[理学]第四章 振动学基础

x A
= /2
=0
o
ωt
-A
ωT=2π
>0
20
h
（3）旋转矢量
ω
A的长度
振幅A
A
A旋转的角速度
振动圆频率O
t 0 x
A旋转的方向
逆时针方向
A与参考方向x 的夹角 振动相位
M 点在 x 轴上投影(P点)的运动规律：
xA cost ()
21
h
M P
X
（3）旋转矢量 确定和研究振动合成很方便
t A
称x2比x1超前 (或x1比x2落后)。
x
A1 A2
o
- A2 -A1
12
x1 x2
h
T
t
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三.简谐振动的速度、加速度
1.速度
dxAsin t() dtAcost()
2
( t) A co t s )(
• 速度也是简谐振动
比x领先/2
13
h
2. 加速度 ad d2 tx 22Acost ()
x ~Ai( et)（复数形式）
x R x ~ e A co t s)(
18
h
习题1. 某质点按余弦规律振动，其x-t曲线如 图所示，则该质点振动初相位为（）
(A) 0;
(B) π/2; (C) –π/2;
2
(D)π.
ωT=2π
19
h
（2）振动曲线
mm m
oA x x00<=x0A0< A (伸长量)
解：由题意，T = 2 s
A t=0
方法一：由图， = /3，
x
=
4cos(t
+
3
) cm
方法二：由
t= 1s
时矢量位置
x
t 1 ,x 4 co s ) ( 2 =± /3
4 sin ) (0 = /3
两振动步调相同,称同相
当 = (2k+1) , ( k =0,1,2,…),
两振动步调相反 , 称反相 。
x A1 A2 o - A2 -A1
11
x2 x1
x
同相
A1
T
A2
t
o
- A2
-A1
h
x1
反相
T
t x2
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• 超前和落后
若 = 2- 1>0, 则 x2比x1较早达到正最大,
无阻尼自由谐振动
(简谐振动)
2
h
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§4.1 简谐振动 (Simple Harmonic Motion)
机械振动：物体在一定位置所做来回往复运动。
一. 简谐振动的定义
物体运动时，如果离开平衡位置的位移（或角位移） 按余弦函数（或正弦函数）的规律随时间变化，称 为简谐振动，简称谐振动。
23秒…… 32年……
0
h
第4章 振 动学基础
(Vibration)
1
h
振动
具有时间周期性的运动。（狭义） 任何复杂的非周期运动，都可以分解为频率连续分布的无 限多简谐振动的叠加。（广义）
例如: 机械振动
wk.baidu.com微观振动
电磁振动
振动分类
受迫振动： 在外来策动力作用下的振动
自由振动: 阻尼自由振动
无阻尼自由振动 无阻尼自由非谐振动
a
d2x dt2
k x m
令2 k
m
6
h
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d2x 2x 0 (简谐振动的运动) 方程
dt2
（二）运动学部分： 解上式微分方程，x应为正弦或余弦函数。
设 x (t) A cots ()
A 2 c o t s )( 2 A c o t s )(
可 见 ，x (t)A co t s()
a ( t) A a co t s a )(也是简谐振动 ( t) A co t s )(
x (t)A co t s()
x、 、a
2A
A
A
x
o
-A
- A
- 2A > 0 a<0 减速
<0 <0 加速
<0 >0 减速
a
T t
>0 >0 加速
14
h
3. 振幅和初相与初始条件的关系 t 0时的速度和位移称始为条初件
弹簧振子小幅无阻振动；单摆忽略阻力小角振动
最简单、最基本的振动，一切复杂的振动都可以由 若干个简谐振动合成。
3
h
4
h
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振动曲线 x
o
t
5
h
（一）动力学部分：
1. 受力特点: 线性恢复力 (F= -kx)
2. 动力学方程 (以水平弹簧振子为例)
m ox x
由 Fma m d d2 tx 2及Fk有 x
(1) ( t + )是 t 时刻的相位 化快慢
t
ddt
dt dt
(2) 是t =0时刻的相位--- 初相(initial phase)
(3) 相位差 =( 2 t+ 2)-(1 t+ 1)
同频率： t 2 t 1 2 1 初相差
10
h
• 同相和反相
当 = 2k , ( k =0,1,2,…),
x0 Acos v0Asin
所以：
A
x02
v02
2
arctanvx00
15
h
d2x 2x 0 (简谐振动的运动) 方程
dt2
弹簧振子: k
m
单 摆: g
l
x (t)A co t s()
t是 t 时刻的相位 ddt
dt dt
是t =0时刻的相位--- 初相
16
h
• 超前和落后
若 = 2- 1>0, 则 x2比x1较早达到正最大,
称x2比x1超前 (或x1比x2落后)。
x
A1 A2
o
- A2 -A1
17
x1 x2
h
T
t
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四. 简谐振动的描述方法
只要给定振幅A、角频率和初位相，就等
于给定了一个简谐振动。
(1)振动函数
xA cost ()
vdxAcost (π)
dt
2
ad d 2 tx 22A co ts (π ) 2x
特点 (1)等幅振动 (2)周期振动 x(t)=x(t+T )
7
h
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二. 描述简谐振动的特征量
1. 振幅 A(amplitude)：最大位移的绝对值。
2. 周期(period) T：振动一次所需时间 频率(frequency) v：单位时间内的振动次数
= 1/T (Hz)
圆频率(角频率) ： 2 时间内物体所做的
t=0
· t+
A
ox x
x = A cos( t + )
参考圆
(circle of reference)
3
0
22
v0< 0
x0 A/2 x
例如，已知 x0 A2
v0 0
则由左图给出 π
v0> 0
3
h
例1：已知SHM，A= 4 cm， = 0.5 Hz， t =1s时x =-2cm且向x正向运动，写出振动表达式。
完全振动次数。(单位：rad/s 或1/s)
= 2 = 2
T
8
h
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固有(圆)频率
弹簧振子: k
m
单 摆: g
l
固有频率决定于系统内在性质
固有周期
弹簧振子: T 2 m
k
单
摆 :T 2
l g
9
h
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3. 相位(phase)
相位变化的速率， 描述谐振动状态变