华中师大《微分几何》练习题库及答案

Ｂ
( s) ， 为 α ( s ) 的旋转角 (s)
Ｄ
(s) | ( s ) | r
11．对于平面曲线， “曲率恒等于０”是“曲线是直线”的（ ） ． （曲率；易；2 分钟) Ａ 充分不必要条件 Ｂ 必要不充分条件 Ｃ 既不充分也不必要条件 Ｄ 充要条件 12．下列论述不正确的是（ ） ． （基本向量；易；2 分钟） Ａ Ｃ
19．以下为椭圆抛物面
x2 y 2 2 z 的参数表示的是（ ） ． （参数表示；易；2 分钟） a 2 b2 u2 ) 2
B ( x, y, z ) (au cos v, bu sin v,
A ( x, y, z ) (u cos v, u sin v,
2
17．以下为单叶双曲面
x2 y 2 z 2 1 的参数表示的是（ ） ． （参数表示；易；2 分钟） a 2 b2 c 2
A ( x, y, z ) (a cosh u sin v, b cosh u cos v,sinh u ) B ( x, y, z ) (cosh u cos v, cosh u sin v,sinh u ) C ( x, y, z ) (a sinh u cos v, b sinh u sin v, c cosh u ) D ( x, y, z ) (a cosh u cos v, b cosh u sin v, c sinh u )
Ｂ Ｄ ） ． （曲率；易；2 分钟） ０ Ｃ １
α α
α β
Ｄ ２ ） ． （伏雷内公式；较易；2 分钟）
9．直线的曲率为（ Ａ –１ Ｂ
10．关于平面曲线的曲率 C : r r ( s ) 不正确的是（ Ａ Ｃ
(s) (s) α
( s ) α β
x z y 1
B
x 1 y z 1 2 3 x y z 1
） ． （混合积；较易；2 分
C
x 1 y z 1
D
3．已知 a (1,1, 1), b (1, 0, 1), c (1,1,1) ，则混合积为（ 钟） A 2
t
B
t
1
18．以下为双叶双曲面
x2 y 2 z 2 1 的参数表示的是（ ） ． （参数表示；易；2 分钟） a 2 b2 c2
A ( x, y, z ) (a sinh u cos v, b sinh u sin v, c cosh u ) B ( x, y, z ) (a cosh u cos v, b sinh u sin v, c cosh u ) C ( x, y, z ) (a cosh u cos v, b cosh u sin v, c sinh u ) D ( x, y, z ) (cosh u cos v, cosh u sin v,sinh u )
C
1
D
2
4.已知 r (t ) (e , t , e ) ，则 r(0) 为（ Ａ Ｃ (１，０，１) (０，１，１)
） ． （导数；易；2 分钟） Ｂ Ｄ (-１，０，１) (１，０，-１) ） ． （导数；易；2 分钟） Ｄ
5．已知 r(t ) r (t ) ， 为常数，则 r (t ) 为（ Ａ
《微分几何》练习题库及答案
一、单项选择题 第一章 1．已知 a (1, 0, 1) ， b (1, 2, 1) ，则这两个向量的内积 a b 为（ 2 分钟） A 2 B ） ． （内积；易；
1
C
0
D 1 ） ． （直线方程； 易；
（ 2． 求过点 P(1,1,1) 且与向量 a (1, 0, 1) 平行的直线 的方程是 2 分钟） A
α, β, γ 均为单位向量 βγ
Ｂ Ｄ
αβ α // β
13．对于空间曲线Ｃ， “曲率为零”是“曲线是直线”的（ ） ． （曲率；易；2 分钟) A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 既不充分也不必要条件 D 充要条件 14．对于空间曲线 C ， “挠率为零”是“曲线是直线”的（ ） ． （挠率；易；2 分钟) A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 既不充分也不必要条件 D 充要条件 15 ． x a (t sin t ), y a (1 cos t ), z 4a sin （ Ａ Ｃ
ta
Ｂ
a
Ｃ
et a
e a
上述 a 为常向量． 6.已知 r ( x, y ) ( x, y, xy ) ，求 dr (1, 2) 为（ Ａ 第二章 7．圆柱螺线 r (cos t ,sin t , t ) 的切线与 z 轴（ 分钟) Ａ 平行 Ｃ 有固定夹角 ）.(螺线、切向量、夹角；较易、2 ） ． （微分；较易；2 分钟）
(dx, dy, dx 2dy )
Ｂ
(dx dy, dx dy, 0)
Ｂ
垂直 有固定夹角

4
Ｄ

3
8．设有平面曲线 C : r r ( s ) ， s 为自然参数， α, β 是曲线的基本向量．下列叙述错误的是 （ ） ． （伏雷内公式；较易；2 分钟）
1
Ａ Ｃ
α 为单位向量
Βιβλιοθήκη Baidu β α
t 在点 t 的切线与 z 轴关系为 2 2
平行 成
） ． （切线方程、夹角；较易；2 分钟） 垂直 Ｂ 成

3
的角
Ｄ

4
的角
第三章 16．椭球面
x2 y 2 z 2 1 的参数表示为（ ） ． （参数表示；易；2 分钟） a 2 b2 c2
A ( x, y, z ) (cos cos , cos sin ,sin ) B ( x, y, z ) (a cos cos , b cos sin ,sin ) C ( x, y, z ) (a cos cos , b cos sin , c sin ) D ( x, y, z ) (a cos cos , b sin cos , c sin 2 )