2019年全国中考数学(续61套)压轴题分类解析汇编专题5：定值问题

2019年全国中考数学（续61套）压轴题分类解析汇编

专题5：定值问题

6. （2019湖北咸宁10分）如图1，矩形MNPQ 中，点E ，F ，G ，H 分别在NP ，PQ ，QM ，MN 上，若4321∠=∠=∠=∠，则称四边形EFGH 为矩形MNPQ 的反射四边形．图2，图3，图4中，四边形ABCD 为矩形，且AB=4，BC=8．

理解与作图：

（1）在图2，图3中，点E ，F 分别在BC ，CD 边上，试利用正方形网格在图上作出

矩形ABCD 的

反射四边形EFGH ．

计算与猜想：

（2）求图2，图3中反射四边形EFGH 的周长，并猜想矩形ABCD 的反射四边形的周

长是否为定值？

启发与证明：

（3）如图4，为了证明上述猜想，小华同学尝试延长GF 交BC 的延长线于M ，试利用

小华同学给我

们的启发证明（2）中的猜想．

【答案】解：（1）作图如下：

（2）在图2中， EF FG GH HE =====

∴四边形EFGH 的周长为

在图3中，EF GH =，FG HE =

∴四边形EFGH 的周长为22⨯=。

猜想：矩形ABCD 的反射四边形的周长为定值。

（3）延长GH 交CB 的延长线于点N ，

∵12∠=∠，15∠=∠，

∴25∠=∠。

又∵FC=FC ，

∴Rt △FCE ≌Rt △FCM （ASA ）。

∴EF=MF ，EC=MC 。

同理：NH=EH ，NB=EB 。∴MN=2BC=16。

∵M 905901∠=︒-∠=︒-∠，N 903∠=︒-∠，13∠=∠，∴M N ∠=∠。

∴GM=GN 。

过点G 作GK ⊥BC 于K ，则1KM MN 82

==。

∴GM =

∴四边形EFGH 的周长为2GM =。∴矩形ABCD 的反射四边形的

周长为定值。

【考点】新定义，网格问题，作图（应用与设计作图），勾股定理，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质。

【分析】（1）根据网格结构，作出相等的角即可得到反射四边形。

（2）图2中，利用勾股定理求出EF=FG=GH=HE 的长度，然后即可得到周长，图3中利用勾股定理求出EF=GH ，FG=HE 的长度，然后求出周长，从而得到四边形EFGH 的周长是定值。

（3）延长GH 交CB 的延长线于点N ，再利用“ASA”证明Rt △FCE 和Rt △FCM 全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=MF ，EC=MC ，同理求出NH=EH ，NB=EB ，从而得到MN=2BC ，再证明GM=GN ，过点G 作GK ⊥BC 于K ，根据等腰三角形三线合一的性质求出1KM MN 82

=

=，再利用勾股定理求出GM 的长度，然后即可求出四边形EFGH 的周长。

7. （2019福建泉州12分）已知：A 、B 、C 不在同一直线上.

（1）若点A 、B 、C 均在半径为R 的⊙O 上，

i ）如图一，当∠A=45°时，R=1，求∠BOC 的度数和BC 的长度；

ii ）如图二，当∠A 为锐角时，求证sin ∠A= BC 2R

； （2）.若定长线段．．．．BC 的两个端点分别在∠MAN 的两边AM 、AN （B 、C 均与点A 不重合）滑动，如图三，当∠MAN=60°，BC=2时，分别作BP ⊥AM ，CP ⊥AN ，交点为点P ，试探索：在整个滑动过程中，P 、A 两点的距离是否保持不变？请说明理由.

【答案】解：（1）i ）∵∠A=45°，

∴∠BOC=90°（同弧所对的圆周角等于其所对的圆心角的一半）。

又∵R=1，∴由勾股定理可知。

ii ）证明：连接BO 并延长，交圆于点E ，连接EC 。

可知EC ⊥BC （直径所对的圆周角为90°），

且∠E=∠A （同弧所对的圆周角相等）。

故sin ∠A=sin ∠A=BC BC BE 2R

=。

（2）保持不变。理由如下：

如图，连接AP ，取AP 的中点K ，连接BK 、CK ，

在Rt △APC 中，CK=12

AP=AK=PK 。 同理得：BK=AK=PK 。

∴CK=BK=AK=PK 。∴点A 、B 、P 、C 都在⊙K 上。

∴由（1）ii ）sin ∠A=

BC 2R 可知sin60°=BC AP 。

∴AP=BC sin60=︒（为定值）。 【考点】三角形的外接圆与外心，圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三

角函数值，直角三角形中线性质。

【分析】（1）i ）根据圆周角定理得出∠BOC=2∠A=90°，再利用勾股定理得出BC 的长；

ii ）作直径CE ，则∠E=∠A ，CE=2R ，利用sin ∠A=sin ∠E=

BC BC BE 2R = ，得出即可。

（2）首先证明点A 、B 、P 、C 都在⊙K 上，再利用sin ∠A=

BC 2R ，得出

AP=BC sin603

=︒ （定值）即可。 8. （2019四川自贡12分）如图所示，在菱形ABCD 中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF 为正三角形，点E 、F 分别在菱形的边BC ．CD 上滑动，且E 、F 不与B ．C ．D 重合．

（1）证明不论E 、F 在BC ．CD 上如何滑动，总有BE=CF ；

（2）当点E 、F 在BC ．CD 上滑动时，分别探讨四边形AECF 和△CEF 的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．

【答案】解：（1）证明：如图，连接AC

∵四边形ABCD 为菱形，∠BAD=120°，

∠BAE+∠EAC=60°，∠FAC+∠EAC=60°，

∴∠BAE=∠FAC 。

∵∠BAD=120°，∴∠ABF=60°。

∴△ABC 和△ACD 为等边三角形。

∴∠ACF=60°，AC=AB 。∴∠ABE=∠AFC 。

∴在△ABE 和△ACF 中，∵∠BAE=∠FAC ，AB=AC ，∠ABE=∠AFC ，

∴△ABE ≌△ACF （ASA ）。∴BE=CF 。

（2）四边形AECF 的面积不变，△CEF 的面积发生变化。理由如下：

由（1）得△ABE ≌△ACF ，则S △ABE =S △ACF 。

∴S 四边形AECF =S △AEC +S △ACF =S △AEC +S △ABE =S △ABC ，是定值。

作AH ⊥BC 于H 点，则BH=2，