06小波变换压缩算法解析
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小波在信号(如声音信号，图像信号等)处理中得到极其广泛的 应用。
小波变换原理
小波变换的（ wavelet transform ）发展
小波变换具有在不同尺度下保持时频分析窗口面积不变性质 自动调节对信号分析的时宽和带宽 被誉为信号分析的显微镜
小波变换原理
连续小波变换（ continuous wavelet transform ）
小波（Wavelet (A small wave, a ripple)
第6章 小波变换 压缩算法
主要内容
小波变换用于图像压缩的理由 傅里叶变换 窗口傅里叶变换 小波变换的原理 小波变换实例 小波变换与数据压缩
2
小波变换用于图像压缩的理由
基于DCT (Discrete Cosine Transform) 的压 缩标准
JPEG MPEG-1,MPEG-2, H.264
具 无论是对古老的自然学科还是对新兴的高新技术应用学科都产
生了强烈冲击。 小波理论是应用数学的一个新领域。要深入理解小波理论需要
用到比较多的数学知识。 从工程应用角度出发，直观的方法来介绍小波变换及其应用，
为读者深入研究小波理论和应用提供一些背景材料
小波变换原理
小波变换的（ wavelet transform ）发展
窗口傅里叶变换
窗口傅里叶变换（ short time Fourier transform ）
尽管窗式傅立叶变换能解决变换函数的局域化问题，但是，其 窗口的大小和形状是固定的,即窗口面积不变，窗口没有自适应 性。
对于高频的信息，时间间隔要相对的小，更好地确定峰值和断 点，或者说需要用较窄的时域窗来反映信息的高频成分。
频窗（Frequency Window）
时窗函数g(t)的傅立叶变换
，
窗口傅里叶变换
窗口傅里叶变换（ short time Fourier transform ）
以上定义知，g(t)和G(ω)分别起着时窗和频窗的作用，在时间 －频率坐标系中，时窗和频窗共同作用的结果就构成了时-频窗， 这样就从几何上直观地描述了时频局部化。
哈尔(Alfred Haar)对在函数空间中寻找一个与傅里叶类似的基非常感兴 趣。
1909年他发现了小波，1910年被命名为Haar wavelets 最早发现和使用了小波的名称
小波变换原理
小波变换的（ wavelet transform ）发展
20世纪70年代，当时在法国石油公司工作的年轻的地球物理学 家Jean Morlet提出了小波变换CWT (continuous wavelet transform)的概念。
频率仍然是傅里叶变换所定义 。
F () f (t)e jtdt
f (t)
1
F ()e jtd
2
傅里叶变换
傅里叶变换的特点
具有频域准确定位，可分析信号能量在各个频域成分中的分布 情况，
最常用的、最广泛的信号分析工具， 并且相关的理论研究已发展为一个重要的数学分支——调和分
析。
傅里叶变换
DCT 压缩的优点
简单、百度文库便于硬件实现
3
小波变换用于图像压缩的理由
DCT 压缩的缺点
图像是分块处理， 沿块的边界方向相关性被破坏，出现 “blocking
artifacts”
4
傅里叶变换
信号表示
多种方式信号的描述:
例如一个函数表达式，这就是信号的时域表示，
傅里叶变换
1822年,傅里叶提出频率的概念: 通过傅里叶正变换将信号在频 域分解，获得信号的频谱，再通过反变换重建原始信号。
法国科学家Y.Meyer创造性地构造出具有一定衰减性的光滑函数， 用缩放(dilations)与平移(translations)均为 2的j次幂的倍数构造 了平方可积的实空间L2(R)的规范正交基，使小波得到真正的发 展.
S.Mallat于1988年在构造正交小波基时提出了多分辨率分析 (multiresolution analysis)的概念, 从空间上形象地说明了小波的 多分辨率的特性,提出了正交小波的构造方法和快速算法，叫做 Mallat算法。
Mallat算法地位相当于快速傅里叶变换在傅里叶分析中的地位。
小波变换原理
小波变换的（ wavelet transform ）发展
1988年 Inrid Daubechies 最先揭示了小波变换和滤波器组(filter banks)之间的内在关系
20世纪90年代中期，Sweldens提出了小波变换提升方案--第二代小波变换， 用于JPEG2000
傅里叶变换的不足
缺乏时间-频率的定位功能 不适于非平稳信号 无法根据信号的特点自动调节时域和频域的分辨率
傅里叶变换的不足成为了推动寻找新变换的动力
窗口傅里叶变换
窗口傅里叶变换（ short time Fourier transform ）
1946年Gabor提出了短时傅里叶变换的概念 ，从而开始了非平 稳信号的时频联合分析
ò G(w, t ) = f (t)g(t - t )e- jwtdt
ò f (t) = 1 G(w, t )g(t - t )e jwtdwdt 2p A
窗口傅里叶变换
窗口傅里叶变换（ short time Fourier transform ）
窗口傅里叶变换
窗口傅里叶变换（ short time Fourier transform ）
对于低频谱的信息，时间间隔要相对的宽才能给出完整的信号 信息， 或者说必须用较宽的时域窗来反映信息的低频成分。
小波变换原理
小波变换的（ wavelet transform ）发展
20世纪 80年代后期发展起来的小波变换理论 它是继傅里叶(Joseph Fourier)分析后信号处理与分析的强大工
Gabor变换： 时窗函数＝Gauss函数时 时窗函数的Fourier变换仍然是Gauss函数，保证了窗口傅立
叶变换在频域内也有局域化的功能。
窗口傅里叶变换
窗口傅里叶变换（ short time Fourier transform ）
时窗（Time Window）
窗口傅里叶变换
窗口傅里叶变换（ short time Fourier transform ）
小波变换原理
小波变换的（ wavelet transform ）发展
小波变换具有在不同尺度下保持时频分析窗口面积不变性质 自动调节对信号分析的时宽和带宽 被誉为信号分析的显微镜
小波变换原理
连续小波变换（ continuous wavelet transform ）
小波（Wavelet (A small wave, a ripple)
第6章 小波变换 压缩算法
主要内容
小波变换用于图像压缩的理由 傅里叶变换 窗口傅里叶变换 小波变换的原理 小波变换实例 小波变换与数据压缩
2
小波变换用于图像压缩的理由
基于DCT (Discrete Cosine Transform) 的压 缩标准
JPEG MPEG-1,MPEG-2, H.264
具 无论是对古老的自然学科还是对新兴的高新技术应用学科都产
生了强烈冲击。 小波理论是应用数学的一个新领域。要深入理解小波理论需要
用到比较多的数学知识。 从工程应用角度出发，直观的方法来介绍小波变换及其应用，
为读者深入研究小波理论和应用提供一些背景材料
小波变换原理
小波变换的（ wavelet transform ）发展
窗口傅里叶变换
窗口傅里叶变换（ short time Fourier transform ）
尽管窗式傅立叶变换能解决变换函数的局域化问题，但是，其 窗口的大小和形状是固定的,即窗口面积不变，窗口没有自适应 性。
对于高频的信息，时间间隔要相对的小，更好地确定峰值和断 点，或者说需要用较窄的时域窗来反映信息的高频成分。
频窗（Frequency Window）
时窗函数g(t)的傅立叶变换
，
窗口傅里叶变换
窗口傅里叶变换（ short time Fourier transform ）
以上定义知，g(t)和G(ω)分别起着时窗和频窗的作用，在时间 －频率坐标系中，时窗和频窗共同作用的结果就构成了时-频窗， 这样就从几何上直观地描述了时频局部化。
哈尔(Alfred Haar)对在函数空间中寻找一个与傅里叶类似的基非常感兴 趣。
1909年他发现了小波，1910年被命名为Haar wavelets 最早发现和使用了小波的名称
小波变换原理
小波变换的（ wavelet transform ）发展
20世纪70年代，当时在法国石油公司工作的年轻的地球物理学 家Jean Morlet提出了小波变换CWT (continuous wavelet transform)的概念。
频率仍然是傅里叶变换所定义 。
F () f (t)e jtdt
f (t)
1
F ()e jtd
2
傅里叶变换
傅里叶变换的特点
具有频域准确定位，可分析信号能量在各个频域成分中的分布 情况，
最常用的、最广泛的信号分析工具， 并且相关的理论研究已发展为一个重要的数学分支——调和分
析。
傅里叶变换
DCT 压缩的优点
简单、百度文库便于硬件实现
3
小波变换用于图像压缩的理由
DCT 压缩的缺点
图像是分块处理， 沿块的边界方向相关性被破坏，出现 “blocking
artifacts”
4
傅里叶变换
信号表示
多种方式信号的描述:
例如一个函数表达式，这就是信号的时域表示，
傅里叶变换
1822年,傅里叶提出频率的概念: 通过傅里叶正变换将信号在频 域分解，获得信号的频谱，再通过反变换重建原始信号。
法国科学家Y.Meyer创造性地构造出具有一定衰减性的光滑函数， 用缩放(dilations)与平移(translations)均为 2的j次幂的倍数构造 了平方可积的实空间L2(R)的规范正交基，使小波得到真正的发 展.
S.Mallat于1988年在构造正交小波基时提出了多分辨率分析 (multiresolution analysis)的概念, 从空间上形象地说明了小波的 多分辨率的特性,提出了正交小波的构造方法和快速算法，叫做 Mallat算法。
Mallat算法地位相当于快速傅里叶变换在傅里叶分析中的地位。
小波变换原理
小波变换的（ wavelet transform ）发展
1988年 Inrid Daubechies 最先揭示了小波变换和滤波器组(filter banks)之间的内在关系
20世纪90年代中期，Sweldens提出了小波变换提升方案--第二代小波变换， 用于JPEG2000
傅里叶变换的不足
缺乏时间-频率的定位功能 不适于非平稳信号 无法根据信号的特点自动调节时域和频域的分辨率
傅里叶变换的不足成为了推动寻找新变换的动力
窗口傅里叶变换
窗口傅里叶变换（ short time Fourier transform ）
1946年Gabor提出了短时傅里叶变换的概念 ，从而开始了非平 稳信号的时频联合分析
ò G(w, t ) = f (t)g(t - t )e- jwtdt
ò f (t) = 1 G(w, t )g(t - t )e jwtdwdt 2p A
窗口傅里叶变换
窗口傅里叶变换（ short time Fourier transform ）
窗口傅里叶变换
窗口傅里叶变换（ short time Fourier transform ）
对于低频谱的信息，时间间隔要相对的宽才能给出完整的信号 信息， 或者说必须用较宽的时域窗来反映信息的低频成分。
小波变换原理
小波变换的（ wavelet transform ）发展
20世纪 80年代后期发展起来的小波变换理论 它是继傅里叶(Joseph Fourier)分析后信号处理与分析的强大工
Gabor变换： 时窗函数＝Gauss函数时 时窗函数的Fourier变换仍然是Gauss函数，保证了窗口傅立
叶变换在频域内也有局域化的功能。
窗口傅里叶变换
窗口傅里叶变换（ short time Fourier transform ）
时窗（Time Window）
窗口傅里叶变换
窗口傅里叶变换（ short time Fourier transform ）