自相关函数

S()为信号的功率谱密度，
2
s() lim XT0 ()
T0
T0
则： S( ) R( )e jd
R( ) 1 S()e jd
2
retu1r1n
5.3 离散信号的自相关函数
离散信号的自相关函数：
R(n) x( j)x( j n)
j
性质：
1、离散自相关函数是偶函数 R(n) R(n)
信号的互能量为： E x y
2
x(t) y(t)dt
两函数的标量积： ( x, y)
x(t) y(t)dt
6
5.1 信号的互能量与互能谱
(四)．广义瑞利公式、互能谱 1. 广义瑞利公式：
若信号x(t) 和 y(t) 为实函数，其频谱密度分别为
X () 和Y () ，则
(x, y)
x(t) y(t)dt
自相关函数的特点：
1. 自相关函数是偶函数 R( ) R( )
2. 当=0 时，自相关函数等于信号的能量
Rx (0)
x2 (t)dt
Ex
3. Rx(0)为自相关函数的最大值
8
5.2 信号的相关分析
（二）无限长信号的自相关函数 无限长非周期函数：由有限时间信号的周期T0趋于 无穷大时获得的。
第五章 信号相关分析原理
5.1 信号的互能量与互能谱 5.2 信号的相关分析 5.3 离散信号的自相关函数 5.4 信号的互相关函数 作业
1
(一由)公．式5信.1：号信的E能号量的与互功能I率2量Rd与t互能谱U 2 dt
信号的能量： 指信号f(t)的归一化能量，R即信号的电
当R=1时压，（即电可流得）公加式在（15电.1阻—上1）所。消耗的能量。
x(t) y(t )dt
式中 为两信号的时差。
Ryx( )
y(t)x(t )dt
如果两信号正交
x(t) y(t)dt 0
说明正交信号之间毫无相似之处。
13
5.4 信号的互相关函数
若 x(t),y(t) 为功率信号，则 x(t), y(t) 的互相关函数为
Rxy (
)
lim
T0
1 T0
P 1
T2 f (t) 2 dt
T2 T1 T1
设T2=T/2，T1=-T/2，则： p 1 T
T 2 T
2
f (t) 2 dt
当T时
若f(t)为 实函数
lim P
1
T T
T 2 T 2
f (t) 2 dt
（1.2—2）
lim P
1
T T
T
2
2 T
f (t) dt
2
3
5.1 信号的互能量与互能谱
为使所得R() 的表达式不发散，定义新自相关函数：
Rx
(
)ຫໍສະໝຸດ Baidu
lim
T0
1 T0
T0
2 x(t)x(t )dt
T0 2
周期函数：其自相关函数为
Rx (
)
1 T
T
2 x(t)x(t )dt
T 2
周期信号的自相关函数是 的周期函数，周期为T。
当=0 或 T 的整数倍时，x(t- )=x(t), Rx()达到最大值，
为x(t)的平均功率。
9
5.2 信号的相关分析
（四）自相关函数与能谱的关系
Rx (
)
1
2
X ( ) 2 e jd
1
2
Wx
(
)e
j
d
可见，自相关函数等于 信号能谱的傅立叶变换。由 此易得：
Wx ()
Rx
(
)e
j
d
10
5.2 信号的相关分析
（五）自相关函数与功率谱的关系
维纳—辛钦（Wiener-Khintchine）关系：
1
X ()Y ()d
2
2. 互能谱：
Wxy() X ()Y ()
Wxy()称为信号x(t)、y(t)的互能谱密度，简称互能谱。
retur7n
5.2 信号的相关分析
（一）信号的自相关函数
为了定量地确定信号x(t) 与时移副本x(t-) 的差别或 相似程度，通常用自相关函数：
Rx ( )
x(t)x(t )dt
2、在n=0时，自相关函数就是离散信号的能量
Rx (0) x2 ( j) Ex
j
retu1r2n
5.4 信号的互相关函数
（一）互相关函数 描述两信号之间的相互关系，
设 x(t)、 y(t) 为即能两量信信号号波，形则的x相(t)似、程y(度t) ，的时互相关函数为 间轴上的位置差别
Rxy( )
W () F() 2
因为能谱是频谱密度模的平方，与相位无关。 对波形相同而时间位置不同的所有信号，其能谱完全相同。
4
5.1 信号的互能量与互能谱
2. 功率谱：
设 fT0 (t) 是 f (t) 的截短函数
fT0
(t)
f 0
(t)
t
T0 2
t
T0 2
则f(t)的功率谱密度函数为
2
S( ) lim FT0 ( )
E
|
f (t) |2
dt
若f(t)为实数 E 如果在无限f大(2的t时)d间t间隔内（，5.1—1） 信号的能量为有限值，而信号 的平均功率为零
对于能量信号E为有限值。 2
5.1 信号的互能量与互能谱
信号的功率：信号电压（或电流）在1欧姆电阻上所消耗的功率。
在[T1，T2]时间内平均功率可表示为：
(二)．能量谱与功率谱
1. 能量谱: E f 2(t)dt 1 F() 2 d
2
该式为帕色伐尔（斯瓦尔）定理，又成称为瑞利公式。
它表明：对于能量信号，在时域内计算的信号能量与在频域 内计算的信号能量相等。
其中|F()|2 表明了信号能量在频域的分布情况，所以
被称为能量谱密度,简称能谱。记作：
则： F Rxy( ) X () Y ()
F Ryx( ) Y () X ()
由此可见，两信号的互相关函数和互能谱是一对傅立叶变换。
Rxy( ) Wxy() X ()Y ()
（四）离散信号的互相关函数
Rxy( ) x( j) y( j n)
j
retu1r7n
作业：5-3，5-4， 5-10，5-11
Rxy ( ) Ryx( )
但存在下列关系：
Rxy ( ) Ryx( )
15
5.4 信号的互相关函数
（二）相关与卷积的关系
卷积： x(t) y(t) x( ) y(t )d
互相关：
Rxy ( )
x( ) y( t)d
16
5.4 信号的互相关函数
（三）相关定理
若 x(t) ， y(t) 的频谱函数分别为 X () ，Y ()
retu1r8n
选择=结果
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T0
T0
所以
P 1
S ( )d
2
5
5.1 信号的互能量与互能谱
(三)．两信号的互能量
两信号x(t) 、y(t)之和的能量为：
E
(
x(t)
y(t))2 dt
（两信号之和的能量，除
x2(t)dt
了y外包2 (，含t)还两d包t信含号2一各项自E的xx(y能）t)量y(t)dt
Ex Ey Exy
T0
2 x(t) y(t )dt
T0 2
Ryx (
)
lim
T0
1 T0
T0
2 y(t)x(t )dt
T0 2
14
5.4 信号的互相关函数
互相关函数性质：
1、互相关函数不是偶函数。
Rxy( ) Rxy( ) Ryx( ) Ryx( )
2、Rxy( ) 和 Ryx( ) 不是同一个函数，即：