自动控制原理 第七章 采样系统

h h
第一节 采样控制系统的基本概念
零阶保持器用RC网络来近似实现如图 传递函数为： Kp Gh (s)= TS + 1 R2 Kp = R1 T = R2C
R2 C e*(t) R1 -
∞
+
gh(t)
+
Δ
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第七章 采样控制系统分析
第二节 采样控制系统的数学基础
一、Z 变换的定义
二、求Z 变换的方法
（2）指数函数 f (t) = e –at
+ 8
f (kT)= e –akT
F (z)= Σ f (kT) z-k k=0 = 1+ e–aT z-1 + e–2aT z-2 + e–3aTz-3 + · · · z 1 = z – e–aT = at | > 1 – aT -1 | ze 1–e z （3）单位脉冲函数 f (t)=δ(t ) f (kT)=δ(kT ) F (z) = Σ f (kT) z-k =1
第一节 采样控制系统的基本概念
恒值外推原理：把采样时刻kT的采样值 e(kT)保持到下一 个采样时刻(k+1)T。 kT≤ t ≤(k + 1)T
e*(t)
eh (t ) = e(kT)
零阶保持器的输入输出特性
eh(t) e*(t)
零阶 保持器
eh(t)
0
k (k+1)
t
0
k (k+1)
t
第一节 采样控制系统的基本概念
第二节 采样控制系统的数学基础
1．长除法
b0zm + b1zm–1 + · · ·+ bm 设 F (z)= a zn +a zn–1 + · · ·+ an 0 1 (m ≤ n) -1 按Z 的升幂级数展开，即
F (z)=c0+c1z–1+c2z –2+ · · · · · 可知： f (0) = c0 , f (T ) = c1 , f (2T ) = c2 , · · · 得： f * (t)=c0δ(t)+c1δ(t –T)+c2δ(t–2T)+ ·
8
]
第二节 采样控制系统的数学基础
2．部分分式展开法
Ai 的拉氏变换为 Ai 如果已知连续函数 f(t) 基于 Z[ s–P ]= 1–ep Tz -1 i 展开成部分分式之和 F(s) ，则可将F(s) n 的形式，然后求F(z)。 Ai 得 F (z)= Σ p Tz -1 i=m 1 1–em b0s +b1s –1+· · · +bm 设 F (s)= sn–a sn–1+· · · +an 1 n Ai n>m =Σ i=1 S– Pi
例 求F(s)的z变换F(z)。 1 F (s)= 2 S (S+1) 1 1 – 1 1 解： F (s)= 2 + = 2 S (S+1) S S S+1 Tz – z z F (z)= (z–1)2 z–1 + z– e – T
第二节 采样控制系统的数学基础
3．留数计算法
已知连续函数f (t) 的拉氏变换F (s) 及其全部极点pi ,F(z)可由留数计算公式 求得:
+ 8
第二节 采样控制系统的数学基础
(1) 单位阶跃函数 f (t) = 1(t)
+ 8
f (kT) = 1(kT) =1
F (z)= Σ f (kT) z-k = 1+ z-1 + z-2 + z-3 + · · · k=0 1 z = = -1 z–1 1–z
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|z|> 1
第二节 采样控制系统的数学基础
T
8
8
8
8
*(t )=e(t )δ (t )=e(t ) * e e(kT )δ( t – kT ) δ( kT ) e (t )=e(t)δT(t)= T k=k=0
8
Σ
+∞
Σ
+
8
第一节 采样控制系统的基本概念
2．采样定理
为了使离散信号e*(t)不失真地复 现原信号e(t)，对e(t)与e*(t)的频谱分析 得出如下关系： ωs ≥ 2ωmax
8
–kTS –stdt f (kT) f(kT)e =Σ δ( t – kT ) e ∫ =Σ 0 k=0
k=0
8
+
k=0
8
8
∞
+
8
第二节 采样控制系统的数学基础
二、求Z变换的方法
1．级数求和法
根据定义式展开 F (z)= k= Σ0 f (kT) = f (0)z0 + f (T)z-1 + f (2T)z-2 + f (3T)z-3 + · · · 利用级数求和法可求得常用函数 的z变换.
一、采样控制系统的基本结构 二、采样过程与采样定理
三、采样信号的复现
第一节 采样控制系统的基本概念
一、采样控制系统的基本结构
e(t) —连续信号 e*(t) —离散信号 通过采样开关对连续信号采样得离散 信号，相应的系统称为采样控制系统。 T—采样周期
采样控制系统典型结构图
r(t)
e(t)
–
e*(t) 脉冲控制器 保持器 对象
零阶保持器的单位脉冲响应曲线 g (t) (t) -g jω T 1 – e 频率特性： Gh (jω)= jω 1 1 相频特性： – j[1-cos(ωT)+j sin(ω T T)] 0 0 -1 -[1-cos(ωT)] ωT t = T ∠G ( jω )= tg ω t h sin(ωT-1 ) =- 2 sin(ωT)– j[1-cos(ωT)] = 零阶保持器的单位脉冲响应为： 传递函数中的 e-TS 展开为级数形式 ω 幅频特性： g-Ts t )-1(t-T) 1 1-e 1 h (t )=1( (1 – ) Gh (s)= 2(ω 2 = 2 2 sin T ) + [1-cos( ω T )] S 1+Ts+T S /2+· · · S |零阶保持器的传递函数： Gh ( jω) | = ω T–e –Ts –Ts 1 1 e 1 1 ~ (1 – ) = ωT 2 ~G – )= 1 = sin Ts +S1 = sh (s + Ts S 2 ωS
n
F (z)=∑ i=1
1 d r -1 z r (r–1)! dsr -1 [(s-pi) F(s) z–e sT ]
i i i
s=pi
式中 ：
ri 为s=pi 的重极点数
第二节 采样控制系统的数学基础
例 求F(s)的z变换F(z)。 S+3 (S+1)(S+2) z S +3 解： F(z)=(S+1) (S+1)(S+2) z–eST z S +3 +(S+2) (S+1)(S+2) z–eST F (s)=
c(t)
反馈
第一节 采样控制系统的基本概念
连续信号的采样过程：
e(t) T e*(t)
0
t
0
τ
t T
采样开关每次闭合的时间为τ 一般τ<<T
第一节 采样控制系统的基本概念
系统中如果用计算机来代替脉冲控制 系统中的 A/D转换器相当于一个采样开 器，实现对偏差信号的处理，就构成了数 关， D/A转换器相当于一个保持器。 字控制系统，也称为计算机控制系统。 计算机控制系统典型结构图
i i
pi— 极点
Ai— 待定系数
第二节 采样控制系统的数学基础
例 求F(s)的z变换F(z)。
1 F (s)= S(S+1) 1 1 – 1 解： F (s)= S(S+1) = S S+1
z z – F (z)= z–1 z– e – T z(1–e –T ) = (z–1)(z–e–T )
第二节 采样控制系统的数学基础
这就是采样定理，又称香农(shannon) 定理，它指明了复现原信号所必须的最低 采样频率。
第一节 采样控制系统的基本概念
三、 采样信号的复现
信号的复现： 采样信号恢复成相应的连续信号的过程。 保持器： 将采样信号复现为原来连续信号的装置。 解决两相邻采样时刻间的插值问题。 工程中一般都采用时域外推的原理，下面 重点介绍应用最广泛的零阶保持器。
aT k1–1 T ze -k k F(z)-zk –at f ( kT ) z Z [ f ( t+k T )]= z Σ Z [ te ]= 1 解： k=0 (zeaT–1)2 例 求1(t-2T)的Z变换 5．初值定理 z -z2[ f (0)z0+f (T)z-1] 2 )]=fz(t) = 解：Z[1(t+2T Lim F(z) z–lim 1z→∞ t→0 z3 –z2–z = z– 1 6．终值定理
1 1
4．位移定理
Lim f(t)± =atlim ( z -1) F ( z ) ± at z→1 →∞ F(ze ) Z[ tf (t)e ]=
第二节 采样控制系统的数学基础
四、Z 反变换
Z 反变换： 从函数F(z)求出原函数f*(t)的过程
记作 Z -1[ F (z) ] = f * (t) 由于F(z)只含有连续函数f(t)在采样时 刻的信息，因而通过z反变换只能求得连 续函数在采样时刻的数值。求反变换一 般有两种方法。
三、Z 变换的基本定理
四、Z 反变换 五、差分方程极其求解
第二节 采样控制系统的数学基础
一、Z变换的定义
连续函数 f(t)的拉氏变换为 z = e Ts 引入新变量 +∞ –st dt F (s) =∫ f ( t ) e F (z)= 0Σ + f (kT) z–k 则 k=0 *(t )= f(t )δ(t – kT ) f 离散函数： Σ k=0 F(z)为f*(t)的Z变换，记作 对离散函数求拉氏变换 F (z+) = Z[ f *(t) ] ∞ –st dt f ( t )δ( t – kT )] [ F*(s )=∫ e Σ 0
S=-1
S=-2
2+z(e-T -2e-2T ) z z 2z – F (z)= = – 2T – T z– e z– e z2-(e-T +e-2T )z+e -3T
第二节 采样控制系统的数学基础
三、Z变换的基本定理
1. 线性定理
z变换的运算 例 z变换的基本定理为 求 Z [ t –T ] 提供了方便。 解 ： Z[ t –T ] = Z[ t ] ·z -1
k=0
+ 8
第二节 采样控制系统的数学基础
（4）单位斜坡函数 f (t) = t
+ 8
f (kT) = kT
F (z) = Σ f (kT) z-k k=0 = Tz-1 + 2Tz-2 + 3Tz-3 + · · · Tz-1 = (1– z-1 ) 2 = Tz 2 (z – 1 ) |z|> 1
z
z
T Z[a1 f1(t) ± a2 Tz f2(t)] = a1 F1( z) ± a2 F2(z) -1 = (z–1)2 z = (z–1)2 a1和a2为常数
2．滞后定理
Z[ f (t – k1T )] = Z – k F(z)
1
第二节 采样控制系统的数学基础
例 求te-at 的Z 变换。 3．超前定理
第二节 采样控制系统的数学基础
（5）正弦函数
jωt -e– jωt e -1sin f ( t )=sin ωt = z ωT z sin ωT 2 j = = 1–2(cosωT)z-1+z-2 z2–2zcosωT+1 jωkT – e– jωkT e f (kT) = 2j f (t)=cosωt 同理： + F (z) = Σ f (kT) z-k z(z–cosωt ) k=0 F (z)= 2 z –1 2zcosωT + 1 1 1 – = [ j ωT -1 1 – e– jωT z-1 2j 1–e z -1e jωT–z-1e–jωT z 1 = 2j [ ] j ωT -1 – j ωT -1 -2 1–e z –e z +z
第七章 采样控制系统分析
第七章 采样控制系统分析
第一节 采样控制系统的基本概念
第二节 采样控制系统的数学基础 第三节 采样控制系统的脉冲传递函数
第四节 采样控制系统的动态性能分析
第五节 采样控制系统的稳定性分析 第六节 采样控制系统的稳态误差分析
第七章 采样控制系统分析
第一节 采样控制系统的基本概念
r(t) r(t) – e(t)
数字控制系统结构图 Sa
T 计算机 e(kT) D/A和 检测元件 计算机 保持器 检测元件 保持器 对象 采样开关 和A/D
c(t) c(t) 对象
– b(t)
第一节 采样控制系统的基本概念
二、采样过程与采样定理
1．采样函数的数学表示
采样过程如图所示： t < 0 时，e(t) = 0 通过采样开关，将连续信号转变成离 + e(t) e*(t) δ (t) * 散信号。采样过程为理想脉冲序列 δT(t) 对 e (t )=e(t ) Σ δ(t – kT) 则 k=0 + e(t)幅值的调制过程。 = Σ +e(t )δ(t – kT) k=0 t) δT(t )= t δ( t – kT t 0 0 TΣ 2T 3T 0 T 2T 3T =e(0 )δ(t )+e(T)δ(t -Tk=)+e(2T)δ(t -2T)+ · · ·