第五届西部数学奥林匹克

第五届西部数学奥林匹克

四川 成都 第一天

（2005年11月5日 上午8：00---12：00）

一、 已知 20052005βα+ 可表示成以βα+，αβ 为变元的二元多项式,

求这个多项式的系数之和.

解1： 在k k βα+的展开式中， 令,1=+βα1=αβ，其所求系数之和为

k S .由 )()())((2211----+++=++k k k k k k βααββαβαβα， 有

2

1---=k k k S S S ，

从而 3232)(-----=--=k k k k k S S S S S ， 同理 63---=k k S S . 所以， 6-=k k S S .

于是，数列}{k S 是周期为6的周期数列. 故112005==S S .

解2：在k k βα+的展开式中， 令,1=+βα1=αβ，其所求系数之和为k S . 则βα,是方程012=+-x x 的根. 解得

3

sin 3

cos ππαi +=，3

sin 3

cos ππβi -=，

从而k k k k i i )3sin 3(cos )3sin 3(cos π

πππβα-++=+

)3sin 3(cos )3sin 3(cos ππππk i k k i k -++=

.3

cos 2π

k =

取2005=k ，得.1=k

S

二、 如图, 过圆外一点P 作圆的两条切线PB PA ,，B A ,为切点， 再

过点 P 作圆的一条割线分别交圆 于 D C ,两点，过切点B 作PA 的平行线 分别交直线AD AC ,于F E ,. 求证：BF BE =.

证明: 连 BD BA BC ,,, 则E PAC ABC ∠=∠=∠.所以, AEB ABC ∆∆~.从而

AC AB BC BE =

, 即AC

BC

AB BE ⋅=---------(1) 又ADB PAB ABF ∠=∠=∠, 所以ADB ABF ∆∆~, 从而

AD AB BD BF =

, 即AD

BD

AB BF ⋅=--------(2) 另一方面, 因为PDB PBC ∆∆~, PAD PCA ∆∆~.

所以

PB PC BD BC =, PA

PC

AD AC =

. 而PB PA =, 所以AD

AC

BD BC =

-------（3） 于是 AD

BD

AC BC =

.故由（1）（2）（3）三式即知BF BE =. 三、 设}2005,,2,1{ =S . 若S 中任意 n 个两两互质的数组成的集合

中都至少有一个质数，试求 n 的最小值.

解:首先, 我们有16≥n .事实上, 取集合}43,41,,5,3,2,1{222220 =A 则

S A ⊆0, 15||0=A , 0A 中任意两数互质, 但其中无质数, 这表明16≥n .

其次, 我们证明: 对任意16||,==⊆A n S A ， A 中任两数互质, 则A 中必存在一个质数.

利用反证法, 假设A 中无质数. 记},,,{1621a a a A =，分两种情况讨论. (1) 若 A ∉1, 则1621,,,a a a 均为合数, 又因为)161(1),(≤<≤=j i a a j i ,所以i a 与j a 的质因数均不相同,设i a 的最小质因数为i p ,不妨设

1621p p p <<< ,则200547,,3,2221515222

22211>≥≥≥≥≥≥p a p a p a ,矛盾. (2) 若A ∈1, 则不妨设15116,,,1a a a =均为合数,同(1)所设,同理有

200547,,3,222

151522222211>≥≥≥≥≥≥p a p a p a ,矛盾.

由(1),(2)知, 反设不成立, 从而A 中必有质数, 即16||==A n 时结论成立.

综上, 所求的n 最小值为16.

四、 已知实数n x x x ,,,21 （2>n ）满足

∑=>n

i i x 11||, 1||≤i x （n i ,,2,1 =）.

求证： 存在正整数k , 使得 1||11

≤-

∑∑=+=k

i n

k i i

i x

x .

解：令,)(),11()(,)0(1

1

1

1

∑∑∑∑=+====-≤≤-

=-=n

i i n

k i i

k

i i n i i x n g n k x x k g x g

则,2||2|)0()1(|1≤=-x g g

,2,,2,1,2||2|)()1(|1-=≤=-++n k x k g k g k

.2||2|)1()(|≤=--n x n g n g

所以对任何10-≤≤n k 均有

,2|)()1(|≤-+k g k g (1)

假设结论不对,则由条件对任何n k ≤≤0均有

1|)(|>k g , (2)

这时若存在10-≤≤n i 有0)1()(<+i g i g ,则不妨设0)1(,0)(<+>i g i g , 这时由(2)知,1)1(,1)(-<+>i g i g 故,2|)()1(|>-+i g i g 与(1)矛盾.于是

)(,),1(),0(n g g g 同号,但0)()0(=+n g g ,矛盾.故结论成立.