构造全等三角形的基本方法

构造全等三角形的基本方法

第一种：倍长中线法（利用中点、中线构造）

例题1、如图，△ ABC中，AD是中线，AB=4 AC=6 AD的范围是____________

2】

如图，已知在4皿中•討。長吕厂边上的中线，E是弓。上的一点*延长

BE^AC^F t AF=EF t求证：

【3】

*在A.4BC中，白D交君厂于点D，点疋是丘（？中点，EF/4D交匸A 的延长线于点H 交/吕于点G g BG=CF.求iff：AD为的角平分线。

E 1)

第二种：利用角平分线

如图1所示，。尸平分ZH6V*占为OM 上一点* 为。吐一虑*连接在射贱上戡取0艮= 0A t 连接W （如圈幼品证AAOC^BOC.

【例1】己訴 ： ，二

求证* /尸平分

例题2、已知在△ ABC 中，/ B=2Z C,Z A 的平分线 AD 交BC 边于点D.求证:

AC=AB+BD

角平分线常见的辅助线作法:

第三种：截长补短法（通常用来证明线段和差相等）

“截长法”即把结论中最大的线段根据已知条件分成两段，使其中一段与较短线段相等，然后证明余下的线段与另一条线段相等的方法. “补短法”为把两条线

段中的一条接长成为一条长线段，然后证明接成的线段与较长的线段相等，或是把一条较短的线段加长，使它等于较长的一段，然后证明加长的那部分与另一较短的线段相等•

例题5:如图（1）已知：正方形ABCD^,/ BAC的平分线交BC于E,

求证：AB+BE=AC

--------- D

K

B E C

例题6、AB//CD，BE,CE是角平分线，求证：BC=AB+CD

第四种：旋转

对题目中出现有一个公共端点的相等线段时，可试用旋转方法构造全等三角形

例3、如图，在厶ABC中, / ACB=90，AC=BCP是厶ABC内一点，且PA=6 PB=2 PC=4

求/ BPC的度数.

例4、如图，正方形ABC冲，DE=3 BF=1, / EAF=45，贝U EF=

例5、如图所示，两个边长都为2的正方形ABC刖OPQR如果0点正好是正方

OPQ可以绕0点旋转，那么它们重叠部分的面积为_

第五种：平行线法例7、如图，△ ABC中, A吐AC E是AB上异于A、B的任意一点，延长AC到D, 使CD= BE 连接DE交BC于F。求证：EF= FDb

练习7:⑴ 过D E分别作DGLBC于G EFUBC的延长线于H,用这种辅助线的方法是否可

以证明出结论？

(2)若将条件BE=CEf结论DF与EF互换，其他条件不变，那么此题是否仍成立?

作业：

练习1、如图，CE CB 分别是△ ABC △ ADC 勺中线，且 AB=AC 求证：CD=2CE

练习2> . _ . ■. .

Z^ = 60° , AD.①分别是ZBAC.

ZBC.4的平分线…JD, U 相交于盘儿 请你判断写出PE 与

FQ 之间的数呈关系;

角，而⑴中的其他条件不变.请问.你 在⑴中所得结论

是否依然成立？若成立 请证明；若不成立，请说明理

由。

练习

3、

■在「中「如果ZACB 不是直 练习

2⑵如

【例3】如图.E. F分别是正方形ARCO的边HG

CD±99点，且Zh»f=45" • MH 丄H 为垂

足.求込(1) HE+DF=EF

⑵ AH=AB

D

练习4、

的平分线3?｛刀于求证:DQ=AP-RP a

D

练习5、已知：如图所示，ABC是正三角形，P ABC内一点，且PA=3 PB=4 PC=5求/ APB的度数.

B

练习6 如图，已知梯形ABC冲，AD// BC, / B=90 , AD=3 BC=5 AB=1,把

线段CD绕点D逆时针旋转90°到DE位置，连接AE则厶ADE的面积为____________ . B

练习7、已知，在△ ABC中，/ BAC=90，/ ABC=45，点D为直线BC上一动点

(点D不与点B，C重合).以AD为边做正方形ADEF连接CF

(1)如图1,当点D在线段BC上时.求证：CF+CD=BC

(2)如图2,当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF, BC, CD三条线段之间的关系；

(3)如图3,当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变；求CF, BC CD三条线段之间的关系.

圄1 圏2 圏3