高等代数第一学期试卷及答案(A)
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数学与应用数学《高等代数》第一学期期末考试试卷（闭卷A 卷）
一、单项选择题（每小题2分，共10分）
1. 若1
231
231
2
3
a a a
b b b m
c c c =，则1111
2
2223
33
3
253253253a c b b a c b b a c b b --=-( ). A ．30m B.-15m C ．6m D.-6m 2. n 阶矩阵A 可逆的充分必要条件是( ).
A ．∣A ∣=0
B. r （A ） C. A 是满秩矩阵 D. A 是退化矩阵 3．下列说法不正确的是( ). A ．任何一个多项式都是零次多项式的因式 B. 如果f(x)∣g(x)，g(x)∣h(x)，则f(x)∣h(x) C.如A 是n 阶矩阵，则()()()()-+=+-A E A E A E A E D. 如A 是n 阶矩阵，则m k k m =A A A A 4. 设向量组α,β,γ线性无关，α,β,δ线性相关，则( ). A ．α一定能由β,γ,δ线性表示 B. δ一定能由α,β,γ线性表示 C. β一定不能由α,γ,δ线性表示 D. δ一定不能由α,β,γ线性表示 5. 对于n 元方程组，下列命题正确的是( ). A ．如果0Ax =只有零解，则Ax b =也只有零解 B. 如果0Ax =有非零解，则Ax b =有无穷多解 C. 如果Ax b =有两个不同的解，则0Ax =有无穷多解 D. Ax b =有唯一解的充分条件是()r n =A 二、填空题（每空2分，共20分） 1. 若A =⎪⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛321•（4,5,6），则∣A ∣= . 2. f(x)=1-x x 34+，则）x （f ） 5（= . 3．p(x)是不可约多项式，对于任一多项式f(x)，已知p(x) f(x)，则（p(x),f(x)）= . 4. 已知∣A ∣= 4 521-0 1113011-2 101 ，则A 12-A 22+A 32-A 42=__ . 5. 设A =⎪⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛300020001，（1A -）*是1A -的伴随矩阵，则（1A -）*= ． 6. 若(1,0,5,2)T =1α, (3,2,3,4)T =--2α, ()3,1,,3T t =3α线性无关，则t = . 7. 设ɑ=（0,1，-1），β=（1,0,-2）,则向量组ɑ,β的秩= . 8. 设f(x)∈R[x],deg f(x)≤2 ,且f(1)=1，f(-1)=2，f(2)=0,则f(x)= . 9. 一个n 阶矩阵是非退化的充分必要条件是它的秩= . 10. 设3阶矩阵A 的伴随矩阵为*A ，∣A ∣=1，则∣-2*A ∣= ． 三、计算题（每小题10分，共50分） 1.问k,m,n 满足什么条件时,x 2+kx+1能整除x 3+mx+n. 2. 计算行列式00012 00034 1237604587006 9 8 -的值. 3．设A =⎪⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛120130004，求1A -. 4. 求齐次线性方程组123412341 2340 253207730 x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪ -++=⎨⎪-++=⎩的基础解系和通解. 5. 设 ,4321,6063324208421221⎪⎪⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=b A 求矩阵A 及矩阵),(~ b A A =的秩. 四、证明题（每小题10分，共20分） 1. 设列矩阵T n x x x X ),,,(21 =满足,1=X X T E 为n 阶单位矩阵,,2T XX E H -= 证明H 是对称矩阵. 2. 已知123,,ααα线性无关，证明12.23,αα+23,αα-123ααα++线性无关. 《高等代数（一）》（闭卷A 卷）答案 一、单项选择题（每小题2分，共10分） 1.D 2.C 3.A 4.B 5.C 二、填空题（每空2分，共20分） 1.0； 2.0；3．1；4. 0；5.⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝ ⎛210 00310 0061 ； 6. 21；7. 2 ；8. 3 1 -x 23x 613-2+；9.n ；10. -8. 三、计算题（每小题10分，共50分） 1. 解：用x 2+kx+1除x 3+mx+n ， 商式是x-k 余式是（k 2+m-1）x+（k+n ） …………………4分 所以x 3+mx+n =（x 2+kx+1）（x-k ）+[（k 2+m-1）x+（k+n ）] x 2+kx+1整除x 3+mx+n 的充要条件是 （k 2+m-1）=0且（k+n ）=0 …………………4分 n=-k ，m= 1-k 2 …………………2分 2.解： 240 = …………………2分 此答案仅做参考，因为计算方法不止一种，对于其它做法全对的给满分，不全对者酌情给分！ 3．解：令A =⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛21 0A A A 1=4,A 2= ⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛1213 …………………4分 （4-1）=41，⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛32-1-112131 - …………………4分 1 A -=⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎭ ⎫ ⎝ ⎛32-01-10 00 41 …………………2分 此答案仅做参考，因为计算方法不止一种，对于其它做法全对的给满分，不全对者酌情给分！ 4.解：对系数矩阵A 作初等行变换，变为行最简矩阵，有 1111253277311111075401410811110754000023107754017700 0--⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭ --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭--⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝ ⎭A …………………4分 得13423423775477x x x x x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ ， …………………4分 所以基础解系为12237754,771001ξξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ == ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭