《线性代数A》补充作业题(参考答案)

使得：成立，其中． 否则，上式成为，且不全为零， 这与已知向量组线性无关矛盾． 因此，，故， 即向量能由向量组线性表示． 2证明表示式惟一．
如果，且， 则有成立． 由向量组线性无关，有：， 即，所以表示式惟一． 证法二：因为线性无关，而，线性相关， 所以有， 从而得， 故向量能由向量组线性表示，且表示式惟一． 5．设是一组维向量，证明它们线性无关的充分必要条件是：任一维向 量都 能由它们线性表示. 证明：1证明必要性． 设为任一维向量，则个向量线性相关， 而线性无关，所以向量可由向量线性表示． 2证明充分性． 若任一维向量都可由向量线性表示， 则维单位向量能由向量组线性表示． 于是，， 而，所以， 故向量组线性无关． 6．试证明：向量组：（）线性相关的充分必要条件是向量组中至少 有一个向量是其余向量的线性组合. 证明：1证明必要性． 因为向量组：线性相关，故存在一组不全为零的数， 使得：成立． 不妨设，于是，， 即中至少有一个向量是其余向量的线性组合. 2证明充分性． 如果中至少有一个向量是其余个向量的线性组合， 不妨设， 因此，存在一组不全为零的数，
10. 设是含有6个未知量的非齐次线性方程组，是齐次线性方程组的线性
无关的解，是线性方程组的解，且，为任意常数，则的通解为
（A）. （C） .
（B）. （D）.
【 （A） 】
11.设矩阵，其中线性无关，，向量，为任意常数，则线性方程组的通解为
（A）. （B）. （C）. （D）. 【 （C） 】
三、解答题
，求得： 即． 所以，．
习题三
一、填空题
1. 设矩阵，则=． 2．设，，则. 【分析：由，知，而，所以，故=0】 3．设矩阵，且=3，则=. 【分析一：由，可得=0解得：或．
当时，（不合题意，舍），故．】 4．设是矩阵，且=2，而，则=. 【分析：由，知可逆，所以，】 5．设为矩阵，为阶可逆方阵，且=，则=. 【分析：理由同第4题】 6．增广矩阵对应的线性方程组的解是. 7．增广矩阵对应的线性方程组的通解是.
由向量组线性无关，得：，因系数行列式， 所以此方程组仅有零解：，故向量组线性无关．
证法一：由题设（,,）=(,,)
上式记为，
因为=，所以矩阵可逆，因而，
又因为向量组线性无关，所以=3，故向量组也线性无关.
2.设向量组与向量组的秩相等，且向量组可由向量组线性表示，试证
明：向量组与向量组等价. 证明：由已知：向量组可由向量组线性表示，因而有：
（A）.
（B）=.
（C） .
（D）=.
【 （C） 】
9．设，，为阶矩阵，且可逆，则下列结论错误的是( ).
（A）若，则.
（B）若，则.
（C）若，则.
（D）若，则. 【 （D） 】
10．设阶方阵，，满足，则必有
（A）. （B）. （C）. （D）. 【 （D） 】
【分析：因为，所以】
11．是阶方阵可逆的
8．设矩阵，则A＝.
9．设矩阵，则A＝.
【分析：令，其中，
而，，于是，则=】
10．设矩阵=，则＝.
【分析：由，有：，即】
三、解答题 1．已知，，，求.
解： ．
2．设3阶方阵，满足,且，求.
解：由，有：，即．
（D）无
而，
于是，，，即．
又，，
所以，．
3．设为 阶方阵，，求. 解
4．设矩阵=, 矩阵满足，求. 解：由，有：，即.
； 又 所以 =， 故向量组与向量组等价．
3. 若、为 阶非零方阵，且，证明：. 证明：因为为 阶非零矩阵，所以矩阵方程有非零解，因而. 4．设向量组线性无关，而向量组，线性相关，证明向量必能由 向量组线性表示，且表示式惟一. 证法一：1证明向量能由向量组线性表示．
因为向量组线性相关，故存在一组不全为零的数，
使得：成立，即线性相关．
2．设，为5阶方阵，，，则
（A）2 .
（B）1.
（C）－.
（D）－2 .
【 （A） 】
【分析：】 3．设为阶方阵，且的行列式，为其伴随矩阵，则
（A）
（B）
（C）
【 （C） 】 【分析：由，有：，所以】
4．设，为5阶方阵，， ，则
（A）.
（B）16 .
（C） .
（D） （D）8 .
【 （C） 】
【分析：】
（C）． （D）．【 （C） 】
4.若，则的值为
（A）. （B）. 【分析：】
（C）.
（D）.
【 （A） 】
5. 行列式
（A）． （B）． （C）． （D）．
【 （D） 】
【分析：】
6．若齐次线性方程组仅有零解，则必须满足
（A）．
（B）． （C）且． （D）或． 【 （C） 】
【分析：齐次方程组仅有零解，则，即且】
无穷多解，则的取值必满足
（A）＝0或＝4. （B）0，4 . （C）＝0. （D）＝4.
【
（C） 】
习题四
一、填空题
1．设向量组， 线性相关，则数. 2. 设向量组，线性相关，则=. 3．向量组，，线性相关，则行列式. 4．设向量组线性无关，则常数满足条件时，向量组，，也线性无关.
【分析：（，，）=(,,)
（C）,,中任意一个向量都不能用其余个向量线性表示.
（D）,,中有一部分向量线性无关.
【 （C） 】
5．设,,为维向量组，那么，下列结论正确的是
（A）若++=0，则,,线性相关.
（B）若对任意一组不全为0的数,,，使++，则,,线性无关.
（C）若,,线性相关，则对任意一组不全为0的数,,，都有++=0.
5．设，，为同阶方阵，则下列等式正确的是
（A）． （B）．
（C）．
（D）． 【 （D） 】
6．下列命题一定成立的是
（A）若，则．
（B）若，则或．
（C）若，则．
（D） 若，则．
【 （D）
】
7．设，均为阶矩阵，为阶单位矩阵，则下列结论错误的是
（A）．
（B）如果，则或．
（C）．
（D）．
【 （B） 】
8．设，为 阶方阵，则必有
（A）充要条件． （B）必要条件． （C）充分条件．
关条件．【 （A） 】
二．填空题 1． 若矩阵，，则第2行第1列的元素. 【分析：】 2．设，则.
3．设，，为 阶方阵，则.
4．，，为 阶可逆方阵，则.
5．设，，为 阶方阵，且，则=． 【分析：由，得：，故】
6．设是阶方阵，且有，则． 【分析：由，得：，从而得】 7．设，则=． 【分析：由，有：，，故=】
（C） 】
3．假设是阶方阵，其秩，那么在的个行向量中
（A）必有个行向量线性无关.
（B）任意个行向量都线性无关.
（C）任意个行向量都构成极大线性无关组.
（D）任何一个行向量都可由其他个行向量线性表示.
【 （A） 】
4．向量组,,线性无关的充分必要条件是
（A）,,均不为零向量.
（B）,,中任意两个向量的分量不成比例.
8．增广矩阵对应的线性方程组的通解是.
9．设元齐次线性方程组的系数矩阵的秩为，则有非零解的充分必要条件
是.
10．线性方程组的增广矩阵可用初等行变换化为：，若方程组
无解，则=. 【分析：由，可得：】
11．设，为三阶非零矩阵，且，则=. 【分析：由为非零矩阵，可知有非零解，因而 ，从而，即】
二、单选题
1．下列四个矩阵中，行最简形是
2 方程组无解. （3）当时 ，
方程组有无穷多解. 且，令，，得方程组的通解
=++， ， 4．问取何值时，非齐次线性方程组 （1）有唯一解？（2）无解？（3）有无穷多解？在有无穷多解时求出 其通解. 解：．
（1）当时，，方程组无解；
（2）当时，，方程组有解； ①若，得通解为：（）．
②若，得通解为：（）． 5．已知向量组：
二．填空题
1．若阶行列式，则. 【分析：】 2．行列式. 【分析：】 3．行列式.
【分析：】
4. 设行列式，则.
【分析：，即】
5. 行列式. 【分析一：
； 分析二：选择按照某行或列展开计算可得结果】 6．设行列式（），则. 【分析：构造行列式，则行列式与仅第四列不同，其余各列相同， 而行列式中的第二列与第四列成比例．所以， 即】 7．如果有非零解，则. 【分析：方程组有非零解，则，即或】 三．解答题 1．计算下列4阶行列式的值： （1） ．
（A）. （B）. （C）.（D）. 【 （D） 】
2．设为矩阵，且线性方程组只有零解，则的秩数为
（A）0.
（B）1.
（C）.
（D）.
【 （D） 】 3．下列增广矩阵所对应的线性方程组中，有惟一解的是
（A）.
（B）.
（C）.
（D）.
【 （C） 】
4. 线性方程组的增广矩阵可用初等行变换化为：，且方程组有
（D）若0+0+0=0，则,,线性无关.
【 （B）
】
6．设为矩阵，齐次线性方程组仅有零解的充分必要条件是
（A）的列向量组线性无关.
（B）的列向量组线性相关.
（C）的行向量组线性无关.
（D）的行向量组线性相关.
【 （A） 】
7. 已知是非齐次线性方程组的两个不同的解，是对应的齐次线性方程
组的基础解系，为任意常数，则方程组的通解必是
上式记为，当时，因而由向量组,,线性无关，可得向量组，，也线
性无关.】
二、单选题
1.设向量下列为的线性组合的是。 （A）. （B）. （C）. （D）.
【 （A） 】
2. 设向量组,,线性无关，向量组,,线性相关，则
（A）必可由,,线性表示. （B）必不可由,,线性表示.
（C）必可由,,线性表示. （D）必不可由,,线性表示. 【
（2）
．
（3）
．
（4） （5）
．
（6）
（7）
（8）
（9）
2．设有非齐次线性方程组，问满足什么条件时，方程组有唯一解？并 求出唯一解． 解：当时，线性方程组有唯一解．
而， ∴当时，方程组有唯一解．
而，，，
∴，，．
习题二
一、单选题 1.设有矩阵，则下列运算中没有意义的是
（A）.
（B）. （C）. （D）.【 （C） 】
又，即.于是，，
所以，，即，亦即．
而，故．
5．已知，其中，求矩阵. 解：由，有：，，
而，求得：． 于是，． 6．设，均为三阶方阵，已知，，求. 解：由，有：，
∴，即，
∴． 7．已知矩阵的伴随阵，且，求矩阵. 解：由，得：，从而得，
或 ，即： 而，且，，故．所以有，． 又， 所以， ． 8．设矩阵=,且，求矩阵. 解：由，有：，， 又， 其中，，则． 由，求得：；
一、单选题
习题一
1.设行列式，则
（A）． （B）．
（C）． （D）． 【 （A） 】
【分析：第二行提出“－”号；第三列提出“系数2”；交换第二、三两
行，得结果】
2. 若三阶行列式，则行列式
（A） 4．
（B）－4．
－8．
ห้องสมุดไป่ตู้
【 （A） 】
（C） 8．
（D）
【分析： ，得结果】
3. 行列式
（A）． （B）．
1．求齐次线性方程组的基础解系. 解：由
， 于是，，所以方程组的基础解系中含有两个解向量， 并且原方程组的同解方程组为，即． 令自由变量=，，得方程组的一个基础解系：
，． 2．求非齐次线性方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系. 解：1 求原方程组的一个特解：
由 ，
于是，，因此方程组有无穷多解． 且原方程组的同解方程组为，即． 令自由变量，得到原方程组的一个特解：． 2 求原方程组的导出组的一个基础解系： 原方程组的导出组的同解方程组为， 令自由变量，得出导出组的一个基础解系为：． 3．问取何值时，非齐次线性方程组 （1）有唯一解？（2）无解？（3）有无穷多解？在有无穷多解时求出 其通解. 解：= （1）当，即时，，故方程组有唯一解. （2）当时， ，
（1）求向量组的秩，并讨论它的线性相关性； （2）求向量组的一个最大无关组；（3）用最大无关组表示其余向量. 解：（1）由
，故，即向量组线性无关； （2）最大无关组为：； （3）用最大无关组表示：，． 五、证明题
1．设向量组：及：，，且向量组线性无关。证明向量组线性无关. 证法一：设有数，使得：，
即， 或．
（A）. （B）.
（C）. （D）. 【 （B） 】
8．已知解向量组是齐次线性方程组的基础解系，以下解向量组中，也是
的基础解系的是
（A）. （B）.
（C）. （D）. 【 （C） 】
9．设是4元非齐次线性方程组的三个解向量且，，，为任意常数，则方
程组的通解
（A）. （B）. （C） . （D）. 【 （C） 】