高考数学二轮复习 第一部分高考热点追踪(三)课件 理

(2)a1＝1，a2＝2，a3＝3，b1＝1，b2＝2，b3＝4，各随机抽取 一项写出相应的基本事件有(1，1)，(1，2)，(1，4)，(2，1)， (2，2)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，共 9 个， 符合题意的基本事件有(1，1)，(2，2)，共 2 个， 故所求概率 P＝29.
[名师点评] 求解此类问题的策略：一是要熟悉数列的通项公 式及前 n 项和公式，二是求概率要用枚举法写出相应的基本 事件，再得出符合题意的事件，从而求出概率．易错点是写 基本事件时出现漏项．
四、数列和平面几何的交汇
(2014·高考安徽卷) 如图，在等腰直角三角形 ABC 中， 斜边 BC＝2 2，过点 A 作 BC 的垂线，垂足为 A1，过点 A1 作 AC 的垂线，垂足为 A2；过点 A2 作 A1C 的垂线，垂足为 A3；…，依此类推，1设 BA＝a1，AA1＝a2，A1A2＝a3，…， A5A6＝a7，则 a7＝__4______．
当 an＝4n－2 时， Sn＝n[2＋（24n－2）]＝2n2. 令 2n2＞60n＋800，即 n2－30n－400＞0， 解得 n＞40 或 n＜－10(舍去)， 此时存在正整数 n，使得 Sn＞60n＋800 成立，n 的最小值为 41. 综上，当 an＝2 时，不存在满足题意的 n； 当 an＝4n－2 时，存在满足题意的 n，其最小值为 41.
由题意，得 a2－ln12＝2－ln12，解得 a2＝2. 所以 d＝a2－a1＝1. 从而 an＝n，bn＝2an＝2n，则 anbn＝n·2n. 因此 Sn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n， 2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1， 因此 Sn－2Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝2×（1－1－22n） －n·2n＋1＝－(n－1)·2n＋1－2，故 Sn＝(n－1)·2n＋1＋2.
一、数列和函数的交汇
(2015·合肥二模)设等差数列{an}的公差为 d，点(an，bn) 在函数 f(x)＝2x 的图象上(n∈N*)．若 a1＝1，函数 f(x)的图象
在点(a2，b2)处的切线在 x 轴上的截距为 2－ln12，求数列{anbn}
的前 n 项和 Sn. [解] 因为 fቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx)＝2x，所以 f′(x)＝2xln 2. 所以函数 f(x)＝2x 的图象在点(a2，b2)处的切线的斜率为 k＝ 2a2ln 2， 则其切线方程为 y－2a2＝(2a2ln 2)(x－a2)，该切线在 x 轴上 的截距为 a2－ln12.
[名师点评] 求解这类问题的关键在于利用数列与函数的对 应关系，将条件进行准确转化；对于函数的有关性质，主要 利用函数的单调性或有界性来求解数列中的最值．但由于数 列的通项是一类特殊的函数，所以借助函数的性质研究数列 问题，一定要注意数列中的自变量只能取正整数这一特点．
二、数列与不等式的交汇
已知等差数列{an}满足：a1＝2，且 a1，a2，a5 成等比 数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)记 Sn 为数列{an}的前 n 项和，是否存在正整数 n，使得 Sn ＞60n＋800？若存在，求 n 的最小值；若不存在，说明理由．
专题三 数 列
三法破解由递推关系求通项公式 递推关系和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数 列中的任意一项，只是由递推关系确定数列中的项时，不如通项 公式直接，下面介绍由递推关系求通项公式的三种方法．
[解] (1)设等差数列{an}的公差为 d，依题意，2，2＋d，2＋ 4d 成等比数列，故有(2＋d)2＝2(2＋4d)， 化简得 d2－4d＝0，解得 d＝0 或 d＝4. 当 d＝0 时，an＝2； 当 d＝4 时，an＝2＋(n－1)·4＝4n－2， 从而得数列{an}的通项公式为 an＝2 或 an＝4n－2. (2)当 an＝2 时，Sn＝2n.显然 2n＜60n＋800， 此时不存在正整数 n，使得 Sn＞60n＋800 成立．
[名师点评] 求解数列与不等式交汇题的关键：一是活用等差 数列与等比数列的通项公式、前 n 项和公式以及它们的性质； 二是会解不等式，有关一元二次不等式、指数不等式、对数 不等式应能熟练求解．注意隐蔽条件，有关数列题不要忽视 下标 n∈N*这一重要隐蔽条件．
三、数列和概率的交汇
(2015·山师附中质检)在等差数列{an}和等比数列{bn} 中，a1＝b1＝1，b4＝8，{an}的前 10 项和 S10＝55. (1)求 an 和 bn； (2)现分别从{an}和{bn}的前 3 项中各随机抽取一项写出相应的 基本事件，并求这两项的值相等的概率． [解] (1)设等差数列{an}的公差为 d，等比数列{bn}的公比为 q， 则 S10＝10a1＋45d＝55⇔d＝1⇒an＝a1＋(n－1)d＝n. b4＝b1q3＝8⇒q＝2⇒bn＝b1×qn－1＝2n－1， 即有 an＝n，bn＝2n－1.
专题三 数 列
高考热点追踪(三)
专题三 数 列
以数列为载体的四类典型交汇 数列与函数、不等式、解析几何、平面几何等知识的交汇问 题是高考的难点，与函数、不等式的交汇问题主要考查利用 函数与方程的思想方法解决数列中的问题及用解决不等式的 方法研究数列的性质；与解析几何交汇，主要涉及点列问题， 与平面几何交汇，主要涉及面积(周长)问题，求解时应建立数 列的递推关系或通项公式之间的关系，然后借助数列的知识 加以解决．
[解析] 根据题意易得 a1＝2，a2＝ 2，a3＝1，
所以{an}构成以 a1＝2 为首项，q＝ 22为公比的等比数列，
所以
a7＝a1q6＝2×
2 2
6＝14.
[名师点评] 对于数列与几何图形相结合的问题，通常利用几 何知识，并结合图形，得出关于数列相邻项 an 与 an＋1 之间的 关系，然后根据递推关系，结合所求内容变形，得出通项公 式或其他所求结论．