专题研究(一元二次方程应用)

一元二次方程实际应用题型分析与解题策略研究

初2019级数学组张祖全

一、背景分析

方程与不等式是初中数学的核心内容之一。重庆中考试题在2014年、2016年、2017年、2018年的解答题中，均考查了一元二次方程的实际应用，突出考查了方程与不等式的建模能力、分析与解决实际问题的能力，满分10分。

二、题型结构分析

重庆中考试题在2014年A卷，2016年、2017年、2018年（A、B卷相同）的解答题第23题中，均考查不等式与方程的综合应用，问题设置两问，题型结构都是“一元一次不等式”+“一元二次方程（带百分号）”；

重庆中考试题在2014年B卷，题型结构是“一元一次方程（或二元一次方程组）”+“一元一次不等式（带百分号）”。

有的学校模拟试题中，题型结构还有“分式方程”+“一元二次方程（带百分号）”；也有“分式方程”+“一元一次不等式（带百分号）”。

根据重庆市中考试题“三年一周期”的特点，2018年是新一轮周期的第一年，因此，在备考2019年的中考时，不等式与方程的综合实际应用仍是掌握的重点。

三、题型示例与解题策略研究

1、中考题型示例：

例1.（2017年•重庆）某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产．

（1）该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400千克，其中枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克？

（2）该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售，该果农去年樱桃的市场销售量为100千克，销售均价为30元/千克，今年樱桃的市场销售量比去年减少了m%，销售均价与去年相同；该果农去年枇杷的市场销售量为200千克，销售均价为20元/千克，今年枇杷的市场销售量比去年增加了2m%，但销售均价比去年减少了m%，该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求m的值．

第1问【解答策略】

1、正确建立不等式模型是关键（根据中考评分要求：用方程模型求解不得分）

2、正确解不等式是得分重点（有时根据实际意义需求整数解）

3、规范解题格式，是本题获取满分的必备前提。

4、评分标准：设未知数，列不等式……2分；解不等式正确……1分；答……1分，共4分. 解：（1）设该果农今年收获樱桃x千克，

根据题意得：400﹣x≤7x，

解得：x≥50，

答：该果农今年收获樱桃至少50千克；

第2问【解答策略】

1、正确建立方程模型是关键（找出等量关系）

2、用列表法分析数量关系是重要方法；

3、用换元法解方程是重要技巧；

4、对一元二次方程根的取舍是重要因素；

5、下结论是必不可少的步骤.

6、评分标准：正确列出方程……3分；正确解方程，并对根取舍……2分，下结论……1分，共6分。

【分析】列表分析数量关系：

相等关系：今年的销售总金额=去年的销售总金额

100（1﹣m%）×30+200×（1+2m%）×20（1﹣m%）=100×30+200×20

解方程技巧：

技巧一：用换元法

令m%=y，原方程可化为：3000（1﹣y）+4000（1+2y）（1﹣y）=7000

技巧二：化简系数……方程两边同除以1000

（2）由题意可得：

100（1﹣m%）×30+200×（1+2m%）×20（1﹣m%）=100×30+200×20，

令m%=y，原方程可化为：3000（1﹣y）+4000（1+2y）（1﹣y）=7000，

整理可得：8y2﹣y=0

解得：y1=0，y2=0.125

∴m 1=0（舍去），m 2=12.5

∴m 的值为12.5．

2、模拟题型示例：

例2、（2016•重庆八中二诊）一玩具城以49元/个的价格购进某种玩具进行销售，并预计

当

售价为50元/个时，每天能售出50个玩具，且在一定范围内，当每个玩具的售价平均每提 高0.5元时，每天就会少售出3个玩具

（1）若玩具售价不超过60元/个，每天售出玩具总成本不高于686元，预计每个玩具售价 的取值范围；

（2）在实际销售中，玩具城以（1）中每个玩具的最低售价及相应的销量为基础，进一步

调

整了销售方案，将每个玩具的售价提高了a%，从而每天的销售量降低了2a%，当每天的销售利润为147元时，求a 的值．

解：（1）每个玩具售价x 元/个，

根据题意得⎪⎩

⎪⎨⎧≤-⨯-≤686)5.050350(4960x x ， 解得：56≤x ≤60. 05.050350≥-⨯

-x Θ 3

175≤∴x 故56≤x ≤3

175 答：预计每个玩具售价的取值范围是56≤x ≤3

175；

（2）由（1）知最低销售价为56元/个，对应销售量为50﹣3×

145.05056=-， 由题意得：[56（1+a%）﹣49]×14（1﹣2a%）=147，

令t=a%，原方程为：[]147)21(1449)1(56=-⨯-+t t

整理得：32t 2﹣12t 1+=0，

解得：t 1=4

1，t 2=81， ∴a=25或a=12.5．

当a=12.5时，销量=10.5个，不合题意，舍去

∴a=25.

【试题解读】

1、试题结构：“一元一次不等式组”+“一元二次方程（带百分号）”

2、易错点：①对范围考虑不全面； ②不会对根进行取舍

3、解方程技巧：

（1）[]147)21(1449)1(56=-⨯-+t t …………化简系数：方程两边除以77⨯

（2）0112322=-+-t t ……二次项系数化为正：0112322

=+-t t （3）0112322

=+-t t 方法探究：①十字相乘法（要求高）； ②公式法：0112322=+-t t ……二次项系数化为1：032

183

2=+-t t 2

81832321464983±=⨯-±=t 四、几点启示：

突破中考23题的策略：既要研究试题的内容，又要研究试题的解法。

1、培养学生仔细审题，正确建立一元一次不等式（组）与一元二次方程模型；