《函数的单调性与奇偶性》教学设计
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1.3《函数的单调性与奇偶性》教学设计
【教学目标】
1. 理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念；掌握增（减）函数的证明和判别；学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
2.理解函数单调性的概念及证明方法、判别方法，理解函数的最大（小）值及其几何意义；
3. 理解奇函数、偶函数的概念及图象的特征，能熟练判别函数的奇偶性.
【提示】由 为偶函数，得b＝0.又定义域为［ ］，∴ ，∴ ．故答案为A.
例5判断下列函数的奇偶性：
（1） ；(2) ；
（3） ；（4） .
解：（1）由 ，得定义域为 ，关于原点不对称，∴ 为非奇非偶函数.
(2) ，∴ ∴ 既是奇函数又是偶函数.
（3）由 得定义域为 ，∴ ，
∵ ， ∴ 为偶函数.
（4）当 时， ，则 ，当 时， ，则 ，综上所述，对任意的 ，都有 ，∴ 为奇函数.
（二）具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称.
例4（1）下面四个结论中，正确命题的个数是（A）
①偶函数的图象一定与y轴相交；②函数 为奇函数的充要条件是 ；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f（x）=0（x∈R）.
A．1B．2C．3D．4
【导入新课】
1.通过对函数 、 、 及 的观察提出有关函数单调性的问题.
2．阅读教材明确单调递增、单调递减和单调区间的概念.
3.实践活动：取一张纸，在其上画出平面直角坐标系，并在第一象限任画一可作为函数图象的图形，然后按如下操作并回答相应问题：
①以y轴为折痕将纸对折，并在纸的背面（即第二象限）画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形；
（1）证明：令 ，可得 ，从而，f(0) = 0.令 ，可得 ，即 ，故 为奇函数.
（2）证明：设 ∈R，且 ，则 ，于是 ．从而 .所以， 为减函数.
（3）解：由（2）知，所求函数的最大值为 ，最小值为 . ， .于是， 在[-3，6]上的最大值为2，最小值为-4.
课堂小结
1.单调递增、单调递减和单调区间的概念及判定方法.
减函数：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数.
例1如图是定义在闭区间[-5，5]上的函数 的图象，根据图象说出 的单调区间，及在每一单调区间上， 是增函数还是减函数.
②以y轴为折痕将纸对折，然后以x轴为折痕将纸对折，在纸的背面（即第三象限）画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形：
问题：将第一象限和第三象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系？
例6若奇函数 是定义在（ ，1）上的增函数，试解关于 的不等式： .
解：由已知得 ，因f(x)是奇函数，故 ，于是 .又 是定义在（ 1，1）上的增函数，从而
，即不等式的解集是 .
例7已知定义在R上的函数 对任意实数 、 ，恒有 ，且当 时， ，又 .
（1）求证： 为奇函数；（2）求证： 在R上是减函数；（3）求 在[ ，6]上的最大值与最小值.
答案：（1）可以作为某个函数y=f(x)的图象，并且它的图象关于原点对称；
（2）若点（x，f(x)）在函数图象上，则相应的点（－x，－f(x)）也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标也一定互为相反数.
新授课阶段
一、函数的单调性
增函数：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数；
2.求函数最值的常用方法有：
（1）配方法：即将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的最值.
（2）换元法：通过变量式代换转化为求二次函数在某区间上的最值.
（3）数形结合法：利用函数图象或几何方法求出最值.
.
所以， 在R上是增函数.
例3证明函数 在 上是减函数.
证明：设 是 上的任意两个实数，且 ，则
.
由 ，得 ，且 .
于是 .
所以， 在 上是减函数.
利用定义证明函数单调性的步骤：
（1）取值；
（2）计算 、 ；
（3）对比符号；
（4）结论.
二、奇函数、偶函数的概念：
1．偶函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数.
2．奇函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数.
注意：
①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；
②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）.
【提示】①不对，如函数 是偶函数，但其图象与 轴没有交点；②不对，因为奇函数的定义域可能不包含原点；③正确；④不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f（x）=0〔x∈（－ ， ）〕，答案为A.
（2）已知函数 是偶函数，且其定义域为［ ］，则（ ）
A． ，b＝0 B． ，b＝0C． ，b＝0 D． ，b＝0
解：函数 的单调区间有 ，
其中 在区间 ， 上是减函数，在区间 上是增函数.
注意：1.单调区间的书写
2．各单调区间之间的关系
以上是通过观察图象的方法来说明函数在某一区间的单调性，是一种比较粗略的方法，那么，对于任给函数，我们怎样根据增减函数的定义来证明它的单调性呢？
例2证明函数 在R上是增函数.
证明：设 是R上的任意两个实数，且 ，则 ，
问题：将第一象限和第二象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系？
答案Fra Baidu bibliotek（1）可以作为某个函数y=f(x)的图象，并且它的图象关于y轴对称；
（2）若点（x，f(x)）在函数图象上，则相应的点（－x，f(x)）也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等.
【教学目标】
1. 理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念；掌握增（减）函数的证明和判别；学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
2.理解函数单调性的概念及证明方法、判别方法，理解函数的最大（小）值及其几何意义；
3. 理解奇函数、偶函数的概念及图象的特征，能熟练判别函数的奇偶性.
【提示】由 为偶函数，得b＝0.又定义域为［ ］，∴ ，∴ ．故答案为A.
例5判断下列函数的奇偶性：
（1） ；(2) ；
（3） ；（4） .
解：（1）由 ，得定义域为 ，关于原点不对称，∴ 为非奇非偶函数.
(2) ，∴ ∴ 既是奇函数又是偶函数.
（3）由 得定义域为 ，∴ ，
∵ ， ∴ 为偶函数.
（4）当 时， ，则 ，当 时， ，则 ，综上所述，对任意的 ，都有 ，∴ 为奇函数.
（二）具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称.
例4（1）下面四个结论中，正确命题的个数是（A）
①偶函数的图象一定与y轴相交；②函数 为奇函数的充要条件是 ；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f（x）=0（x∈R）.
A．1B．2C．3D．4
【导入新课】
1.通过对函数 、 、 及 的观察提出有关函数单调性的问题.
2．阅读教材明确单调递增、单调递减和单调区间的概念.
3.实践活动：取一张纸，在其上画出平面直角坐标系，并在第一象限任画一可作为函数图象的图形，然后按如下操作并回答相应问题：
①以y轴为折痕将纸对折，并在纸的背面（即第二象限）画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形；
（1）证明：令 ，可得 ，从而，f(0) = 0.令 ，可得 ，即 ，故 为奇函数.
（2）证明：设 ∈R，且 ，则 ，于是 ．从而 .所以， 为减函数.
（3）解：由（2）知，所求函数的最大值为 ，最小值为 . ， .于是， 在[-3，6]上的最大值为2，最小值为-4.
课堂小结
1.单调递增、单调递减和单调区间的概念及判定方法.
减函数：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数.
例1如图是定义在闭区间[-5，5]上的函数 的图象，根据图象说出 的单调区间，及在每一单调区间上， 是增函数还是减函数.
②以y轴为折痕将纸对折，然后以x轴为折痕将纸对折，在纸的背面（即第三象限）画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形：
问题：将第一象限和第三象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系？
例6若奇函数 是定义在（ ，1）上的增函数，试解关于 的不等式： .
解：由已知得 ，因f(x)是奇函数，故 ，于是 .又 是定义在（ 1，1）上的增函数，从而
，即不等式的解集是 .
例7已知定义在R上的函数 对任意实数 、 ，恒有 ，且当 时， ，又 .
（1）求证： 为奇函数；（2）求证： 在R上是减函数；（3）求 在[ ，6]上的最大值与最小值.
答案：（1）可以作为某个函数y=f(x)的图象，并且它的图象关于原点对称；
（2）若点（x，f(x)）在函数图象上，则相应的点（－x，－f(x)）也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标也一定互为相反数.
新授课阶段
一、函数的单调性
增函数：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数；
2.求函数最值的常用方法有：
（1）配方法：即将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的最值.
（2）换元法：通过变量式代换转化为求二次函数在某区间上的最值.
（3）数形结合法：利用函数图象或几何方法求出最值.
.
所以， 在R上是增函数.
例3证明函数 在 上是减函数.
证明：设 是 上的任意两个实数，且 ，则
.
由 ，得 ，且 .
于是 .
所以， 在 上是减函数.
利用定义证明函数单调性的步骤：
（1）取值；
（2）计算 、 ；
（3）对比符号；
（4）结论.
二、奇函数、偶函数的概念：
1．偶函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数.
2．奇函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数.
注意：
①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；
②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）.
【提示】①不对，如函数 是偶函数，但其图象与 轴没有交点；②不对，因为奇函数的定义域可能不包含原点；③正确；④不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f（x）=0〔x∈（－ ， ）〕，答案为A.
（2）已知函数 是偶函数，且其定义域为［ ］，则（ ）
A． ，b＝0 B． ，b＝0C． ，b＝0 D． ，b＝0
解：函数 的单调区间有 ，
其中 在区间 ， 上是减函数，在区间 上是增函数.
注意：1.单调区间的书写
2．各单调区间之间的关系
以上是通过观察图象的方法来说明函数在某一区间的单调性，是一种比较粗略的方法，那么，对于任给函数，我们怎样根据增减函数的定义来证明它的单调性呢？
例2证明函数 在R上是增函数.
证明：设 是R上的任意两个实数，且 ，则 ，
问题：将第一象限和第二象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系？
答案Fra Baidu bibliotek（1）可以作为某个函数y=f(x)的图象，并且它的图象关于y轴对称；
（2）若点（x，f(x)）在函数图象上，则相应的点（－x，f(x)）也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等.