定积分的计算
定积分的计算方法总结
定积分的计算方法总结定积分的计算方法总结总结是在某一时期、某一项目或某些工作告一段落或者全部完成后进行回顾检查、分析评价，从而得出教训和一些规律性认识的一种书面材料，它可以帮助我们总结以往思想，发扬成绩，是时候写一份总结了。
总结怎么写才能发挥它的作用呢？下面是小编为大家整理的定积分的计算方法总结，希望对大家有所帮助。
定积分1、定积分解决的典型问题（1）曲边梯形的面积（2）变速直线运动的路程2、函数可积的充分条件定理设f（x）在区间[a，b]上连续，则f（x）在区间[a，b]上可积，即连续=>可积。
定理设f（x）在区间[a，b]上有界，且只有有限个间断点，则f （x）在区间[a，b]上可积。
3、定积分的若干重要性质性质如果在区间[a，b]上f（x）≥0则∫abf（x）dx≥0。
推论如果在区间[a，b]上f（x）≤g（x）则∫abf（x）dx≤∫abg （x）dx。
推论|∫abf（x）dx|≤∫ab|f（x）|dx。
性质设M及m分别是函数f（x）在区间[a，b]上的最大值和最小值，则m（b—a）≤∫abf（x）dx≤M（b—a），该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范围。
性质（定积分中值定理）如果函数f（x）在区间[a，b]上连续，则在积分区间[a，b]上至少存在一个点ξ，使下式成立：∫abf（x）dx=f（ξ）（b—a）。
4、关于广义积分设函数f（x）在区间[a，b]上除点c（a<c<b）外连续，而在点c的邻域内无界，如果两个广义积分∫acf（x）dx与∫cbf（x）dx都收敛，则定义∫abf（x）dx=∫acf（x）dx+∫cbf（x）dx，否则（只要其中一个发散）就称广义积分∫abf（x）dx发散。
定积分的应用1、求平面图形的'面积（曲线围成的面积）直角坐标系下（含参数与不含参数）极坐标系下（r，θ，x=rcosθ，y=rsinθ）（扇形面积公式S=R2θ/2）旋转体体积（由连续曲线、直线及坐标轴所围成的面积绕坐标轴旋转而成）（且体积V=∫abπ[f（x）]2dx，其中f（x）指曲线的方程）平行截面面积为已知的立体体积（V=∫abA（x）dx，其中A（x）为截面面积）功、水压力、引力函数的平均值（平均值y=1/（b—a）*∫abf（x）dx）。
定积分的计算
微积分基本定理的应用
解决实际问题
微积分基本定理可以应用于解决 各种实际问题，如物理中的力做 功、速度和加速度，经济中的成 本和利润等。
数学证明
微积分基本定理是许多数学定理 的证明基础，如中值定理、泰勒 展开等。
优化算法
微积分基本定理在优化算法中也 有广泛应用，如梯度下降法、牛 顿法等。
微积分基本定理的证明
定积分的性质
线性性质
定积分具有线性性质，即对于两个函数的和 或差的积分，可以分别对每个函数进行积分 后再求和或求差。
区间可加性
定积分具有区间可加性，即对于区间[a,b]的任意两个 子区间[α,β]和[β,γ]，有 ∫f(x)dx|α,γ=∫f(x)dx|α,β+∫f(x)dx|β,γ。
常数倍性质
定积分具有常数倍性质，即对于任意常数k， 有∫kf(x)dx=k∫f(x)dx。
04 定积分的计算技巧
利用奇偶性简化计算
奇函数在对称区间上的定积分值为0
如果函数$f(x)$是奇函数，即$f(-x)=-f(x)$，那么$int_{-a}^{a}f(x)dx=0$。
偶函数在对称区间上的定积分值为对称区间上积分值的两倍
如果函数$f(x)$是偶函数，即$f(-x)=f(x)$，那么$int_{a}^{a}f(x)dx=2int_{0}^{a}f(x)dx$。
利用周期性简化计算
对于具有周期性的函数，可以利用周 期性将积分区间扩展到整数倍的周期 ，从而简化计算。
如果函数$f(x)$的周期为$T$，那么对 于任意整数$k$， $int_{a}^{b}f(x)dx=int_{a+kT}^{b+kT }f(x)dx$。
利用定积分的几何意义简化计算
定积分基本计算定律-定积分的计算定律
2x
x
0
f
(t )dt
1在[0,1]上只有一个解.
证
令
F(x)
2x
x
0
f
(t )dt
1,
f ( x) 1, F ( x) 2 f ( x) 0,
F ( x)在[0,1]上为单调增加函数. F (0) 1 0,
F (1)
1
1
0
f
(t )dt
1
0 [1
f
(t )]dt
0,
所以F ( x) 0即原方程在[0,1]上只有一个解.
y x
x2 2 x 0
2
o 1 2x
x
0 x1 ,
x
2
1 x2
原式
0 x2dx
1
xdx
2 x2dx 11.
2
0
1
2
例7 求 1 1dx.
2 x
解 当 x 0时， 1 的一个原函数是ln | x |,
x
1
2
1dx x
ln |
x
| 1 2
ln1
ln 2
ln 2.
例 8 计算曲线 y sin x在[0, ]上与 x轴所围
x a t , x 0 t 0,
2
原式 2
a cos t
dt
0 a sin t a2 (1 sin2 t)
2 0
cos t dt sin t cos t
1 2
2 0
1
cos t sin t
sin cos
t t
dt
1 2
2
1 2
ln
sin
t
cos
t
定积分的计算公式和例题
定积分的计算公式和例题定积分是微积分中的重要概念，它在数学和物理学中都有着广泛的应用。
在这篇文章中，我们将介绍定积分的计算公式和一些例题，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
一、定积分的计算公式。
1. 定积分的定义。
在介绍定积分的计算公式之前，我们首先来回顾一下定积分的定义。
设函数f(x)在区间[a, b]上有定义，且在该区间上连续，则称函数f(x)在区间[a, b]上的定积分为：∫[a, b] f(x)dx。
其中，∫表示积分的符号，a和b分别为积分的下限和上限，f(x)为被积函数，dx表示自变量。
2. 定积分的计算公式。
定积分的计算公式有很多种，常见的包括：（1）定积分的基本性质。
定积分具有一些基本的性质，例如线性性质、区间可加性等。
这些性质对于定积分的计算非常有用，可以帮助我们简化计算过程。
（2）牛顿-莱布尼茨公式。
牛顿-莱布尼茨公式是定积分的重要公式之一，它表示函数的不定积分与定积分之间的关系。
具体而言，如果函数F(x)是f(x)的一个不定积分，那么函数f(x)在区间[a, b]上的定积分可以表示为：∫[a, b] f(x)dx = F(b) F(a)。
这个公式为我们提供了一种通过求函数的不定积分来计算定积分的方法，非常方便和实用。
（3）换元积分法。
换元积分法是定积分计算中常用的一种方法，它通过引入新的变量来简化被积函数的形式，从而更容易进行积分。
具体而言，如果被积函数的形式比较复杂，我们可以通过引入新的变量来简化计算过程，然后再进行积分。
（4）分部积分法。
分部积分法是定积分计算中另一种常用的方法，它通过对被积函数进行分解，然后再进行积分。
具体而言，如果被积函数可以表示为两个函数的乘积，我们可以通过分部积分法将其分解为两个函数的积分，然后再进行计算。
以上是定积分的一些常用计算公式，它们在定积分的计算中起着重要的作用，可以帮助我们更加高效地进行积分计算。
二、定积分的例题。
下面我们通过一些具体的例题来演示定积分的计算过程，以帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
定积分的计算
a
a
0
联合二式即得.
第七章 定积分
然后证(2).
a
0
a
f (x)dx f (x)dx f (x)dx
a
a
0
0
a
a f (t)dt 0 f (x)dx
a
a
0 f (t)dt 0 f (x)dx 0.
最后证(3) al f (x)dx
1. 6
/2 cos5 xsin xdx /2 cos5 xd(cosx)
0
0
cos6 6
x /2 0
1. 6
第七章 定积分
例 7.13 求证 (1)设f (x)是[a, a]上连续的偶函数，
则
a
f (x)dx 2
a
f (x)dx
；
a
(1)n1 2n 1
.
第七章 定积分
分部积分法
设函数u(x，) v(x)在[a, b]上有连续导数，则
b
u(x)v(x)dx
u(x)v(x)b
b
v(x)u(x)dx
a
aa
也可简记为
b a
uvdx
[uv]ba
b
vudx
a
或
b
udv
0
0
1 2n 1
I n1 ,
即
In
1 2n 1
I n1
第七章 定积分
由于
I0
4
dx
0
定积分的计算
则 有 a f ( x )dx f [ ( t )] ( t )dt .
b
证
设F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数，
a f ( x )dx F (b) F (a ),
b
( t ) F [( t )],
dF dx f ( x ) ( t ) f [( t )]( t ), ( t ) dx dt
第四节 定积分的计算
一、直接利用牛顿-莱布尼兹公式 二、换元积分法 定理 假设 （1）f ( x ) 在[a , b] 上连续；
（2）函数 x (t ) 在[ , ] 上是单值的且有连续 导数； （3）当t 在区间[ , ] 上变化时， x (t ) 的值
在[a , b]上变化，且 ( ) a 、 ( ) b ，
1 1 4 4 x tan x 0 tan xdx 2 0 2 1 ln 2 4 ln sec x 0 . 8 2 8 4 4
例3 解
计算
1
0
ln(1 x ) dx . 2 (2 x )
0
1
1 ln(1 x ) 1 dx 0 ln(1 x )d 2 (2 x ) 2 x
1 2
xdx 1 x2
练习：
xdx 0 1 cos 2 x .
4
1
0
ln(1 x ) dx . 2 (2 x )
xdx . 例2 计算 0 1 cos 2 x
解
4
1 cos 2 x 2 cos x ,
2
xdx xdx 4 4 x d tan x 2 0 1 cos 2 x 0 2 cos x 0 2
定积分基本计算公式-定积分的计算公式
x
1
2
1dx x
ln |
x
| 1 l1 n l2 n l2 . n 2
例 8 计算曲线 y sin x在[0, ]上与 x轴所围
成的平面图形的面积.
解
面积
A
sinxdx
0
y
cos x 2. o 0
x
.
二 定积分的换元公式 定理 假设
（1） f ( x)在[a, b]上连续；
（2）函数 x (t)在[ , ]上是单值的且有连续
.
定理１ 如果 f ( x)在[a, b]上连续，则积分上限的函
数( x)
x
a
f
(t)dt 在[a, b]上具有导数，且它的导
数是
(
x)
d dx
x
a
f (t)dt
f (x)
(a x b)
证 (x x)a x xf(t)dyt
( x x ) ( x )
(x)
x x
x
a
f(t)d t f(t)dt a
.
牛顿—莱布尼茨公式
a bf(x)d x F (b )F (a)
F
x
b a
基本公式表明
一个连续函数在区间[a, b]上的定积分等于它
的任意一个原函数在区间[a, b]上的增量.
求定积分问题转化为求原函数的问题.
牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之 间的关系．
注意
当a
b
时，
b
a
f
(
x)dx
F
(b)
导数；
（3）当t 在区间[ , ]上变化时，x (t)的值在 [a,b]上变化，且 ( ) a、 ( ) b，
定积分的计算
即积分上限函数 ( x) 是被积函数 f ( x) 的原函数.
d x ( x ) a f ( t )dt f ( x ) dx
(a x b)
本定理沟通了导数和定积分这两个从表面看去似不 相干的概念之间的内在联系;同时也证明了“连续函 数必有原函数”这一基本结论,并以积分形式f (t )dt 给出了f 的一个原函数. 正因为定理1 的重要作用而被誉为微积分学基本定理.
注意： （1） 积分值仅与被积函数及积分区间有关，
而与积分变量的字母(记号)无关.
a f ( x )dx a f (t )dt a f (u)du
b
b
b
二、积分上限函数(变限积分) 定义: 设函数
f ( x) 在区间 [ a, b] 可积，根据
§8.3定理5 ，x [a, b] 函数 f ( x) 在 [a, x]也可积， 将积分变量 x 换成积分变量 上限 x 相混淆.
( x)
( x ) f ( x ).
微积分学基本定理的重 要性
(i) 解决了原函数的存在性问题 精僻地得出: [ a, b]上的连续函数一定存在原函数,且 是 f ( x) 的一个原函数这一基本结论. (ii) 沟通了导数与定积分之间的内在联系 为微分学和积分学架起了桥梁,因此被称为微积分学 基本定理.
F ( x) f (t )dt
x a
所以f ( x )有界，设 f x M ( M为常数）.
F x x F x
x x
a
f t dt f t dt
x a
x x x
f t dt
x x x
f t dt M x
定积分的计算
解 令x2 t, xdx 1dt 2
x a t a 2 ; x 0 t 0
左边 0ax2f(x2)xdx120a2 tf(t)dt120a2 xf(x)dx
(解3 )0 0 x x((ff ss x x i)) d id n n x x 0 2 0 2 x f( (fs sx x ) i)id d n n x x x(fsx )idn x 2 令 xt sx i n si n t) ( stid nx dt x t0;x t x(fsx ) id n x 0( 2 t)f(2st)idn t
dx
偶函数
奇函数
1
4 0 1
x12x2dx401
x2(1 1x2) 1(1x2) dx
1
40(1
1x2)dx 4401
1x2dx4
单位圆的面积
例7 设f(x)是连续函数，证各明题下：列
b
1
(1)a f(x)dx(ba)0 f[a(ba)x]dx;
2
2
0 2 f(sti)dn t0 2tf(sti)dnt
0 x(fsx i)d n x 0 2 0 2 f(f(ss x i)x d i)n d n x x 0 2x(fsx i)d nx
二. 定积分的分部积分法
设函数u( x)、v( x)在区间a, b上具有连续
e2e2ex1 0
e 2 e 2 e 2
e2
例5
计算 2 ex sinxdx 0
解 2 ex sinxdx 2 sinxdex
0
0
exsix n22exdsix n 00
定积分运算公式
定积分运算公式定积分运算是微积分中的重要概念，在许多实际问题的求解中具有广泛的应用。
在这篇文章中，我们将探讨定积分运算的公式，并解释其背后的意义和应用。
首先，定积分的基本公式如下：∫(a到b) f(x)dx = F(b) - F(a)其中，f(x)是被积函数，F(x)是其原函数。
在这个公式中，我们通过求解原函数F(x)在区间[a, b]上的差值来计算被积函数f(x)在同一区间上的定积分。
这个公式的意义在于，定积分可以被视为函数在给定区间上的累积变化量。
也就是说，通过对函数在该区间上的不断累加，我们可以得到函数在该区间上的总变化。
定积分公式的应用非常广泛。
例如，它可以用于计算曲线下的面积、求解物体在给定时间间隔内的位移以及计算动力学等问题。
在计算曲线下的面积方面，我们可以使用定积分来计算曲线与x 轴之间的面积。
通过将曲线分割成无穷小的矩形，在每个矩形上计算面积并进行求和，最终可以得到曲线下的总面积。
在求解物体的位移问题中，我们可以通过对速度函数进行定积分来计算物体在给定时间间隔内的位移。
速度函数表示物体在不同时间点的速度，通过对其进行定积分，我们可以得到物体的位移。
在动力学中，定积分也被广泛应用。
例如，通过计算力在物体上的定积分，我们可以确定物体所受到的总力以及其他与力相关的参数。
除了基本公式外，定积分还有一些其他重要的性质和公式。
例如，定积分具有线性性质，即对于两个函数的和或差的定积分等于两个函数分别的定积分的和或差。
另外，定积分还满足区间可加性。
如果一个函数在区间[a, b]上可积，那么它在[a, c]和[c, b]上的定积分之和等于它在整个区间上的定积分。
这个性质在进行复杂的积分计算时非常有用。
最后，我们还需要注意定积分的区间选择。
当我们选择不同的区间时，定积分的结果也会发生变化。
因此，在进行定积分计算时，我们需要根据具体问题选择适当的区间。
综上所述，定积分运算是微积分中重要的概念之一。
通过定积分公式的应用，我们可以计算曲线下的面积、解决物体位移以及研究动力学问题。
求定积分的四种方法
定积分的四种求法定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例题分析定积分计算的几种常用方法． 一、定义法例1 用定义法求230x dx ⎰的值.分析：用定义法求积分可分四步：分割，以曲代直，作和，求极限．解：（1）分割：把区间[0，2] 分成n 等分，则△x ＝2n． （2）近似代替：△32()i i i S f x x n ξ⎛⎫=∆=∆ ⎪⎝⎭（3）求和：33111222n n n i i i i i i S x n n n ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫∆≈∆=• ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑. （4）取极限：S=3332242lim n n n n n n →∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ＝443332244221lim 12lim[(1)]4n n n n n n n →∞→∞⎡⎤+++=⨯+⎣⎦ ＝224(21)lim n n n n→∞++=＝4． ∴230x dx ⎰=4．.评注：本题运用微积分的基本定理法来求非常简单．一般地，其它方法计算定积分比较困难时，用定义法，应注意其四个步骤中的关键环节是求和，体现的思想方法是先分后合，以直代曲．二、微积分基本定理法例2 求定积分221(21)x x dx ++⎰的值.分析：可先求出原函数，再利用微积分基本定理求解．解：函数y ＝221x x ++的一个原函数是y ＝323x x x ++． 所以.221(21)x x dx ++⎰＝3221()|3x x x ++＝81421133⎛⎫⎛⎫++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝193． 评注：运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数．三、几何意义法例3 求定积分11dx -⎰的值.分析：利用定积分的意义是指曲边梯形的面积，只要作出图形就可求出．解：11dx -⎰表示圆x 2＋y 2＝1在第一、二象限的上半圆的面积．因为2S π=半圆，又在x 轴上方． 所以11dx -⎰＝2π． 评注：利用定积分的几何意义解题，被积函数图形易画，面积较易求出．四、性质法例4 求下列定积分： ⑴44tan xdx ππ-⎰；⑵22sin 1x x dx x ππ-+⎰． 分析：对于⑴用微积分的基本定理可以解决，而⑵的原函数很难找到，几乎不能解决．若运用奇偶函数在对称区间的积分性质，则能迎刃而解．解：由被积函数tan x 及22sin 1x x x +是奇函数，所以在对称区间的积分值均为零．所以⑴ 44tan xdx ππ-⎰＝0； ⑵22sin 1x x dx x ππ-+⎰＝0． 评注：一般地，若f (x )在[－a ，a ]上连续，则有性质：①当f (x )为偶函数时，()a a f x dx -⎰＝20()a f x dx ⎰；②当f (x )为奇函数时，()a a f x dx -⎰＝0．小结通过这几个例题分析，让我明白并牢固记住了如何求定积分的方法，懂得在什么情况该用何种方法解决问题；它有非常重要的意义，并且应用也非常广泛，因此掌握此四种方法可以为学好其他比如物理学应用打下良好的基础。
定积分计算方法
例题与讲解
例：利用对称性，计算
sin xdx.
解：由于sinx在[-, ]上为 奇函数,故
y
sin xdx
0
O
x
12
例题与讲解
例：计算
x sin x x 1 3 1 2 x 2 x 4 dx
3 5 2 2
5 2
x sin x 解： 因为 f ( x) 2 4 为奇函数， 1 2x x 1 f ( x) 2 为偶函数， 1 x 5 2 2 3 x sin x x 1 因此：
a
y = f ( x)
A -a A O a x
10
偶函数在对称区间上的积分
若f(x)是对称区间[-a , a]上的偶函数(如右图) 由于偶函数关于y 轴对称,结合 y 定积分的几何意义，可以得出 y = f ( x)
a f ( x)dx 20 f ( x)dx
a
a
-a A
O A
ax
11
f [ ( t )] ( t )dt .
换元法注意点
1：定理中要求函数在闭区间上连续，是保证 相应的定积分存在，而初等函数在其定义域是 连续的； 2：变换函数在变换后的区间内是单调的； 3：变换后，积分上限、下限要发生变化。
4
例题与讲解
例：计算 解：
2
0
5
2
口诀：“换元”同时要“换限”！(不换元就不要 换限)
2
换元法证明
证：设F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数，
定积分的计算1
π 2 0
π 2 0
当n为奇数时，设n 2k +1(k ), 有
2k 2k 2 2 (2k )!! I 2 k 1 I1 2k 1 2 k 1 3 (2k 1)!!
高州师范学院
b a
1 例3、 求 dx 0 1 x2
1
1 1 解： 0 1 x 2 dx arctanx |0 arctan 1 arctan 0 4
1
练习题 .4 2 5 8 （）
1
1
1 1 1 1 1 2 5 4 x |1 1 dx d (5 4 x ) 4 1 4 5 - 4x 5 - 4x
ln 1 2
e
ln
1 1 1 1 ln 2 2 2
1 1 1 1 1 e (l n 1) (l n l n e ) l n 2 2 2 2 2 2
高州师范学院
§8.4 定积分的计算
例5、 求
1 2 0
arcsin x dx .
dx 1 x2 xdx
1
解： u arcsin x , dv dx , 则 d u 设
移项后则得
a u( x )v( x ) d x u( x ) v( x ) a u( x )v( x) d x. 即 udv uv | vdu 定积分的分部积分公式
b a b a b a
高州师范学院
§8.4 定积分的计算
例4、求
ln 2
Hale Waihona Puke 0xe x dx.
x
则du dx, v e x 解：令 x, dv e dx, u
定积分的计算方法
则F[ (t )] 是 f [ (t )] (t )的一个原函数, 从而
f [ ( t )] ( t )dt F [ ( t )]
由此可得
F [ ( )] F [ ( )] F (b) F (a )
b
a
f ( x )dx f [ (t )] (t )dt
证
b
a
f ( x )dx f [ (t )] (t )dt
设F(x)是ƒ(x)的一个原函数, 则
b
a
f ( x )dx F (b) F (a )
因为当 x ( t ) 时, 有 F ( x) F (t ) , 则有复合函数求导法 则, 有
d F [ ( t )] F [ ( t )] ( t ) f [ ( t )] ( t ) dt
§ 定积分的计算方法
一. 换元积分法 二. 分部积分法
由牛顿—莱布尼茨公式知: 计算定积分
b
a
f ( x )dx 的关键在
于求出ƒ(x)在[a, b]上的一个原函数F(x); 从而不定积分的换元 积分法和分部积分法在求定积分时仍适用. 本节讨论在一定 条件下, 如何利用换元积分法和分部积分法计算定积分.
1 2
2
1
1 ln 2 2
注 如果不明确写出新的变量, 则定积分的上、下限就不需要 变更. 如
1 x 1 1 2 2 ln 1 x dx d( x 1) 2 0 1 x2 0 2 2 1 x
1
1
1
0
1 ln 2 2
例4
计算 I 0 sin3 x sin5 xdx
定积分的15个基本公式
定积分的15个基本公式定积分是微积分中的一个重要概念，它可以用来计算曲线与坐标轴之间的面积或曲线的长度。
在定积分的计算过程中，有一些基本公式是非常常用且必须掌握的。
本文将介绍15个基本的定积分公式，并对其应用进行说明，帮助读者更好地理解和运用这些公式。
一、常数函数的定积分对于常数函数f(x)=c，其定积分结果为c*x。
这个公式的意义在于，常数函数的图像是一条平行于x轴的直线，其面积等于底边长乘以高。
二、幂函数的定积分幂函数f(x)=x^n的定积分结果为(1/(n+1))*x^(n+1)，其中n不等于-1。
这个公式可以通过求导的逆过程来理解，也可以用几何的方法解释。
三、指数函数的定积分指数函数f(x)=e^x的定积分结果为e^x。
这个公式的意义在于，指数函数的图像在区间[0,x]上的面积等于e^x减去1。
四、三角函数的定积分三角函数的定积分结果需要根据具体的函数来确定。
常见的三角函数及其定积分结果如下：- 正弦函数f(x)=sin(x)的定积分结果为-cos(x)；- 余弦函数f(x)=cos(x)的定积分结果为sin(x)；- 正切函数f(x)=tan(x)的定积分结果为-ln|cos(x)|。
五、指数与三角函数的复合函数的定积分指数与三角函数的复合函数的定积分结果需要根据具体的函数来确定。
常见的指数与三角函数的复合函数及其定积分结果如下：- 指数函数与正弦函数的复合函数f(x)=e^x*sin(x)的定积分结果为(1/2)*(e^x)*sin(x)-(1/2)*(e^x)*cos(x)；- 指数函数与余弦函数的复合函数f(x)=e^x*cos(x)的定积分结果为(1/2)*(e^x)*sin(x)+(1/2)*(e^x)*cos(x)。
六、反函数的定积分如果函数f(x)在区间[a,b]上具有连续的导数，并且其导函数f'(x)不等于0，则其反函数f^(-1)(x)在区间[f(a),f(b)]上也具有连续的导数。
定积分基本计算公式
b( x)
f
dx a( x )
证:
如果 f (t)连续，a( x)、b( x)
F ( x) b( x) f (t )dt 的导数F( x)为 a( x)
例1 求
解
分析：这是 型 不定式，应用洛 必达法则.
d 1et2dt
lim dx x0
cos x
x2
.
cos x et2 dt , 1 .
1
2e
d 1 et2 dt
dx cos x
sin x ecos2 x
lim 1 et2dt
lim
x0
cos x
x2
x0
2x
证
F ( x)
x
x
xf ( x)0 f (t )dt f ( x)0 tf (t )dt
x
2
0 f (t )dt
d dx
x
0
f
(t )dt
例 2 设 f ( x)在(,)内连续，且 f ( x) 0.
解
1 ln(1 x)
0 (2 x)2 dx
1 0
ln(1
x)d
2
1
x
ln(1 x 2 x
)
1 0
1
0
2
1
x
d
ln(1
x)
ln 2 1 1 1 dx
3 0 2 x 1 x
ln 2 3
ln(1
x)
ln(2
x)10
5 3
ln
2
ln
3.
f (x)
x2
1
sin t t
dt ,
因为 sin
一 定积分计算的基本公式
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定积分的计算教学内容由Newton -Leibniz 公式知道，函数的定积分等于其原函数在积分区间两端取值之差，因而为求定积分似应先算出相应的不定积分。
但定积分计算的目标毕竟并非原函数而是积分的值，所以计算不定积分时常用的分部积分及变量代换等技巧在这里可以转变为直接适用于定积分计算的相应运算法则。
定积分计算是微积分中的基本技术，是学生必须掌握的技能。
本节主要讲解以下几方面的内容：（1） 定积分的分部积分法； （2） 定积分的换元积分法； （3） 定积分的常用计算技巧；（4） 定积分的近似计算（数值积分法）。
教学思路和要求（1）定积分的分部积分法和换元积分法可以从不定积分的相应思想结合Newton -Leibniz 公式得出；（2）定积分的计算有着许多特有的技巧，特别是在处理奇偶函数、周期函数和满足一定恒等关系的函数的定积分计算时，常有一些简便的方法，需特别指出，注意引导学生发挥主动意识，举一反三；（3）注意在讲授数值积分时强调背景思想，并指出误差估计。
教学安排一．分部积分法定理3.3.1 设函数u ，v 在],[b a 上具有连续导数，则⎰⎰'-='b ababa dx x u x v x v x u dx x v x u )()()()()()(，或⎰⎰-=b ababa x du x v x v x u x dv x u )()()()()()(。
只要把Newton-Leibni z 公式和不定积分的分部积分法相结合，便可得上述定积分的分部积分公式。
例3.3.1 求由曲线x x y sin =（π≤≤x 0）和x 轴围成的区域的面积A 。
解 由定积分的几何意义知，⎰⎰-==ππcos sin x xd xdx x A⎰+-=ππ0c o s c o s x d xx x=+=ππ0s i nx π。
例3.3.2 计算⎰=20sin πxdx I n n ，其中n 为非负整数。
解 显然，⎰==20002sin ππxdx I ，⎰=-==202011cos sin ππx xdx I 。
而对2≥n ，有⎰⎰-==2201sin sin sin ππxdx x xdx I n nn⎰---+-=202221c o s s i n )1(c o s s i n ππx n xx n n x d xdx x x n n )sin 1(sin )1(2202--=⎰-π))(1(2n n I I n --=-。
由此，可得递推关系21--=n n I nn I ， 2≥n 。
结合0I 和1I 的结果，可得2≥n 时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---⋅---=,3)2(2)3)(1(,22)2(1)3)(1( n n n n n n n n I n π.,为奇数为偶数n n 二．换元积分法从不定积分的换元法转换到定积分的换元法，要特别注意积分上、下限的对应关系。
定理3.3.2 设f 是],[b a 上的连续函数，ϕ是定义于α和β间的具有连续导数的函数，其值域包含于],[b a ，且)(αϕ=a ，)(βϕ=b 。
则⎰⎰'=b adt t t f dx x f βαϕϕ)()]([)(。
证 因为函数f 连续，故存在原函数，设f F ='，于是)()]([)]([t t f t F dtdϕϕϕ'=， 即)]([t F ϕ是)()]([t t f ϕϕ'的原函数。
由Newton -Leibniz 公式，可得⎰-=b aa Fb F dx x f )()()(和⎰-=-='βααϕβϕϕϕ)()()]([)]([)()]([a F b F F F dt t t f 。
所以上述两个积分相等。
例3.3.3 求半径为r 的圆的面积。
解 设圆的中心在原点。
由对称性，只须求出它在第一象限部分的面积。
圆周在第一象限部分的方程为22x r y -=， r x ≤≤0。
因此，相应的面积为⎰-r dx x r 022。
为计算这个积分，作变量代换t r x sin =，]2/,0[π∈t ，于是，tdt r dx cos =。
变量x 对应的积分区间]1,0[转换为变量t 对应的积分区间]2/,0[π，且0=t 时，0=x ；2π=t 时r x =。
这样⎰⎰=-r tdt rdx x r 0202222cos π=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=20242sin 2πt t r 241r π。
所以，整个圆的面积2r A π=。
例3.3.4 计算⎰-211dx xx 。
解 令1-=x t ，于是12+=t x ，tdt dx 2=，且1=x 时0=t ；2=x 时，1=t 。
于是⎰⎰⋅+=-21102211tdt t t dx x x=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎰1021112dt t 10)arctan (2t t -⎪⎭⎫⎝⎛-=412π。
例3.3.5 计算⎰=20,cos πxdx I n n 其中n 是非负整数。
解 作变量代换t x -=2π，于是⎰=20sin πtdt I n n 。
右端积分的值见例3.3.2。
要补充说明的是，如果在计算中使用的是凑微分的不定积分换元法，因为运算过程往往不另行写出中间变量，从而也毋须引入中间变量的变化区间。
这就是说：如果⎰+=c u F du u f )()(，函数g 在],[b a 上连续可微，则ba b ax g F dx x g x g f )]([)()]([='⎰。
例3.3.6 计算⎰205sin cos πxdx x 。
解 ⎰⎰-=202055c o s c o s s i n c o s ππx xd xdx x61cos 61206=-=πx 。
易知上面的运算实际上是通过变换x u cos =把原积分化为5u -的积分。
如果在这里把关于x 的积分改写关于u 的积分，那么必须注意：原来x x cos sin 5关于x 在]2/,0[π上的积分换元后相应的是5u -关于u 从1到0的积分，即⎰⎰=-=01520561sin cos du u xdx x π。
例3.3.7 计算⎰---22211dx x x 。
解一 作变量代换t x sec =，则tdt t dx tan sec =，且当2-=x 时，π32=t ；当2-=x 时，π43=t ，于是12)tan (sec tan sec 1143324332222πππππ-=-=-=-⎰⎰⎰--dt dt t t t t dx x x 。
这个积分也可以用凑微分的方法计算。
解二121arcsin 1111122222222π-==⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-------⎰⎰x x x d dx x x 。
例3.3.8 计算⎰--2ln 021dx e x 。
解 作变量代换x e u 21--=，即)1ln(212u x --=，则du u udx 21-=，且当0=x 时，0=u ；当2ln =x 时，23=u ，于是du u du uu u dx ex⎰⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛--=-⋅=--230223022ln 0211111 23)32ln(11ln 21230-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=u u u 。
下面例3.3.9和例3.3.11的几何意义是明显的，它们往往可以用来简化积分的计算。
例3.3.9 设0>a ，f 是],[a a -上的连续函数，则 （1）当f 是奇函数时，0)(=⎰-a adx x f ；（2）当f 是偶函数时⎰⎰=-aa adx x f dx x f 0)(2)(。
证 设f 是奇函数，即)()(x f x f -=-，],[a a x -∈。
于是=⎰-a adx x f )(+⎰-0)(adx x f ⎰a dx x f 0)(。
对上式右端第一个积分作换元t x -=，则有⎰⎰⎰-=--=-aaadt t f dt t f dx x f 00)())(()(，所以0)(=⎰-a adx x f 。
类似地可以讨论偶函数的情况。
证毕例3.3.10 计算⎰-+2262)sin 22cos (sin ππdx x x x x 。
解 由于x x x sin 2cos 62是奇函数，x 2sin 是偶函数，因此0sin 2cos 2262=⎰-ππxdx x x ， ⎰⎰=-202222sin 2sin πππxdx xdx 。
于是.2sin 212)2cos 1(2sin 4)sin 22sin 2cos (sin 22020222262ππππππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-==+⎰⎰⎰-x x dx x xdxdx x x x x x例3.3.9的结论实际上蕴含于以下更一般的结论中：对于],[a a -上任何连续函数f ，总有⎰⎰-+=-aa adx x f x f dx x f 0)]()([)(。
利用这个关系式，有时也可简化积分计算。
例3.3.11 计算⎰-+44sin 11ππdx x 。
解⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++=+-4044)sin(11sin 11sin 11πππdx x x dx x 2tan 2sin 11240402==-=⎰ππx dx x。
例3.3.12 设f 是以T 为周期的连续函数，证明：对任何实数a ，成立着⎰⎰=+TT a adx x f dx x f 0)()(。
证 显然⎰⎰⎰+++=T a TT aT a adx x f dx x f dx x f )()()(。
对最后一个积分作换元T t x +=，得⎰⎰⎰=+=+aaT a Tdt t f dt T t f dx x f 0)()()(。
因此⎰⎰⎰+=+aTaT a adt t f dx x f dx x f 0)()()(=+=⎰⎰aTadx x f dx x f 0)()(⎰Tdx x f 0)(。
证毕例3.3.13 计算⎰-++=114211dx x x I 。
解 先计算不定积分。
当0>x 或0<x 时，有⎰⎰⎰+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++=++21111111222242x x x x d dx x x x dx x xc xx +-=21arctan 212。
至此，如果不假思索地应用Newton -Leibniz 公式，便得021arctan 21111121142=-=++--⎰x x dx x x 。
结果显然是错误的。
因为在[-1,1]上恒取正值的连续函数的积分不可能为0，正确的计算如下：由于被积函数是偶函数，由例3.3.9可知其积分值为]1,0[上积分值的2倍，所以102104221arctan 212112⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=++=⎰x x dx x x I .22π= 这里0221a rc ta n=-x xx 是指221a rc ta nlim 200π-=-+→xx x 。