线性空间与度量空间

线性空间与度量空间

摘要：线性空间和度量空间是很重要的内容，本文对空间的线性结构

和度量结构做了简单总结，体现了空间的度量结构和线性结构之间具

有某种协调性，特别重要和有用的一类度量空间是赋范线性空间.而向量的长度与夹角等度量性质都可以通过向量的内积来表示.

关键词：空间；线性；度量

线性空间是线性代数最基本的概念之一.在解析几何中，讨论过三维空间中的向量.向量的基本属性是可以按平行四边形规律来描述的.

P是一个数域.在集合X的元素之间定义了一种代定义1 设X是一个

集合，

.在数域P与集合X的元素之间还定义了一运算，叫做数量乘法；这

就是说，对于β+α=γ的和，记为β与α与它们对应，称为γ，在X中都

有唯一的一个元素β与α数运算，叫做加法；这就是说，给出了一个

法则，对于X中任意两个元素

.如果加法与数量乘法满足下述规则，那么X称为数域P上的线性空间.αk=δ的数量乘积，记为α与它们对应，称为k与δ，在X中都有唯

一的一个元素α数域P中任一数k与X中任一元素

加法满足下面四条规则：

；α+β=β+α1）

)；γ+β(+α=γ+)β+α2）(

都有α3）在X中有一个元素0，对于X中任一元素

，使得β，都有X中的元素α；4）对于X中每一个元素α=α+0

0.=β+α

.α(kl)=)α；6）k(lα=α数量乘法满足下面两条规则：5）1

.βk+αk=)β+α；8）k(αl+αk=αl)+数量乘法与加法满足下面两条规则：7）(k

等表示集合X中任意元素.γ，β，α在以上规则中，k，l等表示数域P 中任意数；

由定义，几何空间中全部向量组成的集合是一个实数域上的线性空间.分量属于数域P的全体n元数组构成数域P上的一个线性空间，这个线性空间我们用