复变函数中mathematics的应用

浅谈mathematics在复变函数中的一些应用

15051105赵杨

摘要：数学是一门很抽象的学科，而复变函数更是如此，如果直接想象很难和实际联系起来。经过一学期的大学学习，就目前学习的知识和对于所了解的复变函数的应用而言，个人感觉和复变函数联系比较紧密的是有两方面，一是电流方面；二是在信号方面。我们日常中的电流都是交流三相的，而相位如果通过三角函数计算的话较为复杂和抽象，很多工程问题无法解决，引入虚数则较大简化了计算的过程，是很多工程问题迎刃而解。

本人认为mathematics软件对于复变函数的学习有很大帮助，所以本文把复变函数与积分变换和mathematics结合起来，把复杂繁琐的计算交于计算机，给人以更直观的图像感觉和更高的处理效率。

关键词：复变函数mathematics 应用

目录

摘要 (1)

图目录 (3)

引言 (4)

1基本功能 (4)

1.1微分 (4)

1.2积分 (6)

1.3幂级数 (6)

2特殊功能 (6)

2.1复变函数的分解 (6)

2.2路径积分 (7)

2.3复变函数泰勒展开和洛朗展开 (8)

2.4留数计算 (10)

3 三维图像 (11)

4 总结 (12)

参考文献 (13)

图目录

图 1 正弦函数一阶导数 (5)

图 2 幂函数的二阶导数 (5)

图 3 复合函数求导 (6)

图 4 复变函数的乘除与最初的分解 (7)

图 5 复变函数在mathematics中积分 (8)

图 6 复变函数洛朗展开 (9)

图7 洛朗展开函数图像 (10)

图8 计算留数 (10)

图9 三维图像绘制 (11)

引言

数学是一门很抽象的学科，而复变函数更是如此，如果直接想象很难和实际联系起来。经过两年的大学学习就目前学习的知识而言，感觉和复变函数联系比较紧密的是有两方面，一是电流方面；二是在信号方面。我们日常中的电流都是交流三相的，而相位如果通过三角函数计算的话较为复杂和抽象，很多工程问题无法解决，引入虚数则较大简化了计算的过程，是很多工程问题迎刃而解。可以通过RCL电路我们也用虚数去处理相角关系，但电感本身并不是虚的。这是人为的定义，但这也在一定意义上揭示了虚数有可能存在的某些物理特征。成功而且巧妙的解决了电流的相位问题。我们打电话，发短信是通过电磁波传递信号，在信号方面也极大的应用了复变函数。信号分析和其他领域使用复数可以方便的表示周期信号。模值|z|表示信号的幅度，辐角arg(z）表示给定频率的正弦波的相位。利用傅立叶变换可将实信号表示成一系列周期函数的和。这些周期函数通常用形式如下的复函数的实部表示：其中ω对应角频率，复数z

包含了幅度和相位的信息。于是当我们要的信息得以传递。所以，不管是我们使用家用电器，用手机问候远方的朋友，还是使用卫星电视观看电视剧，我们无时无刻不在接触着这位很抽象而无处不在的朋友——复变函数。

数学软件Mathematica的功能十分强大,使用非常简便,是我们进行复变函数学习的很好工具。Mathematica中与复变函数有关的命令,有许多与实变函数完全相同,例如微分、不定积分、幂级数展开等,这些都为其基本功能, Mathematica在复变函数中还有许多特殊的功能。这些功能为我们学习复变函数提供了很大的方便。

1基本功能

1.1微分

在Mathematica中对复变函数f(z)求一阶导数的命令是D[f[z]，z]或者f'[z]，以f[z]=sinz 为例，用mathematics作图如下

求二阶导数的命令是D[f[z]，{z，2}]或者f "[z]，以幂函数f（z）=z9为例

图 2 幂函数的二阶导数

多元函数f(z，w)对自变量求一阶偏导数f z(z，w)和f w(z，w)的命令分别是D[f[z，w]，z]和D[f[z，w]，w]，求二阶偏导数f zz(z，w)，fzw(z，w)和f ww(z，w)的命令分别是D[f[z，w]，{z，2}]，D[f[z，w]，{z，w}]和D[f[z，w]，{w，2}]。更高阶导数的命令可

以据此类推。

图 3 复合函数求导

1.2积分

在Mathematica中对函数求不定积分的命令是Integrate[f[z]，z]，注意在复变函数中，只有解析函数的不定积分才有意义。对函数f(z)从z1到z2求定积分的命令是Integrate[f[z]，{z，z1，z2]，在复变函数的情况下，定积分的路径默认为从起点z1到终点z2的线段。

1.3幂级数

在Mathematica中把解析函数F(Z)在给定的zS0点展开为幂级数的命令是Series[f[z],{z, z0, n}],其中参数n表示展开式只显示到自变量z的第n次幂.

而一个已知的幂级数∑∞n=0a n(z-z0)n可以用命令Sum[a[n](z(z0)n ],{n,0,∞}]来求和。其收敛半径R可以用比值法来确定,公式为R=limn→∞|an/an+ 1|相应的Mathematica命令为Limit[Abs[a[n]/a[n+ 1]], n→∞}].

2特殊功能

2.1复变函数的分解

人们认识复变函数的初期，是通过把它化为实部和虚部两个2元实变函数的方法来进行探索的。Mathematica提供了把复变函数f(z)分解为实部和虚部的命令ComplexExpand[f[x+ y I ]]。例如，要把复变函数sin z分解为实部和虚部,可以输入ComplexExpand[Sin[x+ y I ]]，输出结果为Cosh[y] Sin[x]+ I Cos[x] Sinh[y]如果要分别得