初中数学竞赛辅导讲义全

初中数学竞赛辅导讲义（初三）

第一讲 分式的运算

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1、 分部分式：真分式化为另几个真分式的和，一般先将分母分解因式，后用待定系数法进行。

2、 综合除法：多项式除以多项式可类似于是有理数的除法运算，可列竖式来进行。

3、 分式运算：实质就是分式的通分与约分。

[例题选讲]

例1．化简

2312++x x + 6512++x x + 12

712++x x 解：原式= )2)(1(1++x x + )3)(2(1++x x + )

4)(3(1++x x = 11+x - 21+x + 21+x - 31+x + 31+x - 4

1+x =)

4)(1(3++x x 例2． 已知 z z y x -+ = y z y x +- = x z y x ++- ，且xyz ≠0，求分式xyz x z z y y x ))()((+-+的值。

解：易知：z y x + = y z x + = x z y + =ｋ 则⎪⎩

⎪⎨⎧=+=+=+)3()2()1(kx z y ky z x kz y x （1）+（2）+（3）得：(ｋ-2)(x+y+z)=0 ｋ=2 或 x+y+z=0 若ｋ=2则原式= k 3 = 8 若 ｘ+ｙ+ｚ=0，则原式= k 3 =-1

例3．设 1

2+-mx x x =1，求 12242+-x m x x 的值。 解：显然X 0≠，由已知x mx x 12+- =1 ，则 x +x 1 = ｍ + 1 ∴ 22241x x m x +- = ｘ2 + 21x - ｍ2= (x +x

1)2-2 –ｍ2 =( ｍ +1)2-2- ｍ2= 2ｍ -1 ∴原式=1

21-m 例4．已知多项式3x 3 +ax 2 +3x +1 能被x 2

+1整除，求ａ的值。 解：

13313232+++++x ax x X a

x

1- ａ=0 ∴ ａ=1

例5：设ｎ为正整数，求证

311⨯ + 5

11⨯ + …… +)12)(12(1+-n n ＜ 21 证：左边=21（1 - 31 + 31 - 51 + …… + 121-n - 1

21+n ） a

a

ax ax x

O x -++++11

33223

=21（1- 1

21+n ） ∵n 为正整数，∴

121+n ＜ 1 ∴1- 121+n ＜ 1 故左边＜ 2

1

[小结归纳]

1、部分分式的通用公式：)(1k x x + = k 1 （x 1 - k

x +1） 2、参数法是解决比例问题特别是连比问题时非常有效的方法，其优点在于设连比值为K ，将连等式化为若干个等式，把各字母用

同一字母的解析式表示，从而给解题带来方便。

3、整体代换及倒数法是分式的的求值中常用的方法， 应熟练掌握。

[巩固练习]

1、若分式1

222-+m m 的值是正整数， 则整数m= 。 2、若1432a a a a ++ = 2431a a a a ++ = 3421a a a a ++ = 4

321a a a a ++ =ｋ 则k= 。

3、已知a 2-3b 2 = 2ab .(a ＞0，b ＞0),则b a b

a -+2 = .

4、已知a 、b 、c 是有理数，且b a ab +=31，c b bc + = 41，a c ca += 51，则ca

bc ab abc ++= 。 5、若x

1 - y 1 = 2006，则y xy x y xy x 260192-+++-= 。 6、实数a 、b 满足ab=1，设A = a +11 +b +11 ，B=a +1a + b

+1b +1，则A 、B 的关系 为 。

7、当ａ、ｂ、ｃ为何值时，多项式b ax x x x =++-23433能被除数232

+-x x 整除？ 8、计算 200720072007200720077

52115++ = 。 9、已知)3)(23(322-+--+x x x x x = 1

A -X + 2

B -X + 3

C -X ， 求A 、B 、C 的值。

10、若对于±3以外的一切实数X ，等式3+x m - 3-x n = 9

82-x x 均成立，则mn = 11、已知

b a =

c b = a c ，则c

b a

c b a +--+ = 。

第二讲 分式方程及应用

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1、 解分式方程的基本思路是去分母化分式方程为整式方程；

2、 解分式的方程的常用方法有：换元法、整体法、通分法等；

3、 分式方程广泛应用于生活实际中，要注意未知数的值既要是原方程的根，又要与实际意义相符。

[例题选讲]

例1． 解方程组⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=---+=-++661091852x y y x y x y x 分析：令y x +1 =m, y x -1 =n ,则⎩

⎨⎧=+=+661091852n m n m 可得：⎪⎩

⎪⎨⎧==566n m 易求：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==3121y x 例2． 解方程7

30468157264-----=-----x x x x x x x x

解：原方程可化为6

1711121---=---x x x x 两边分别通分：)

6)(7(1)1)(2(1---=---x x x x ，易求：ｘ = 4 例3． 当ｍ为何值时，关于x 的方程2

1122---+=--x x x x x x m 的解为正数？ 解：解方程可得：x=21m -，需⎪⎩

⎪⎨⎧≠-≠〉210x x x 可得ｍ＜1 且m ≠-3。 例4． 设库池中有待处理的污水a 吨，从城区流入库池的污水按每小时b 吨的固定流量增加，若同时开动2台机组需30小时处

理完污水，同时启动4台机组需10小时处理完污水，若要求在5小时将污水处理完毕，那么至少要同时开动多少台机组？ 解：设1台机组每小时处理污水y 吨，要在5小时处理完污水， 至少同时开动x 台机组，则：