中考特殊三角形之--等腰三角形

3．已知等腰三角形的一个内角为 70°，则另外两个内角的度数 是( )
cm.
4．已知等腰三角形 ABC 的腰 AB ＝AC＝10 cm ，底边 BC＝ 12 cm ，则△ ABC 的角平分线 AD 的长是
5.如图，四边形 OABC 是矩形，点 A 、C 的坐标分别为 A （4， 0 ）B （ 0 ， 1） ，点 D 是 OA 的中点，点 P 在边 BC 上运动，当 △ODP 是等腰三角形时，求点 P 的坐标．
【考点2】 等腰三角形的性质--拓展练习
拓展练习.（2011宁波市）如图，在 ABC 中，AB＝AC，D、E 是 ABC 内两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°，若 BE＝6cm，DE＝2cm，则BC长为？
查漏补缺
板演过程 • 中考指南P101-P102 第13、14、16题 • 导学式P28，第6题只做第（3）问
【点拨】由题意等边△ABC 的高为 4，点 P 到 AB 的距离是 1， 点 P 到 AC 的距离是 2， ①若点 P 在等 边△ABC 的内部， 则可得到点 P 到 BC 边的距离 PD 为 1；②若点 P′在等边△ABC 的外部，则由对称性可以 得到点 P′到 B′C′边的距离 P′E 为 1；这时点 P′ 到 BC 的距离 P′F＝EF－P′E＝2×4－1＝7.所以点 P 到 BC 的最小距离和最大距离分别是 1 和 7. 【答案】 1 和 7
【考点4 】等边三角形的判定与性质
例4 ： 如图20－3，在等边三角形ABC中，D、E分别是BC、AC 上的点，且CD＝AE，AD与BE相交于点P. (1)求证：∠ABE＝∠CAD； (2)若BH⊥AD于点H，求证：PB＝2PH.
例 5 如图，点 C 为线段 AB 上一点，△ACM ，△CBN 是等边 求证：(1)CE ＝CF ； (2)EF ∥AB .
当堂检测、课前3分钟
2.在△ABC 中，AB ＝AC，∠A ＝ 36°，AB 的垂直平分线交 AC 点 E ，垂足为点 D，连接 BE ，已知 DE ＝2 ，则点 E 到线段 BC 的 距离为________． 3.如图，用两根钢索加固直立的电线杆 AD，若要使钢索 AB 与 AC 的 长 度 相 等 ， 需 加 __________ 条 件 ， 理 由 是 __________________．
答题模板
从不同的视角来证明几何命题
2．数学课上，李老师出示了如下框中的题目.
在等边三角形 ABC 中，点 E 在 AB 边上，点 D 在 CB 的延长线上， 且 ED＝ EC，试确定线段 AE 与 DB 的大小关系，并说明理由.
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： (1)特殊情况，探索结论 当点 E 为 AB 边的中点时，如图 19－ 11①，确定线段 AE 与 DB 的大小关 系，请你直接写出结论： AE DB (填“>”“<”或“＝” ).
【考点3】：等腰三角形的判定
1．根据下列条件，能判断△ABC是等腰三角形的是( A．∠A＝80°，∠B＝60° B．∠A＝70°，∠B＝40° C．∠A＝30°，∠B＝90° D．∠A＝50°，∠B＝70° )
A
E B
D C
3. (2010 株洲市)如图所示的正方形网格中，网格线的交点称 为格点．已知 A 、B 是两格点，如果 C 也是图中的格点，且使 得 ABC 为等腰三角形，则点 C 的个数是 （ A．6 ） B．7 C．8 D．9
答题模板
10.从不同的视角来证明几何命题
审题视角 (1)欲证明 CF＝BE， 找 CF、 BE 所在的两个△ABE 与△AFC， 证明△ABE≌△AFC，于是 CF＝BE； (2)证明 OA 平分∠EOF，只要证∠AOF＝∠AOE，或证点 A 到 OE、OF 的距离相等；要证点 A 到 OE、OF 的距离相等(作 AP⊥OF，AQ⊥OE)，只要证△ABE≌△AFC，则由其对应高相等 可证．可以利用全等三角形对应元素相等来实现证明，或构 造全等三角形、特殊三角形(等腰三角形)的两个底角相等来 实现．
证法二：作 AP⊥OF 于 P，作 AQ⊥OE 于 Q， 证法二：作 AP⊥OF 于 P，作 AQ⊥OE 于 Q， 易证：△ABE≌△AFC(SAS)， 证法二：作 AP⊥OF 于 P，作 AQ⊥OE 于 Q， 易证：△ABE≌△AFC(SAS)， ∴ AP＝AQ， 易证：△ABE≌△AFC(SAS)， ∴AP＝AQ， ∴点 A 是∠EOF 角平分线上的点，故 OA 平分∠EOF. ∴ AP ＝ AQ ， ∴点 A 是∠EOF 角平分线上的点，故 OA 平分∠EOF. ∴点 A 是∠EOF 角平分线上的点，故 OA 平分∠EOF. 证法三：本题也可以在 BE 上截取 BG＝FO， 证法三：本题也可以在 BE 上截取 BG＝FO， 证△AFO≌△ABG，则有∠FOA＝∠BGA， AO ＝AG， 证法三：本题也可以在 BE 上截取 BG ＝ FO ， 证△AFO≌△ABG，则有∠FOA＝∠BGA，AO＝AG， ∴∠ AOG＝∠AGO， 证△AFO≌△ABG，则有∠FOA＝∠BGA， AO＝AG， ∴∠AOG＝∠AGO， ∴∠ FOA ＝∠AOG，即 AO 平分∠FOE. ∴∠ AOG ＝∠AGO， ∴∠FOA＝∠AOG，即 AO 平分∠FOE. ∴∠FOA＝∠AOG，即 AO 平分∠FOE. 本题以考查判定角平分线为核心，考查了通过构造全 本题以考查判定角平分线为核心，考查了通过构造全 等三角形，并利用全等三角形对应元素相等来实现证明． 本题以考查判定角平分线为核心，考查了通过构造全 等三角形，并利用全等三角形对应元素相等来实现证明． 等三角形，并利用全等三角形对应元素相等来实现证明．
5．已知 a， b， c 是△ABC 的三边长，且满足关系式 c2 －a2－b2 ＋|a－b|＝0，则△ABC 的形状？
【考点3】：等腰三角形的判定
例2 [2011· 扬州 ]已知：如图20－2，锐角△ABC的两条 高BD、CE相交于点O，且OB＝OC. (1)求证：△ABC是等腰三角形； (2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．
y B
C
P
O
D
A
x
【考点2】：等腰三角形的性质 【例 2】（2012·随州）如图，在△ABC中，AB＝ AC，点D是BC的中点，点E在AD上. 求证： （1）△ABD≌△ACD； （2）BE＝CE.
【考点2】：等腰三角形的性质
1．如图 19－8，在等腰三角形 ABC 中，AB＝AC，AD 是 BC 边 上的中线，∠ABC 的平分线 BG 交 AD 于点 E，EF⊥AB，垂 足为 F. 求证：EF＝ED.
三角形，AN 交 CM 于点 E ，BM 交 CN 于点 F .
•构造等腰三角形的 常见模型
构造等腰三角形的模型 ① 模型1：平行线+角平分线
练习：如图，已知在△ABC中，∠ABC的平分线与三角形外角 ∠ACN的平分线交于点D，DE//BC，交AB于点E，交AC于点F， 求证：EF = BE－CF．
南师附中宿迁分校2014届第一轮复习之
第20讲 等腰三角形
1，已知点 P 到 BE ，BD，AC 的距离恰好相等，则点 P 的位置：①在 ∠B 的平分线上；②在∠DAC 的平分线上；③在∠ECA 的平分线上； ④恰是∠B ，∠DAC，∠ECA 三条平分线的交点．上述结论中，正确 的结论有( ) A．1 个 B．2 个 C ．3 个 D． 4 个
A
M B
E
O C
F
N
构造等腰三角形的模型
② 模型2：角平分线+垂线
推广结论： 高线、中线、角平分线任两条线重合，可得等腰三角形． 练习：如图，已知等腰Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°， BF平分∠ABC，CD⊥BD交BF的延长线于点D．求证：BF＝ 2CD．
构造等腰三角形的模型
③ 模型3：转化倍角，构造等腰三角形
等腰三角形重要的性质结论 ①等边对等角；等角对等边； ②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形； ③黄金三角形； ④底边中线、高线与顶角的平分线三线合一 ⑤ 底边上任一点到两腰的距离和等于一腰上的高．
【考点1】：等腰三角形的边角的讨论
1．等腰三角形的周长为 14，其一边长为 4，那么，它的底边为 2．等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则它的底角为
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10.从不同的视角来证明几何命题
(2)证法一：连接 AO，如图所示， ∵△ABE≌△AFC， ∴∠AFO＝∠ABO， ∴四点 A、O、B、F 共圆， ∴∠AOF＝∠ABF＝60°， 同理∠AOE＝60°， ∴OA 平分∠EOF， ∵∠AFO≠∠AEO， ∴∠NAO≠∠MAO， ∴①不正确，②正确．
已知：∠B=2∠C
探究综合性大题
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从不同的视角来证明几何命题
1 试题 如图，在△ABC 的 AB、AC 边的外侧作等边△ACE 和 等边△ABF，连接 BE、 CF 相交于点 O. (1)求证： CF＝BE； (2)连接 AO ，则：①AO 平分∠ BAC；②OA 平分∠EOF，你 认为正确的是________(填①或②)，并证明你的结论．
【考点4 】等边三角形的判定与性质
变式题 经典再现 [2013· 沈阳] 已知等边三角形 ABC 的高为 4，在这个三
角形所在的平面内有一点 P，若点 P 到 AB 的距离是 1，点 P 到 AC 的距离是 2，则点 P 到 BC 的最小距离和最大距离分别 是 .
【考点4 】等边三角形的判定与性质
【模型1】角平分线加平行线
1. （2011 江苏宿迁）如图，在梯形 ABCD 中，AB∥DC，∠ADC 的平分线与∠BCD 的平分线的交点 E 恰在 AB 上． 若 AD＝7cm， BC＝8cm，则 AB 的长度是 _____cm．
A E B
D
C
【模型1】角平分线加平行线
2.（2011 山东滨州）如图，在△ABC 中，点 O 是 AC 边上（端点 除外）的一个动点，过点 O 作直线 MN∥BC.设 MN 交∠BCA 平 分线于点 E，交∠BCA 的外角平分线于点 F，连接 AE、AF.那么 当点 O 运动到何处时，四边形 AECF 是矩形？并证明你的结论.
【考点4 】等边三角形的判定与性质
3.（2013·聊城）如图，在等边△ABC中，AB＝6，D是BC的 中点，将△ABD绕点A旋转后得到△ACE，那么线段DE的长度 为
对应训练 4.（1）（2013·铁岭）如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝ 3.6，∠B＝60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到 △ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为 . （2）（2012·荆州）如图，△ABC是等边三角形，P是 ∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平 分线交BC于点F，垂足为点Q．若BF＝2，则PE的长为（ ）
(2)特例启发，解答题目 解：题目中， AE 与 DB 的大小关系是： AE (请你完成该解答过程) DB ( 填“>”“<”或 “＝”).理由如下：如图 19－ 11②，过点 E 作 EF ∥ BC，交 AC 于点 F .
2. （ 2010 浙江宁波） 如图，在△ ABC 中， AB =AC ，∠ A =36 °，BD、CE 分别是△ABC、△BCD 的角平分线， 则图中的 等腰三角形有（ ） A．5 个 B．4 个 C ．3 个 D．2 个
【考点3】 等腰三角形的判定
4. 如图20－4，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°， 点A的坐标是(1，0)，点B、C在y轴上，在x轴上是否存在点P， 使△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形？如果存在，请写 出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
练习：(2013· 厦门 )如图，已知 A ，B ，C ，D 是⊙O 上 的四点，延长 DC，AB 相交于点 E .若 BC＝BE . 求证：△ADE 是等腰三角形．
【考点4 】等边三角形的判定与性质
1．边长为 6 cm 的等边三角形中，其一边上高的长度为 一直线上，且 CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝ 度. . 2．如图 19－6，已知△ABC 是等边三角形，点 B，C，D，E 在同