第5章二元一次方程组

第五章 二元一次方程组

5.1认识二元一次方程组

专题 二元一次方程组解的规律探究

1. 下表反映了按一定规律排列的方程组和它们的解的对应关系：

方程组的序号

方程组1

方程组2

方程组3

…

方程组n

（n 为正整数）

方程组

⎩⎨

⎧=-=+4

232y x y x ，

⎩⎨

⎧=-=+16452y x y x ，

⎩⎨⎧=-=+36672y x y x ，

…

⎩⎨⎧()() 方程组的解 ⎩⎨⎧()

() ⎩⎨

⎧-==3

4y x ，

⎩⎨

⎧-==5

6y x ，

…

⎩⎨⎧()

() （1）写出方程组1的求解过程；

（2）请依据方程组和它们的解的变化规律，直接写出方程组n 和它的解．（n 为正整数）

2. 下列是按一定的规律排列的方程组和它的解的解集的对应关系图，若方程组集合中的方

程组自左向右依次记作方程组1，方程组2，方程组3，…，方程组n.

（1）将方程组1的解填入图中；

（2）请依据方程组和它的解的变化规律，将方程组n 和它的解直接填入集合图中（注意：

1-n 2

=(1+n)(1-n)； （3）若方程组⎩⎨⎧=-=+161my x y x ，的解是⎩⎨⎧-==，

，

910y x 求m 的值，并判断该方程组是否符合题中的

规律．

答案：

1．解：（1）⎩⎨⎧2x ＋y ＝3 ①

x-2y ＝4 ②

，

由②得x=2y+4．③

把③代入①，得2(2y+4)+y=3． 解得y=-1．

把y=-1代入③,得x=2． 所以方程组1的解为⎩⎨

⎧-==.

12y x ，

（2）方程组n 为⎩⎨⎧=-+=+,

42,

1222

n ny x n y x 它的解为⎩⎨

⎧-==.

21,

2n y n x

2．解：（1）依次填：1,0.

（2）依次填：x+y=1,x-ny=n 2,n,1-n.

5.2解二元一次方程组

专题 解二元一次方程组的探究性问题 1. 若关于x ，y 的二元一次方程组 ⎩⎨

⎧=+=-10

2y mx y x ，

的解均为正整数，m 也是正整数，则满足

条件的所有m 值的和为__________.

2. 上数学课时，陈老师让同学们解一道关于x 、y 的方程组⎩

⎨⎧=--=+)2(142)1(53，，

by x y ax 并请小方和

小龙两位同学到黑板上板演.可是小方同学看错了方程（1）中的a ，得到方程组的解为

⎩⎨⎧==，，23y x 小龙同学看错了方程(2)中的b ，得到方程组的解为⎩

⎨⎧-=-=，，

12y x 你能按正确的a 、 b 值求出方程组的解吗？请试一试.

3．三个同学对问题“若方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是3

4x y =⎧⎨=⎩，求方程组1112

22325325a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的

解.”提出各自的想法.甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的

系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替换的方法来解决”.参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是多少？

2．解：由题意得方程组⎩⎨

⎧=⨯，－

14232b 解得⎩⎨⎧-=，4b

代入原方程组，得⎩⎨⎧=+-=+，，144253y x y x 解得⎩⎨⎧-==

.

1231y x ，

3．解：根据方程组解的定义,将3

4x y =⎧⎨=⎩代入方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩,得⎩⎨⎧=+=+，，22

2

1114343c b a c b x a

再根据丙同学的提示，将第二个方程组的两个方程的两边都除以5得

5.3鸡兔同笼

1.如图，在3×3的方阵图中，填写了一些数和代数式（其中每个代数式都表示一个数）使得每行的3个数，每列的3个数，斜对角的3个数之和均相等．

（1）求x，y的值；

（2）画图完成此方阵图．

2. 有三把梯子，分别是五步梯、七步梯、九步梯，每攀沿一步阶梯上升的高度是一致的．每

把梯子的扶杆长（即梯长）、顶档宽、底档宽如图所示，并把横档与扶杆榫合处称作连接点（如点A）．

（1）通过计算，补充填写下表：

梯子种类两扶杆总长（米）横档总长（米）连接点数（个）

五步梯 4 2.0 10

七步梯

九步梯

（2）一把梯子的成本由材料费和加工费组成，假定加工费以每个连接点1元计算，而材料费中扶杆的单价与横档的单价不相等（材料损耗及其它因素忽略不计）．现已知一把五步梯、七步梯的成本分别是26元、36元，试求出一把九步梯的成本．

答案：

1．解：（1）由题意，得⎩⎨⎧++=-+--++=++，，x x y x y y x x 43223243解得⎩⎨⎧=-=.

21y x ，

（2）如图.

2．解：（1）七步梯、九步梯的扶杆长分别是5米、6米； 横档总长分别是：

21×（0.4+0.6）×7=3.5(米)、2

1

（0.5+0.7）×9=5.4(米)； 连接点个数分别是14个、18个.故依次填入:5,3.5,14,6,5.4,18.

（2）设扶杆单价为x 元/米，横档单价为y 元/米， 依题意得⎩⎨

⎧=⨯++=⨯++，，361415.352610124y x y x 解得⎩

⎨⎧==.23y x ，

故九步梯的成本为6×3+5.4×2+1×18=46.8（元），

答：一把九步梯的成本为46.8元．