

解得a =3或a"(舍去)； 当 0 :::a ：：：1 时，T x ：二[-1,1 .1

a W a x W -，即 a W t W -,

a a

f 1

〒

--t =丄时，y max 1 -2 =14 , a

a

解得a 」或a=」(舍去)，：a 的值是3或-.

3

5

3

评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运 用，比如：换元法，整体代入等.

例3求函数y “匸产的定义域和值域.

解：由题意可得1 —6心＞ 0，即6心W 1 , • x —2 W 0，故x W 2 .

•函数f(x)的定义域是 4,2 ].

令t =6心，则y = r^ ,

又T x W 2 , • x —2 W 0 . • 0 ：：：6x ，W 1，即 0 ::: t W 1 . • 0 W 1 —t ：：:1 ，即 0 W y ：:：1 . •函数的值域是1.0,1 .

评注：利用指数函数的单调性求值域时， 要注意定义域对它 的影响.

” x 2 ；x42

例4求函数y = 1 的单调区间.

13丿

分析 这是复合函数求单调区间的问题

-U

u

可设y = 1 ； ,u = x2-3x+2，其中y = 1 ；为减函数

13丿 ©丿

••• u = x2-3x+2的减区间就是原函数的增区间（即减减-增） u = x2-3x+2的增区间就是原函数的减区间（即减、增-减） 解：设 y = 1 i ,u = x2-3x+2,y 关于 u 递减，

当x € （- x, 3）时，u 为减函数，

2

二y 关于x 为增函数；当x €[ 3 , +x ）时，u 为增函数，y

2

关于x 为减函数.

考点二：对数函数 例5

求下列函数的定义域

(1) y ： =log2 (x2-4x-5 );

(2) y ：

=logx+1 (16-4x )

- 4

(3)

y ：

=- 一二-

解：(1)令 x2-4x-5 > 0,得(x-5 ) (x+1 )> 0, 故定义域为 {x | x v -1，或x >5}.

⑵令

故所求定义域为{ x | -1 v X V 0,或O v x v 2}.

-4>o

故所求定义域为

{x | x v -1-厂」，或-1- v x v -3,或 x > 2}. 说明

求与对数函数有关的定义域问题， 首先要考虑，真数

大于零.底数大于零不等于 1,若处在分母的位置，还要考虑不 能使分母为零.

例6

比较大小：

(1) logO . 71. 3 和 logO . 71. 8. (2) (lgn ) 1. 7 和(lgn ) 2 (n > 1). (3) log23 和 log53 . (4) log35 和 log64 .

解：(1)对数函数y=logO . 7x 在(0, +x)内是减函数.因 为1 . 3v 1. 8,所以

logO . 71 . 3>logO . 71 . 8 .

(2)把lgn 看作指数函数的底，本题归为比较两个指数函数 的函数值的大小，故需对底数lgn 讨论.

'16 -41 >0 0

x<2 > T

(3)令

心+ 2孟-3>D

lg (宀 2“3W